Trong đề tài này tôi đi sâu vào nghiên cứu “Kỷ thuật sử dụng phương pháp tham số biến thiên, hằng số biến thiên để giải một số dạng phương trình trong chương trình toán THPT”.. Việc này
Trang 1CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Trang 2TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT
Họ và tên: Trần Xuân Miễn
Chức vụ: TPCM
Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Hồng Phong
Quảng Bình, tháng 01 năm 2019
download by : skknchat@gmail.com
Trang 3I PHẦN MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài:
Các bài toán giải phương trình là một nội dung quan trọng trongchương trình Toán THPT Các bài toán về giải phương trình thường xuấthiện trong các đề thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi Vì vậy việc đi sâunghiên cứu tìm tòi thêm các kỷ thuật, phương pháp giải phương trình có hiệuquả mang một ý nghĩa quan trọng nhằm cung cấp thêm cho học sinh nhữngkiến thức, kỷ năng giải toán về phương trình Trong đề tài này tôi đi sâu vào
nghiên cứu “Kỷ thuật sử dụng phương pháp tham số biến thiên, hằng số
biến thiên để giải một số dạng phương trình trong chương trình toán THPT”.
Chúng ta đặt vấn đề đi tìm lời giải cho các phương trình sau:
+ Xem phương trình x4 + x3 – 2x2 – 9x – 9 = 0 (*)
Đây là một phương trình bậc 4 đầy đủ đối với x Lúc này ta liên tưởngtới các phương trình bậc 4 đã biết cách giải : ax4 + bx2 + c = 0; (x + a)4 + (a +b)4 = c; ax4 + bx2 + cx2+ kbx + k2a2 = 0; x4 = ax2 + bx + c Hy vọng chúng tatìm được cách đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai Đáng tiếc phươngtrình (*) không rơi vào các dạng quen thuộc ấy
Suy nghĩ theo hướng khác là đoán nghiệm để từ đó biến đổi (*) vềphương trình tích Nhưng cách làm này cũng không khả thi, bởi phươngtrình không có nghiệm hữu tỉ
Trang 4+ Một kỷ thuật thường dùng là phương pháp hệ số bất định:
Gọi F(x) = (x2+mx+n)(x2+px+q) Khai triền F(x) và đồng nhất F(x) với
vế trái của (*) Việc này dẫn tới giải hệ 4 phương trình với 4 ẩn m, n, p, q.Xem ra cách giải quyết bài toán này vẫn chưa tìm ra!
Đề tài này sẽ cho chúng ta một hướng đi mới để tìm ra con đường đưađến lời giải cho các phương trình như thế
2 Điểm mới của đề tài
Phương pháp tham số biến thiên, hằng số biến thiên, thực chất củaphương pháp này là sự hoán đổi vai trò giữa ẩn số và tham số, ẩn số và hằng
số cho nhau Ẩn số được xem là tham số và tham số hoặc hằng số được xem
là ẩn số trong phương trình mới Cụ thể xét phương trình ẩn x, tham số m:f(x,m)=0 Trong quá trình giải toán ta xem đây là phương trình ẩn m, tham
số là x Giải m theo x rồi quay trở lại tìm ẩn x Phương pháp này thườngđược sử dụng khi tham số m có mặt với bậc hai và biệt thức Δ của ẩn m là sốchính phương Thông thường phương trình theo ẩn mới giải đơn giản hơn,không phức tạp như phương trình ban đầu Trong một số trường hợp, ta cóthể coi số là ẩn Đây chính là tư tưởng chính của phương pháp tham số biếnthiên, hằng số biến thiên
AI. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Thực trạng ứng dụng phương pháp tham số biến thiên, hằng số biến thiên giải phương trình trong chương trình toán THPT
Trong quá trình giải một bài toán ta có thể đặt một biểu thức của phươngtrình làm ẩn phụ Đặt ẩn phụ là bí quyết thành công để giải nhiều bài toán.Đặt ẩn phụ đưa phương trình dạng phức tạp về dạng đơn giản, đưa phươngtrình dạng bậc cao về dạng bậc thấp Tùy theo sự hiểu biết về bài toán mà ta
có cách đặt ẩn phụ khác nhau Khi đặt ẩn phụ phương trình có thể diễn ra cáchình thái như sau
2
download by : skknchat@gmail.com
Trang 5+ Ẩn mới thay thế hoàn toàn ẩn cũ (như trường hợp đặt ẩn phụ trong giải phương trình trùng phương) Lúc đó ta gọi là phép đặt ẩn phụ hoàn toàn.
+ Ẩn mới không thay thế được hoàn toàn ẩn cũ mà cả ẩn mới và ẩn cũcùng tồn tại chung trong phương trình Ta gọi là phép đặt ẩn phụ không hoàntoàn Trong trường hợp này, cách ứng xử với hai ẩn cũng khác nhau
Nếu vai trò giữa ẩn cũ và ẩn mới hoàn toàn bình đẳng với nhau thì khi đóthường bài toán được đưa về giải hệ phương trình hai ẩn Nếu vai trò giữa ẩn
cũ và ẩn mới không bình đẳng với nhau thì khi đó thường ẩn cũ trở thành cáctham số của phương trình đi theo ẩn mới
Trong phương trình có chứa tham số, nhiều khi ẩn phụ chính là các tham
số Điều này dẫn đến phương pháp giải phương trình bằng cách “Hoán đổivai trò giữa ẩn và tham số cho nhau” Nhiều khi chúng ta thường xem ẩn phụ
là một hệ số nào đó của phương trình Từ đó nảy sinh một phương phápdùng để giải phương trình là “Phương pháp tham số biến thiên, hằng số biếnthiên” Sự hiện diện của phương pháp này đã góp thêm một lời giải đọc đáocho các phương trình khó mà ta thường gặp trong các đề thi THPT Quốc gia
và học sinh giỏi Thông qua nhiều cách giải khác nhau của bài toán, ta hiểusâu sắc hơn bài toán và thúc đẩy tư duy phát triển Có lẽ lời giải của bài toánkhông chỉ dừng lại ở đáp số
2 Nội dung và giải pháp
Thí dụ 1: Giải phương trình:
(1)
Trang 6+ Nếu thì (2) là phương trình bậc hai có
Vậy phương trình (1) có nghiệm
Nhận xét: Trong phương trình chứa tham số ta thường giải phương
trình với ngầm định tham số là một giá trị nào đó Nhưng ở đây chúng tathực hiện ngược lại xem ẩn số là tham số và tham số đóng vai trò như ẩn số
Trang 7Vậy phương trình đã cho có nghiệm ;
Nhận xét: Đây là một phương trình bậc bốn đầy đủ không có dạng
đặc biệt và cũng không có cơ sở để biến đổi về phương trình tích nên việcgiải nó theo cách thông thường gặp nhiều khó khăn
(2)Xem (2) là phương trình bậc ba đối với a, ta có:
(2)
Từ (3) ta có:
Từ (4) ta có: (5) Với
Trang 8Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: ; ;
Nhận xét: - Cách giải này trong quá trình biến đổi, ta khéo léo nhìn ra
hằng số nào đó trong phương trình là nghiệm Từ đó ta chuyển phương trình
đã cho có bậc cao hơn hay phức tạp hơn về các dạng phương trình đơn giảnquen thuộc đã biết cách giải
Thí dụ 4: Giải phương trình sau:
Lời giải:
Điều kiện :
Ta có (1)
(*)Xét phương trình bậc hai dạng (2)
Từ (*) ta thấy a=2 la nghiệm của (2)
Trang 9(*)Xét phương trình bậc hai:
Từ (**) ta thấy (2) có nghiệm a=5x
Ta giải (2):
Phương trình (2) có hai nghiệm là: và
Khi đó ta có:
Giải (3) và (4) kết hợp với điều kiện x>1 ta tìm được x
Xây dựng phương trình (*) thành phương trình bậc hai theo a với là 1 sốchính phương có thể giải được ( )
Từ (*) thay a=5x, biến đổi sơ cấp giữa các hàm theo biến x có trongphương trình ta được phương trình ban đầu (1)
Tùy vào mức độ khó dễ của bài toán mà trong phương trình bậc haitheo a ta chọn các nghiệm a1 , a2 là các hằng số ,hàm số theo x Sau khi giải
ta được
Chú ý: Phương pháp này khác với phương pháp đặt ẩn phụ vì khi đặt
ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn mới cho phương trình mới tồn tại Ở đây
Trang 10Từ (5), (6) kết luận phương trình đã cho có các nghiệm là x0
Nhận xét: Nếu sử dụng biến đổi (1) x6 – 15x2 + 2
> 0 Ta có t3 – 13t + 2 17 = 0 Đó là một phương trình bậc ba Không có nhận
xét về đoán nghiệm vô tỷ nên việc đoán nghiệm của phương trình này để
biến đổi nó thành phương trình tích vẫn còn khó khăn
Trang 11download by : skknchat@gmail.com
Trang 12Nhận xét: - Với cách giải này thay vì giải phương trình bậc bốn ta đưa
về việc giải phương trình bậc hai đã biết trước một nghiệm Lúc ngày tachọn nghiệm đã biết làm ẩn của phương trình mới Bài toán này giải quyếtđược vì phương trình bậc hai có là số chính phương
- Khi có sự lặp của số mũ ở luỹ thừa với cơ số khác nhau hoặc có sựlặp của các hằng số dưới các căn thức với bậc khác nhau, bạn có thể nghĩđến phương pháp tham số biến thiên, hằng số biến thiên
Thí dụ 8: Giải phương trình x +
Điều kiện 0 < x < 8
Với điều kiện đó ta có
Đặt 11 = a, phương trình (3) được viết (a - x)2= a + x
Trang 13Các giá trị x
cái của phương trình đã cho
(phương trình chứa hai phép toán ngược nhau) ta có lời giải bằng cách đặt ẩn
phụ đối xứng đưa về hệ phương trình như sau:
9
download by : skknchat@gmail.com
Trang 14* Cách 2 (Từ (3))
Đặt x = y – 11, y > 11 (y- 11)2 = x
Giải hệ (*) ta được nghiệm : x =
Thí dụ 9: Giải phương trình sau:
Ta có (1)
Ta xét phương trình (3):
(*)Xét phương trình bậc hai dạng:
Từ (*) ta suy ra phương trình (4) có nghiệm a=7
Giải (4):
Phương trình (4) có 2 nghiệm: và
Khi đó ta có:
Từ (2) ta suy ra
Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Sau đó chuyển về hệ hoặc giải bằng phương pháp biến đổi tươngđương
- Cách giải trên đây đã thay đổi vai trò giữa ẩn số và hằng số Ẩn xchuyển thành vai trò của tham số, còn hằng số 7 đươc xem là ẩn mới trongphương trình bậc 2 theo a, nhờ việc chuyển này mà thay vì giải phương trìnhbậc 4 theo x, ta chỉ cần giải phương trình bậc 2 theo a
- Phương trình bậc 2 theo a có là một số chính phương nên việc tìm
a dễ dàng hơn
Thí dụ 10: Giải phương trình
10
download by : skknchat@gmail.com
Trang 15Nhận xét: Trong phương trình chứa tham số, chúng ta thường bắt gặp
câu giải phương trình ứng với một giá trị nào đó của tham số Có lẽ sẽ không
sai khi nói rằng (3) là phương trình mà tham số đã nhường lại cho số 5
- Vì không phải tất cả các phương trình sau khi chuyển về một phương trình
mới là giải được nên phương pháp này còn hạn chế, chẳng hạn như: khi
chuyển về phương trình theo ẩn mới ta được không phải là một số chính
phương, khi đó gặp khó khăn và không thể giải được
Thí dụ 11: Giải phương trình x log 3 7 2log3x log3 x5
Lời giải
Giả sử phương trình có nghiệm x = tức là log
3 7
Trang 16download by : skknchat@gmail.com
Trang 17f(7)- f(2) = 0
Rõ ràng f(t) là hàm liên tục trên [2,7] và có đạo hàm
f’(t) = (log3 )t log 3 1 log 3 (t log 3 1 1) log 3
Theo định lý Lagrăng ắt tồn tại c (2,7) sao cho (7-2).f(c) = f(7)-f(2)
f(c) = 0
log 301x 1
log 313x 3
Thay x = 1 và x = 3 vào phương trình (1) thấy đúng
Vậy x = 1 và x = 3 là các nghiệm của phương trình đã cho
Thí dụ 12: Giải phương trình 7cotx – 11cotx= 12cotx
Lời giải
Giả sử là một nghiệm của phương trình, tức là 7cot – 11cot = 12cot
7cot – 11cot = 3(11-7)cot
7cot + 3.7cot = 11cot + 3.11cot
Xét hàm số f(t) = tcot + 3t.cot với t>0, t 1
Ta có (2) f(7) = f(11) f(7) – f(11) = 0 Rõ ràng f(t) là hàm số liên tục trên [7,11] và có đạo hàm f(t)=cot tcotx-1 +3cot = (tcotx-1+3)cot Theo định lý Lagrăng
ắt tồn tại c (7; 11) sao cho (7-11).f(c) = f(7) – f(11) f(c) = 0
(tcotx-1+ 3) cot = 0 cot = 0 = 2 +k x = 2 +k (k Z) Thử lại: Thay x =
2 +k vào phương trình (1) thấy đúng.
Vậy x = 2 +k (k Z) là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Nhận xét:
Các phương trình trong hai Thí dụ 11 và 12 thuộc dạng:
a - b = k.(a-b)h(x) (1)
Trang 18Cách giải: Viết lại (1) ah(x) – kah(x) = bh(x) – kbh(x)
* Điều kiện cần: Xét hàm số biến số t ; f(t) = th(x)–kh(x).t
Như vậy (1) f(a) = f(b) f(a) – f(b) = 0 (2)
Rõ ràng trên (b, a) hàm số f(t) có đạo hàm f’(t) = h(x) (th(x)-1-k) Theo định lý Lagrăng thì c (b,a) sao cho (a-b) f(c) = [f(a) – f(b)]
Trang 19Ta có (2) f
13
download by : skknchat@gmail.com
Trang 20Rõ ràng f(t) là mà liên tục trên R+ và có đạo hàm
8log 5 + 4log 5 = 5 log 5 + 7log 5 8log 5 - 5log 5 = 7 log 5 - 4log 5 (2)
Xét hàm số f(t) = (t+3) log 5 - t log 5với t > 0
Thử lại: Thay hai giá trị x = 1 và x = 5 vào phương trình (1) thấy
đúng Vậy x = 1 và x = 5 là các nghiệm của phương trình đã cho
Nhận xét: Các phương trình trong hai Thí dụ 13 và 14 thuộc dạng :
(a+d)h(x)-ah(x)=(b+d)h(x)-bh(x) (1)
14
Trang 21download by : skknchat@gmail.com
Trang 22Trong đó 0<a 1, 0<b 1, a>b, d>0, k<0 hoặc k = 1, h(x) xác định trên [b,a] Cách giải: Viết lại (1) (a+d)h(x) - (b+d)h(x)= ah(x) - bh(x)
* Điều kiện cần: Xét hàm số biến số t : f(t) = (t+d)h(x) – th(x)
Như vậy (1) f(a) = f(b) f(a) – f(b) = 0 (2)
Giả sử phương trình có nghiệm x = tức là log 7 11 3 log 7 2x
11log 7 3log7 2.7log7
11log 7 7 log 7 7log
7 3log
7
Xét hàm số f(t) = (4+t) log7
Ta có (2) f(4) = f(3) f(4) – f(3) = 0
Rõ ràng f(t) là hàm liên tục trên [3; 4] và có đạo hàm
f’(t) = (log7 )(4+t)log 7 -1- log7 = [(4+t) log 7 -1-1]log7
Theo định lý Lagrăng ắt tồn tại c (3,4) sao cho
(3 – 4) f(c) = f(4) – f(3) f(c) = 0
log 7 1
(4 c)
Thay x = 1 và x = 7 vào phương trình (1) thấy đúng
Vậy x = 1 và x = 7 là các nghiệm của phương trình đã cho
Nhận xét: Thí dụ 15 là trường hợp phương trình (a+d)h(x) - a h(x) =
(b+d)h(x) - bh(x) có b+d = a
15
download by : skknchat@gmail.com
Trang 23III KẾT LUẬN:
Việc rèn luyện, phát triển tư duy cho các em học sinh là rất quan trọng.Trong qúa trình dạy học phổ thông nói chung và đặc biệt trong giảng dạymôn Toán nói riêng thì phát hiện và kích thích tư duy sáng tạo của các emcần được quan tâm đúng mực Giải một số phương trình bằng vận dụngphương pháp tham số biến thiên, hằng số biến thiên đáp ứng được yêu cầuphát triển tư duy cho các em Qua thời gian vận dụng đề tài vào giảng dạythực tế tại trường THPT nơi tôi đang gảng dạy Tôi nhận thấy: Đây làphương pháp giải tạo được điểm mới trong tư duy suy nghĩ của các em họcsinh Các em nhìn nhận khi giải bài toán không cứng nhắc, áp đặt mà tư duymềm dẻo hơn Do đó nâng cao khả năng nhận thức ở các cấp độ: Biết, hiểu,ứng dụng, phân tích, tổng hợp, đánh giá và sáng tạo của học sinh
Qua khảo sát, kiểm tra thực tế cho học sinh làm bài với thời gian 45phút đối với các lớp 12A5 và 12A8 có kết quả như sau:
- Kết quả trước khi áp dụng đề tài cho học sinh với dạng bài tập này:
Trang 24download by : skknchat@gmail.com
Trang 25Do thời gian hạn chế, nên đề tài chắc hẳn còn sai sót Kính mong cácthầy cô, các bạn đồng nghiệp nhận xét, trao đổi, đánh giá để đề tài hoàn thiệnhơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. G.Polya, Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục.
2. Văn Phú Quốc, Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán, NXB Đại học Quốc gia
Hà Nội
3. Trần Phương, Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán, NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội
4. Tạp chí Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo dục
5. Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ, NXb Giáo dục