Với nguyện vọng giúp học sinh nâng cao tư duy về môn toán tôi tập trung khai tháccác bài toán khó về véc tơ thuộc kiến thức hình học 10.. Quy tắc ba điểm: với 3 điểm A, B, C tùy ý ta có:
Trang 1MỤC LỤC
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 2
1 Lời giới thiệu 2
2 Tên sáng kiến: 2
3 Tác giả sáng kiến: 2
4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: 2
5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 2
6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 2
7 Mô tả bản chất của sáng kiến: 2
7.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 3
7.2 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ 4
7.3 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ 10
8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): 19
9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 19
10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được: 19
11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): 19
KẾT LUẬN 20
TÀI LIỆU THAM KHẢO 21
Trang 2BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1 Lời giới thiệu.
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quan trọng, là môn học cơ bản, môn học công cụ Nếu học tốt môn Toán thì những tri thức cùng với phương pháplàm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm mĩ
Với nguyện vọng giúp học sinh nâng cao tư duy về môn toán tôi tập trung khai tháccác bài toán khó về véc tơ thuộc kiến thức hình học 10 Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúpcác bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh lớp 10 có thêm một phương pháp giải một số cácbài toán khó
2 Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN VÉC TƠ ÁP DỤNG TRONG GIẢNG DẠY HỌC SINH GIỎI TOÁN 10.
3 Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Minh Huệ
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên
- Số điện thoại: 0915727568 E_mail:nguyenminhhue.c3binhxuyen.@vinhphuc.edu.vn
4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Minh Huệ
5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em
học sinh giỏi lớp 10 vòng tỉnh hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy cáclớp chọn Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốc
để đặt và giải quyết các bài tập tương tự
6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 9 năm 2019 khi tôi trực
tiếp giảng dạy lớp 10A2
7 Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến được chia thành 3 phần
7.1 Kiến thức cơ bản.
7.2 Một số bài tập hay liên quan đến các phép toán véc tơ.
7.3 Một số bài tập hay liên quan đến tích vô hướng của hai véc tơ.
Sau đây, tác giả trình bày nội dung cụ thể của từng phần
Trang 37.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Các phép toán véc tơ.
Quy tắc ba điểm: với 3 điểm A, B, C tùy ý ta có:
Quy tắc trừ: với 3 điểm A, B, C tùy ý ta có:
Quy tắc hình bình hành: ABCD là hình bình hành thì
Tính chất của trung điểm của đoạn thẳng:
+ M là trung điểm của đoạn thẳng AB
+ M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O ta có:
Tính chất trọng tâm của tam giác:
+ G là trọng tâm tam giác ABC
+ Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có: Điều kiện hai vectơ cùng phương: cùng phương , (
Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng sao cho
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai vectơ và không cùng phương Khi đó mọi vectơ đều phân tích được một
2 Tích vô hướng của hai vectơ
Trang 47.2 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ Bài 1:
(Đề thi hsg Hải Dương 2012-2013) Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các điểm
thỏa mãn: Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, Ethẳng hàng
Bài 2: (Đề thi hsg cấp trường – Con Cuông – Nghệ An 2014-2015) Cho tam giác ABC; M là
điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho NA = 2NC Gọi
K là giao điểm của MA và BN Chứng minh rằng: AK = 6.KM
Lời giải:
Do B, N, K thẳng hàng nên
Trang 5Suy ra (đpcm).
Bài 3: (Đề thi hsg cấp trường – Tân Kỳ – Nghệ An 2015-2016) Cho tam giác ABC M thuộc
cạnh AC sao cho , N thuộc BM sao cho , P thuộc BC sao cho
Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng
Lời giải:
Ta có:
Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi
Bài 4: Cho tứ giác trên cạnh , lần lượt lấy các điểm , sao cho
và Tính vectơ theo hai vectơ ,
Lời giải:
Ta chứng minh bài toán sau:
Gọi , lần lượt là trung điểm của , thì ta có:
Thật vậy, ta có:
Gọi , lần lượt là trung điểm của và
Trang 6Khi đó áp dụng kết quả của bài toán trên ta có:
Bài 5: (Đề thi hsg cấp trường – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho tứ giác ABCD
không là hình thang Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AD, BC sao cho
Cộng theo vế của (1) và (2) ta được
Mà không cùng phương nên bộ (p,q) là duy nhất
Vậy p = 2017/2018, q = 1/2018
Bài 6: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp
đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB và G’ là trọng tâm tam giác MNP Chứng minh rằng O, G, G’ thẳng
Bài 7: Cho tam giác ABC có trực tâm H, D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng và .
Lời giải:
Ta có: Vì D đối xứng với B qua O nên D thuộc đường tròn tâm (O)
AD // DH (cùng vuông góc với AB) AH // CD (cùng vuông góc
với BC) Suy ra ADHC là hình bình bành
Trang 7Bài 8: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2011-2012) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường
tròn tâm O Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB;
H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP Chứng minh rằng
Trang 8Ta thấy hai vecto và ngược hướng và độ dài mỗi vecto bằng nên
chúng là hai vecto đối nhau Vậy
Bài 10: Cho tứ giác ABCD
a Xác định điểm O sao cho
Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của OA
Bài 11: Cho tam giác , trọng tâm , gọi là trung điểm Tìm tập hợp điểm
Lời giải:
Vậy tập hợp điểm thoả hệ thức trên là đường trung trực của
, , cố định nên tập hợp các điểm là đường tròn tâm , bán kính
Bài 13: Cho tam giác Tập hợp những điểm sao cho:
Trang 9Lời giải:
Gọi là điểm trên cạnh sao cho , ta có:
.Vậy nằm trên đường tròn tâm , bán kính với nằm trên cạnh sao cho
Trang 10
7.3 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC
TƠ
Bài 1: (Đề thi hsg Đà Nẵng 2010-2011) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và
Các điểm M, N được xác định bởi và Tìm hệ
thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau.
Lời giải:
Ta có:
Tương tự ta cũng có:
Vậy:
Bài 2: (Đề thi hsg Hải Dương 2012-2013) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b;
AB = c Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: ; Tìm điểm M sao cho
Kết hợp giả thiết suy ra hay
Do đó điểm I thỏa mãn gt là I thỏa mãn A là trung điểm IH
Với x, y, z tùy ý thỏa mãn: (*) bình phương vô hướng 2 vế (*), chú ý
Dấu bằng xảy ra khi M trùng I
Bài 3: (Đề thi hsg Hà Tĩnh 2012-2013) Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b Trung
tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và Tính và
Lời giải:
Ta có:
Trang 11Theo giả thiết:
Trang 12Bài 5: (Đề thi hsg cấp trường – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho tam giác ABC
không cân, có trọng tâm G và ngoại tiếp đường tròn tâm I Biết BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng IG vuông góc với IC khi và chỉ khi
Bài 6: (Đề thi hsg cấp trường – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho tam giác ABC đều
cạnh Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB, AC sao cho và
Tính độ dài đoạn thẳng AM theo a, biết rằng hai đường thẳng CM và BN vuông góc với
Bài 7: (Đề thi hsg cấp trường – Sáng Sơn – Vĩnh Phúc 2018-2019) Cho tam giác ABC có
AB =6; BC=7; CA=5 M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AM= 2MB; N thuộc AC sao cho
Tìm k để CM vuông góc với BN
Lời giải:
và
Trang 13Suy ra
Bài 8: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2009-2010) Cho tam giác ABC không đều với ba cạnh
Gọi O và G theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của tam giác ABC; S và R theo thứ tự là diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 9: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2010-2011) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy,
cho hai điểm và Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho góc AMB bằng
Lời giải:
Theo giả thiết ta có
Vậy ta có hai điểm cần tìm là hoặc
Bài 10: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2012-2013) Cho tam giác nhọn ABC không cân, nội
tiếp đường tròn Gọi G và M lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh
BC Chứng minh nếu đường thẳng OG vuông góc với đường thẳng OM thì
Trang 14Áp dụng quy tắc trọng tâm và quy tắc trung điểm ta có:
Khi đó
Bài 11: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2013-2014) Cho tam giác , dựng về phía ngoài
tam giác hai tam giác vuông và với , sao cho tam giác đồng dạng với tam giác Gọi là trung điểm , chứng minh rằng vuông góc với
Lời giải:
Trang 15Gọi là độ dài cạnh hình vuông ABCD Đặt thì và Giả
Ta có
Vậy, điểm nằm trên thỏa mãn
Bài 13: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2016-2017) Cho tam giác nội tiếp đường tròntâm Gọi là trung điểm của và là điểm thỏa mãn Biết rằng vuông góc với và Tính góc
Lời giải:
Ta có
Gọi tương ứng là trung điểm của đoạn Khi đó
là giao điểm của và Chứng minh rằng
Trang 17thuộc đoạn nên
có chung đường cao nên cùng hướng với
Trang 18Ta có chu vi tam giác :
Dấu bằng xảy ra khi trùng với giao điểm của với
Trang 198 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không
9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 10 có học lực khá và tốt về môn
Toán và nắm chắc kiến thức Hình cơ bản của chương 1 lớp 10
10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo
ý kiến của tác giả:
Đề tài của tôi được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải một số bài tập khó về véc tơ
10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo
ý kiến của tổ chức, cá nhân:
Đề tài của được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải một sốbài tập khó về véc tơ
11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):
1 Nguyễn Thị Minh Huệ Tổ Toán – THPT Bình Xuyên - Giảng dạy bài tập nâng
cao hình véc tơ cho họcsinh lớp 10A2 trườngTHPT Bình Xuyên
Nguyễn Thị Minh Huệ
Trang 20- Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế.
Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi Tôi xin
chân thành cảm ơn !
2 KIẾN NGHỊ
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữatài liệu sách tham khảo đổi mới vào phòng thư viện để giáo viên và học sinh có thể nghiên cứuhọc tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ
- Tổ chuyên môn cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy cũng như các mảng chuyên đề hay trong các buổi họp tổ chuyên môn để học hỏi kinh nghiệm của nhau
- Học sinh cần tăng cường tính tự giác học tập, ôn bài tại nhà để nâng cao chất lượnghọc tập
Tôi xin chân thành cám ơn !
Bình Xuyên, ngày 31/12/2019
Tác giả sáng kiến(Ký, ghi rõ họ tên)
Nguyễn Thị Minh Huệ
Trang 21TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Website: http://dethi.violet.vn/
[2] Hình học 10 – Tác giả: Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành và Trần Đức Huyên – Nhà xuất bản Đại học Sư phạm;
[3] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục;
[4] Các đề thi thử chuyên đề Toán 10 của các trường chuyên trong cả nước
[5] Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 của các tỉnh những năm trước
