(SKKN CHẤT 2020) kỹ thuật đọc bảng biến thiên, đồ thị xét tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số, tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị hàm số,bảng biến thiên của hàm số, tìm tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trêntập tìm tham số để hàm số, đơn điệu

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu: 1

4 Giới hạn phạm vi, nội dung nghiên cứu 1

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

6 Phương pháp nghiên cứu 2

NỘI DUNG 3

I Kiến thức chuẩn bị: 3

II Bài tập áp dụng 5

8 Những thông tin cần được bảo mật: Không 38

9 Các điều kiện cần thiết để áp dung sáng kiến: 38

10 Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: 39

11. Danh sách những tổ chức / cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: 39

download by : skknchat@gmail.com

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán THPT đặc là Giải Tích lớp 12, bài toán xét tính đơnđiệu của hàm số là một vấn đề cơ bản, quan trọng của chương trình Trong các kì thihọc sinh giỏi cấp tỉnh các khối không chuyên và kỳ thi trung học phổ thông quốc giaxét tốt nghiệp và lấy kết quả xét vào các trường đại học và cao đẳng đây là một vấn đềluôn được đề cập tới Để giúp các em có những kiến thức nhất định trong các kì thihọc sinh giỏi và thi trung học phổ thông quốc gia, với đề tài này tôi hy vọng giúp họcsinh có được kết quả tốt hơn

Hệ thống các bài toán tính đơn điệu của hàm số

Đưa ra các phương pháp giải toán phù hợp với đối tượng học sinh

Rèn luyện kĩ năng đọc đồ thị, bảng biến thiên cho học sinh

Hệ thống bài tập có phân loại phù hợp với trình độ của học sinh

Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, óc tư duy cho học sinh

Góp phần năng cao chất lượng dạy và học cho học sinh

Học sinh lớp 12

Học sinh ôn thi học sinh giỏi

Học sinh ôn thi THPT Quốc Gia

Chương trình Giải Tích lớp 12

Sách Giải Tích cơ bản và nâng cao lớp 12

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Đề thi THPT Quốc Gia các năm của Bộ Giáo Giục và đề thi THPT Quốc Gia của các sở và các trường nổi tiếng trên toàn quốc

Tính đơn điệu của hàm số, tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị hàm số,bảng biến thiên của hàm số, tìm tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trêntập tìm tham số để hàm số, đơn điệu thỏa mãn điều kiện cho

trước Một số bài toán về thương gặp về tính đơn điệu của hàm số

Vận dụng linh hoạt trong quá trình tính toán, giải bài tập.

Rèn luyện kĩ năng tính toán, phát huy tính tích cực của người học

6 Phương pháp nghiên cứu

Tự rút ra trong quá trình dạy học

Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo

Học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp, tích lũy kiến thức trong quá trình giảng dạy

Nghiên cứu đề thi THPT Quốc Gia của BGD và đề minh họa của BGD hàng năm và đề thi THPT Quốc Gia của các sở, các trường những năm gần đây

2

download by : skknchat@gmail.com

NỘI DUNG

KỸ THUẬT ĐỌC BẢNG BIÊN THIÊN, ĐỒ THỊ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I Kiến thức chuẩn bị:

1 Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f x ax 2 bx c , a 0 Tính b 2 4ac hoặc

3) Nếu 0 0 thì f x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Giả sử

và f x trái dấu với dấu của hệ số a với mọi x x1 ; x2

2 Đaọ hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp của nó

download by : skknchat@gmail.com

3 Tính đơn điệu của hàm số

3.1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên tập

3.1.1 Hàm số được gọi là đồng biến trên nếu với mọi

+ Đồ thị của hàm đồng biến trên là một đường đi lên từ trái sang phải

+ Đồ thị của hàm nghịch biến trên là một đường đi xuống từ trái sang phải

3.2 Mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm

Định lý: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng và có đạo hàm liêntục trên

+ Nếu với mọi (Đẳng thức chỉ xẩy ra ở một số hữu hạn

điểm trên khoảng ) thì hàm số đồng biến trên khoảng

+ Nếu với mọi (Đẳng thức chỉ xẩy ra ở một số hữu hạn

điểm trên khoảng ) thì hàm số nghịch biến trên khoảng

download by : skknchat@gmail.com

II Bài tập áp dụng

Trong phần này tác giả đưa ra các dạng sau:

DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO ĐẠO HÀM

+ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và Nghịch biến trên khoảng

Bài 2 Xét tính đơn điệu của hàm số

Giải + Tập xác định

Bài 3 Xét tính đơn điệu của hàm sô

download by : skknchat@gmail.com

+ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và Nghịch biến trên khoảng

và

Bài 4 Xét tính đơn điệu của hàm số

Giải + Tập xác định

+ với mọi hàm số nghịch biến trên và Bài 5 Tìm tất cả

những giá trị của m để hàm số sau đồng biến trên

Giải

+ Tập xác định D

+

chỉ xẩy ra ở một số hữu hạn điểm trên )

với mọi

+ Vậy với thì hàm số đồng biến trên

Bài 6 Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số sau nghịch biến trên

Giải

+ Tập xác định D .

+

+ Với ta có với mọi hàm số nghịch biến trên

+ Với ta có hàm số nghịch biến trên khi với mọi ( đẳng thức xẩy

ra chỉ ở một số hữu hạn điểm trên )

khi + Vậy với thì hàm số nghịch biến trên

mỗi khoảng xác định của nó

Giải

+ Tập xác định

+

+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi với mọi+ Vậy với thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Nhận xét: Trong bài toán trên ta không sử dụng được hàm số nghịch biến

xẩy ra với mọi

Bài 8 Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số

1) Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

2) Đồng biến trên khoảng

3) Nghịch biến trên khoảng

4) Nghịch biến trên khoảng

Giải

+ Tập xác định

+

1) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi

+ Vậy với thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

2) Hàm số đồng biến trên khoảng hàm số liên tục trên khoảng và

+ Vậy với thì hàm số đồng biến trên khoảng

3) Hàm số nghịch biến trên khoảng hàm số liên tục trên khoảng và

+ Vậy với thì hàm số nghịch biến trên khoảng

7

download by : skknchat@gmail.com

4) Hàm số nghịch biến trên khoảng hàm số liên tục trên khoảng

và

+ Vậy với thì hàm số nghịch biến trên khoảng

Nhận xét: + Tương tự như bài 7 trong bài 8 cả 4 phần ta không sử dụng

sẽ xẩy ra với mọi

Bài 9 Hàm số y x m3 x n3 x3 (tham số m; n ) đồng biến trên khoảng

; Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 m2 n2 m n bằng

Bài 10 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số sau y sin3 x 3cos2 x m sin x 1

đồng biến trên đoạn 0; 2

Giải

2

Xét hàm số f t t3 3t2 mt 4

download by : skknchat@gmail.com

Để hàm số f t đồng biến trên 0;1 cần:

Xét hàm số g t 3t2 6t trên đoạn

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy với m 0 thì hàm số f t đồng biến trên, hàm0;1

số f x đồng biến trên đoạn 0;

2

do đó tìm m để hàm số y sin3 x 3cos2 x m sin x 1 đồng biến trên đoạn

trở thành bài toán tìm m để hàm số f t t3 3t2 mt 4 đồng biến trên đoạn

1

; f t 0, t 0; 1 , t m )

Chú ý: Với cách đặt ta có hàm số nghịch biến trên

DẠNG 2: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC

BẢNG XÉT DẤU CỦA ĐẠO HÀM Bài 1 Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

nào? Giải

biến trên khoảng và

+ Cách 2: Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đi xuống trên khoảng và

hàm số nghịch biến trên khoảng và

Bài 2 Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

Giải

+ Cách 1: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng

download by : skknchat@gmail.com

+ Cách 2: Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số lên từ trái qua phải trên khoảng

hàm số đồng biến trên khoảng

Bài 3 Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

download by : skknchat@gmail.com

Bài 5 Cho hàm số y f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Xét tính đơn điệu của hàm số y f ( x2 2)

+ Dựa vào bảng xét dấu y ta được y 0 , x2; 20; 22;nên hàm

với hàm số y f 4 x2 đồng biến trên cáckhoảng

Bài 6. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên Bảng biến thiên của hàm số

biến trên khoảng 2 2a;4 , chứ không nghịch biến trên toàn khoảng 2;4

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

13

download by : skknchat@gmail.com

Giải + Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên

khoảng và khoảng hàm số nghịch biến trên khoảng và

khoảng

+ Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng

và khoảng hàm số nghịch biến trên khoảng và khoảng

Bài 2 Cho hàm số f x xác định trên và có đồ thị hàm số y f x là đường cong trong

hình vẽ Xác định các khoảng đồng biến,nghịch biến của hàm số

+ Từ đồ thị hàm số

Giải

ta thấy đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành trên

nghịch biến trên khoảng và khoảng

đồng biến trên khoảng và khoảng

như hình bên Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

và nghịch biến trên các khoảng

Bài 4 Cho hàm số f x xác định trên tập số thực và có đồ thị f x như hình sau

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

+ Từ bảng xét dấu hàm số đồng biến trên các khoảng

và nghịch biến trên các khoảng

và có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hàm số y f 3 x2 đồng biến trên khoảng

(cả 7 nghiệm đều là nghiệm đơn)

Nhận xét: Do f x mang dấu dương khi x 2 (ta gọi là miền ngoài cùng) nên

4 x 9

16

download by : skknchat@gmail.com

Dựa vào đồ thị y f x ta có với x 1; 0 thì f 3 x2 0 (do 2 3 x2 3 ) nênhàm số y f 3 x2 đồng biến.

có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

Giải

download by : skknchat@gmail.com

Kẻ đường thẳng y 10 cắt đồ thị hàm số y f x tại A a;10 , a 3;10 Khi đó ta

Bài 7 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ¡ thỏa f ( 2 ) = f (- 2 ) = 0 và đồ thị

hàm số y = f ¢(x) có dạng như hình vẽ bên dưới

Hàm số y =( f ( x) )2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau:

nghịch biến trên khoảng (- ¥ ; - 2) và (1; 2)

Bài 8 Cho hàm số y f x Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ dưới

download by : skknchat@gmail.com

Đồ thị hàm số y f x nằm “phía trên” đồ thị y x 1 khi x3; 1 3;.

A. g x nghịch biến trên khoảng 0; 2

B. g x đồng biến trên khoảng 1; 0

C. g x nghịch biến trên khoảng 21; 0

D. g x đồng biến trên khoảng; 1

download by : skknchat@gmail.com

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 6. Cho hàm số y x3 3 x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 và nghịch biến trên khoảng 1;

B Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )

C Hàm số nghịch biến trên khoảng; 1 và đồng biến trên khoảng 1;

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

Câu 7. Cho hàm số y x4 2 x2 5 Kết luận nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1

B Hàm số nghịch biến với mọi x

C Hàm số đồng biến với mọi x

D Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 0 và 1;

Câu 8 Các khoảng đồng biến của hàm số y x3 3x là

A Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

B Hàm số đã cho nghịch biến trên

D Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Câu 10 Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên ?

22

download by : skknchat@gmail.com

A. y sin x 3 x. B. y cos x 2 x. C. y x3 x2 5 x 1. D. y x5.

Câu 11 Cho hàm số y x3 3 x 2 5 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 B Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; D Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2

Câu 12: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số y 1x3 2 x 2 3 x 1

Cho hàm số y x 1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ;1

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;1 và khoảng 1;

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;

D Hàm số đã cho nghịch biến trên tập \ 1

Câu 20 Cho hàm số y x 3 3 x 2 Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

D Hàm số nghịch biến trên khoảng;

Câu 21 Hàm số y x 2 4 x 4 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Câu 24 Cho hàm số y x 3 3 x 2 9 x 1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 , 3; ; nghịch biến trên 1;3

B Hàm số đồng biến trên 1;3 , nghịch biến trên; 13;

C Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng; 3 , 1;; nghịch biến trên 3;1

D Hàm số đồng biến trên 1;3 , nghịch biến trên mỗi khoảng; 1 , 3;

D Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Câu 26 Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y x4 2 x2 3

Câu 28 Cho hàm số y x3 3 x 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1

download by : skknchat@gmail.com

B Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;

C Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

Câu 29 Cho hàm số y x3 3 x2 1, kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số là đúng nhất:

A Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng

2;;

B Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 ;

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 và đồng biến trên các khoảng

A Hàm số đồng biến trên khoảng 3; 4

B Hàm số đồng biến trên khoảng 4;

C Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 4

Câu 31 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số sau đồng biến trên

Câu 33 Tìm m để hàm số y x3 3mx2 3 2 m 1 1 đồng biến trên

m y m2 1 x3 m 1 x 2 x 4

nghịch biến trên khoảng;?

0; 2

Câu 37 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

trên từng khoảng xác định của nó?

Câu 38 Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số m

y x 4 2 mx 2 3m 1 đồng biến trên khoảng 1; 2

Câu 41 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên

như hình dưới đây.Tìm mệnh đề đúng

trong các mệnh đề sau

A Hàm số đồng biến trên khoảng ;3

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;

y = 3 x + m 2 + 3 m đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?

Mênh đê nao sau đây la sai?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;1

B Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;3

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2;

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 3;

Câu 54 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Khẳng định nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên 1;1

B Hàm số nghịch biến trên các khoảng 1; 0 và 1;

C Hàm số đồng biến trên các khoảng 1; 0 và 1;

D Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 0;1

28

download by : skknchat@gmail.com

Câu 55 Cho đồ thị hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị y

như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là đúng?

7

A Hàm số đồng biến trên khoảng 1;3

B Hàm số nghịch biến trên khoảng 6;

C Hàm số đồng biến trên khoảng ;3

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; 6

Câu 56 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2;

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 3;

C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;3

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;1

Câu 57 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau

Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 58 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

download by : skknchat@gmail.com

Câu 59 Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số có

dạng y ax3 bx2 cx d a 0 Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới

B Nghịch biến trên khoảng 3;0

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Hỏi hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. 0; B. ;0 C. 1;0 D. 1;2 Câu 65 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau

Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 66 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

biến thiên như hình vẽ bên Hàm số

y f x nghịch biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau đây?

bảng biến thiên bên

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành.

B Hàm số có hai điểm cực trị.