Chuyên đề : Bất đẳng thức đại số54829

Chuyên đề : bất đẳng thức đại sốDạng 1: dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức... Dùng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn của biểu thức & hàm số.

Chuyên đề : bất đẳng thức đại số

Dạng 1: dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức

Chú ý các tính chất sau:

A B   C 0 2 2 2

A B   C   0 , ( 0)

là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đưa về dạng hằng đẳng thức

Bài 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau:

2

2 2

  

3

3 3

   a2b22ab

a b c  3 2 a b c

a b  1 ab a b Bài 2 : Chứng minh các BĐT sau:

b c ab ac 2bc

a 5b 4ab 2a 6b 3 0

x y z  1 2x xy   x x 1

Bài 3 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh các BĐT sau:

ab bc ca   a b c  2 ab bc ca 

b) abca b c b c a   c a b c)  2 2 2 2 2 2 4 4 4

2 a b b c c a a b c 0

a b c b c a c ab 4abca b c

a b a b b c b c c a c a 0

a b c abc  a b c b a c c a b  a b c 2abc

Bài 4 : Chứng minh: x 1 x 3 x    4 x 6   100 với mọi số thực x

Bài 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2

Px xyy 3x 3y 1998 

Bài 7 : CMR:

b

a b

 c) Nếu x1, y 1 thì x y 1 y x 1 1  xy

d) Nếu 0  x y z CM: 1 1 1  1 1  

a b c 1 1 ab bc ca 1

2

f) Cho a > 0 CMR: 5 2

a a 3a 5 0 Bài 8 : Cho a, b, c là các số thực trong đoạn [0 ; 1] CMR: 2 2 2 2 2 2

a b c  1 a b b c c a 

Bài 9 : CMR: Nếu ab+ bc+ ca =1 thì  2 2 2 bằng bình phương của một số

1 a 1 b 1 c thực ( a, b, c là các số thực)

Bài 10 : Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 b2 c2 d2 ab bc cd d 2 0

5

Bài 11 : Cho các số dương a, b, c CMR: 1 a b c 2

Bài 12 : Cho các số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn điều kiện :

mpn 0 Bài 13 : Cho các số dương thỏa mãn: a> b và c ab CMR:

a

2, a.b 0

Bài 14 : Chứng minh các BĐT sau: (với a, b, c là các số dương)

a  b  c   

b ca ca b  2

 

a 2b c2a b ca b 2c a b c

bcacab   a b c a22 b22 c22 a b c

Bài 15 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

x



2

1

  Bài 16 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

4 2

x U



Dùng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn của biểu thức & hàm số Bài 17 : Tìm GTNN của :

a)     2  2 2

f x, y  x y 1  x 1  y2

f x, y x y x 2xy4x 1   4y2 24x2 26xy

f x, y



 Bài 18 : Tìm GTLN của :

f x  3 4xx f x   x3 15 x  

c)   3x22 4xy2

f x, y





 Bài 19 : Tìm GTNN của :

x

x



Bài 20 : Tìm GTLN của :

a) f x   2x 1 3 5x    b)     3 

f x  1 x 1 x

f x



2

3 2

x

f x



 e)     2 2  

f x  ax a x 0 x a

Bài 21 : Tìm GTLN, GTNN của :

f x 3x4 3 x  3 x 3

f x 3sin x4 cos x2 0  x 180

x y 2, x 0, y0

c) GTLN của : Cxy2

Bài 23 : Cho xy= 4 , (x>0, y>0) Hãy tìm GTNN của :

D  x y x 9y y 9x

Bài 24 : Cho 2 số thực dương a và b Tìm GTNN của :

a) a xb x   b)

x

x

e) y       x 1 x 2 x 3 x 4