Đặt Vấn đềTìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng hoặc lên một mặt phẳng cho trước là bài toán cơ bản của học sinh trung học phổ thông.. Trong khi đó dạng toán tìm cực
Trang 1I Đặt Vấn đề
Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng hoặc lên một
mặt phẳng cho trước là bài toán cơ bản của học sinh trung học phổ thông Trong
khi đó dạng toán tìm cực trị hình học thì học sinh gặp lúng túng trong cách tìm lời
giải cũng như phương pháp giải bài toán dạng này Vì vậy trong sáng kiến kinh
nghiệm này tôi muốn áp dụng tìm hình chiếu của một điểm để giải một số dạng
toán cực trị hình học
Phương pháp này giúp học sinh quy các bài toán phức tạp về bài toán đơn
giản đã học Tạo hứng thú trong cách tìm lời giải rèn luyện tư duy lô gíc phát triển
khả năng sáng tạo trong việc tìm lời giải cho một bài toán
II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Sau đây tôi đưa ra một số dạng toán cực trị hình học áp dụng phương pháp
tìm hình chiếu của một điểm để giải bài toán Để cho đơn giản tôi đưa ra một ví dụ
cụ thể từ đó tổng quát hoá bài toán và nêu hướng dẫn lời giải để từ đó phát triển tư
duy cho học sinh
Bài toán 1: Cho đường thẳng d: x - 2y - 2 = 0 và 2 điểm A(0;1) và B(3;4) Tìm
điểm M trên d sao cho MA 2MB là nhỏ nhất
Lời giải
Ta có MAMCCA và 2MB 2MC 2CB
Từ đó tìm điểm C cố định sao cho CA CB2 0
áp dụng đẳng thức véc tơ từ đó tìm được điểm C(2;3)
Khi đó MA 2MB 3MC
Vậy MA 2MB 3MC là nhỏ nhất khi và chỉ khi MC là nhỏ nhất
Suy ra M là hình chiếu vuông góc của C trên d
áp dụng phương pháp tìm toạ độ hình chiếu suy ra )
5
3
; 5
16 (
M
Trang 2Tổng quát : Cho một đường thẳng d và 2 điểm A và B phân biệt cố định.Tìm điểm
M trên d sao cho a MAb MB là nhỏ nhất (với a và b là 2 số thực)
Hướng dẫn
Nếu a = 0 thì a MAb MB = b MB = b MB khi đó M là hình chiếu vuông
góc của B lên đường thẳng d
Nếu a 0 thì a MAb MB = MB Nếu đúng với mọi M trên
a
b MA
a b
đường thẳng d vì khi đó a MAb MB = a BA là không đổi
Nếu 1 khi đó ta tìm điểm C cố định sao cho (áp dụng đẳng thức
a
b
0
CB
a
b CA
véc tơ dễ dàng tìm được toạ độ điểm C) Khi đó a MAb MB = MC
a
b
a( 1 )
Vậy M là hình chiếu vuông góc của C lên d
Bài toán 2: Cho đường thẳng d: x - 2y - 2 = 0 và 2 điểm A(0;1) và B(3;4) Tìm
điểm N trên d sao cho (2NA2 + NB2) là nhỏ nhất
Lời giải
CA NC CA
NC CA
NC NA
CB NC CB
NC CB
NC NB
NB2 2 ( ) 2 2 2 2
Cộng lại ta được 2NA2 NB2 3NC2 2CA2 CB2 2NC( 2CACB)
Từ đó ta tìm điểm C cố định sao cho 2CA CB 0 suy ra C(1;2)
Vậy (2NA2 + NB2) = 3NC2 + 2CA2 + CB2 nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu
vuông góc của điểm C lên đường thẳng d
Từ đó ta tìm được N(2;0)
Tổng quát: Cho đường thẳng d và 2 điểm A và B phân biệt cố định Tìm điểm N
trên d sao cho (aNA2 + bNB2) là nhỏ nhất với a và b là 2 số thực không âm
Hướng dẫn
Nếu b = 0 thì (aNA2 + bNB2) = bNB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi N là
Trang 3Nếu b 0 thì ( 2 2) ( NA2 NB2)
b
a b bNB
CA NC b
a CA
NC b
a CA NC b
a NA b
a NA
b
) (
)
2
CB NC CB
NC CB
NC NB
NB2 2 ( )2 2 2 2
Khi đó tìm điểm C cố định sao cho CA CB 0
b a
áp dụng đẳng thức véc tơ ta tìm được toạ độ điểm C
Khi đó ( 2 2 ) (( 1 ) 2 CA2 CB2 )
b
a NC b
a b bNB
Từ đó (aNA2 + bNB2) là nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu vuông góc của
điểm C lên đường thẳng d
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (R): 3x - 3y - 2z - 9 = 0 và 2 điểm A(1;4;5) và
B(0;3;1) Tìm P trên (R) sao cho PA 3 PB đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải
PAPCCA và 3PB 3PC 3CB Cộng từng vế ta được PA 3PB 4PCCA 3CB
Từ đó tìm điểm C cố định sao cho CA CB3 0 suy ra ; 2 )
4
13
; 4
1 (
C
Vậy PA 3PB 4PC Từ đó điểm P là hình chiếu vuông góc của điểm C lên mặt
phẳng (R)
áp dụng phương pháp tìm toạ độ hình chiếu suy ra ; 0 )
4
1
; 4
13 (
P
Tổng quát: Cho mặt phẳng (R) và 2 điểm A và B phân biệt cố định Tìm P trên (R)
sao cho thoả mãn a PAb PB đạt giá trị nhỏ nhất (Với a và b là 2 số thực)
Hướng dẫn
Nếu a = 0 thì a PAb PB = b PB = b PB khi đó P là hình chiếu vuông góc
của B lên mặt phẳng (R)
Trang 4Nếu a 0 thì a PAb PB = PB
a
b PA
Nếu 1 đúng với mọi P trên (R) vì là số không đổi
a
b
BA a PB b PA
Nếu 1khi đó ta tìm điểm C cố định sao cho
a
b
0
CB
a
b CA
áp dụng đẳng thức véc tơ từ đó ta tìm được toạ độ điểm C
Khi đó a PAb PB = PC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm P là hình
a
b
a ( 1 )
chiếu vuông góc của điểm C lên mặt phẳng (R)
Bài toán 4: Cho mặt phẳng (R): 3x - 3y - 2z - 15 = 0 và 3 điểm A(1;4;5); B(0;3;1)
và C(2;-1;0) Hãy tìm điểm Q nằm trên (R) sao cho (QA2+ QB2 + QC2) đạt giá trị
nhỏ nhất
Lời giải
DA QD DA
QD DA
QD
QA2 ( )2 2 2 2
DB QD DB
QD DB
QD
QB2 ( )2 2 2 2
DC QD DC
QD DC
QD
QC2 ( )2 2 2 2
Cộng từng vế lại QA2 QB2 QC2 3QD2 DA2 DB2 DC2 2QD(DADBDC)
Ta tìm điểm D cố định sao cho DADBDC 0
Suy ra được điểm D(1;2;2)
Vậy 2 2 2 2 2 2 2nhỏ nhất khi và chỉ khi Q là hình
QC QB
chiếu vuông góc của điểm D lên mặt phẳng (R)
Từ đó ta tìm được điểm Q(4;-1;0)
Tổng quát: Cho mặt phẳng (R) và n điểm A1; A2; ; An phânbiệt và cố định Hãy
tìm Q nằm trên (R) sao cho (QA12 QA22 QA n2)đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn
Tìm điểm D cố định sao cho DA1 DA2 DA n 0
QA
Trang 5Vậy (QA12 QA22 QA n2)nhỏ nhất khi Q là hình chiếu vuông góc của điểm D lên
mặt phẳng (R)
áp dụng phương pháp tìm hình chiếu ta tìm được toạ độ điểm Q
III Kết Luận
Qua công tác giảng dạy theo cách trên tôi thấy học sinh dễ hiểu và hứng thú
trong việc tìm lời giải phát huy được trí lực của học sinh Quy các bài toán lạ về
các bài toán quen thuộc đã học Từ đó tạo hứng thú tìm tòi lời giải cũng như tổng
quát hoá một bài toán hoặc cụ thể hoá bài toán đã cho
Trên đây là một vài kinh nghiệm tôi tích luỹ được trong những năm tôi dạy
học Mong rằng các cấp lãnh đạo đóng góp ý kiến để kinh nghiệm của tôi ngày
càng hoàn thiện hơn
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Trường THPT Bình Minh
Hiệu trưởng
Vũ Văn Chức
Bình Minh, ngày 25 tháng 5 năm 2008
Người viết
Nguyễn Văn Hoà