Bài giảng môn toán lớp 10 Bài 03: Dấu của nhị thức bậc nhất54771

DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT I - ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 1... XÉT DẤU TÍCH , THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT... Định lí về dấu của tam thức bậc hai 1... BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

CẤU TRÚC ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ II Câu 1: Xét dấu nhị biểu thức , Giải bất phương trình ( 3 điểm)

S3 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

I - ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

1 Nhị Thức bậc nhất

Khái niệm: Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x)=

ax+b trong đó a,b là hai số đã cho , a≠0

2 Dấu của nhị thức bậc nhất

Khái niệm: Nhị thức f(x)=ax+b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi

x lấy các giá trị trong khoảng ; + , trái dấu với hệ số a khi

a

b



x lấy các giá trị trong khoảng - ;

a

b



Bảng xét dấu nhị thức

x - - +

a b

f(x)  ax + b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

- +

Bài tập 1: Xét dấu nhị thức sau :

a) f(x)  2x + 4

b) f(x)  6 – 3x

c) f(x)  ( 2x + 4 ) + ( 6 – 3x )

Giải :

a) f(x) = 2x + 4

f(x)  0  2x  -4

 x  -  -2

a

4

BẢNG XÉT DẤU

Vậy f(x)  0 khi x  (- ; -2 ) f(x)  0 khi x (-2 ; + ) b) f(x)  6 – 3x f(x)  0  6  3x  x   2 3 6 BẢNG XÉT DẤU Vậy f(x)  0 khi x  ( - ; 2 ) f(x)  0 khi x  ( 2 ; +) c) f(x)= ( 2x + 4 ) ( 6 – 3x ) Ta có : 2x + 4 = 0  x = -2 6 – 3x = 0  x = 2 BẢNG XÉT DẤU Vậy f(x)  0 khi x  ( - ; -2 ) Hoặc x  ( 2 ; + ) f(x)  0 khi x  ( -2 ; 2 ) Bài tập 2 : Xét dấu nhị thức sau : a) f(x)  1 – x b) f(x)  3x + 5 c) f(x)  5 3 1   x x x - -2 +

f(x)  2x +4 - 0 +

x - 2 +

f(x)  6 – 3x + 0

-x - -2 2 +

2x + 4 - 0 +  +

6 – 3x +  + 0

-f(x) 0 + 0

-Giải

a) f(x)  1 – x

 f(x)  0  1  x  x  1

BẢNG XÉT DẤU

Vậy f(x)  0 khi x  ( - ; -1 ) f(x)  0 khi x  ( -1 ; + ) b) f(x)  3x + 5

 f(x)  0  3x  5  x 

3 5

BẢNG XÉT DẤU

Vậy f(x)  0 khi x  ( -  ; ) f(x)  0 khi x  ( ; + )

3

5

3 5

c) f(x) 

5 3

1





x

x

f(x)  0  1- x  0  x  1

 3x – 5  0  x 

-3 5

BẢNG XÉT DẤU

Vậy f(x)  0 khi x  ( - ; - ) hoặc x  (1 ; )

3 5

x - 1 + f(x) 1 – x + 0

-x - +

3 5

f(x)  3x +5 - 0 +

x - - 1 +

3 5

1 - x   + 0 

3x - 5  0 +  

f(x)  ║ + 0 

f(x)  0 khi x  ( - ; 1 ).

3 5

II XÉT DẤU TÍCH , THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT.

VD1: Xét dấu nhị thức sau :

f(x)  ( x  1 ) ( x  2 ) ( 2x – 5 )

Giải

Ta có : x  1  0  x  - 1

x  2  0  x  2

2x  5  0  x 

2 5

BẢNG XÉT DẤU

Vậy f(x) < 0 khi x  ( -  ; -1 ) hoặc ( 2 ; )

2 5

f(x)  0 khi x  ( -1 ; 2 ) hoặc x 

2 5

VD2 : Xét dấu nhị thức

f(x) 

x

x x

3 1

) 4 2 ( 2 (







Ta có : 2  x  0  x  2

2x  4  0  x    2

2 4

1  3x  0  x 

3 1

x - -1 2 

2 5 x  1  0 +  +  +

x  2    0   

2x  5      0 

f(x)  0  0  ║ 

BẢNG XÉT DẤU

Vậy f(x) < 0 khi x  ( - ; -2 ) hoặc ( -2 ; )

3 1

f(x)  0 khi x  ( -2 ; )

3 1

Luyện Tập

Bài tập 1: Xét dấu các biểu thức

a) f(x)  ( 2x  1 ) ( x  3 )

Ta có : 2x -1  0  x 

2 1 x  3  0  x  -3 BẢNG XÉT DẤU Vậy f(x) < 0 khi x  (  ; 3 ) hoặc x  ( ;  ) 2 1 f(x)  0 khi x  ( 3 ; 1 ) b) f(x)  ( 3x  3 ) ( x  2 ) ( x  3) Ta có : 3x  3  0  x  1 x - -2 2 

3 1 2  x      0 

2x  4  0     

1  3x    0   

f(x)  0  ║  0 

x - -3 

2 1 2x 1    0 

x  3  0 +  

f(x)  0 + 0 

x  2  0  x  2

x  3  0  x  3

BẢNG XÉT DẤU

Vậy f(x) < 0 khi x  (  ; 3 ) hoặc ( 2 ; 1 )

f(x)  0 khi x  ( 1 ;  )

c) f(x)  

1 3

4





3

) 2 ( 1 3 (

) 1 3 ( 3 ) 2 ( 4

x x

x x













) 2 ( 1 3 (

11 5

x x

x









 5x 11  0  x  

5 11  3x  1  0  x  

3 1  2  x  0  x  2 BẢNG XÉT DẤU Vậy f(x)  0 khi x  (  ;  ) hoặc (  ;  ) 5 11 5 11 3 1 x - -3 2 1 

3x  3      0 

x  2    0   

x  3  0     

f(x)  0  ║  0 

x - -  2 

5 11 3 1 3x  3  0     

x  2    0   

x  3  0    0 

f(x)  0  ║  ║ 

f(x)  0 khi x (  ; 2 )

3 1

d) 4x2 -1

 (2x  1) (2x  1)

 2x  1  0  x  

2 1

 2x  1  0  x 

2 1

BẢNG XÉT DẤU

Vậy f(x)  0 khi x  (  ;  ) hoặc x  ( ;  )

2

1

2 1

2 Giải các bất phương trình

a) 

1

2



5



x

  0

) 1 2 ( ) 1 (

) 1 ( 5 ) 1 2 ( 2









x x

x x

  0

) 1 2 ( 1 (

3









x x

x

Ta có :

 x  3  0  x  3

 x  1  0  x  1

 2x  1  0  x 

2 1

x -  

2

1

2 1

2x  1  0   

2x  1    0 

f(x)  0  0 

BẢNG XÉT DẤU

Vậy nghiệm của bất phương trình là : ( ; 1)  [3 ; ]

2 1

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

x - 1 3 

2 1 x  1      0 

x  1      0 

2x  1  0     

f(x)  ║  ║  ║ 

c) 

4

2

1





x

3



x

  0   0

) 3 ( 4 ( ) 4 ( 3 ) 3 ( 2 ) 3 ( 4 (         x x x x x x x x x ) 3 ( 4 ( 12    x x x x Ta có : x  12  0  x  12 x  4  0  x  4 x  3  0  x  3 x  0  x  0 BẢNG XÉT DẤU Vậy nghiệm của bất phương trình là : (12 ; 3)  (3 ; 0) d) ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

x - 12 4 3 0 

x  12  0       

x  4    0     

x  3      0   

x        0 

f(x)  0  0  0  0 

………

………

………

………

………

………

………

………

3 Giải các bất phương trình : a)5x  4 6 b)    2 5   x 1 10  x ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

S5: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI I Định lí về dấu của tam thức bậc hai 1 Tam Thức Bậc Hai Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x)  ax 2  bx  c  0, trong đó a,b,c là những hệ số, a  0 2 Dấu của tam thức bậc hai A  0 A  0 x - x1 x2 +

f(x)  0  0 

x - x1 x2 +

f(x)  0  0 

Cho f(x)  ax2  bx  c (a  0),   b2  4ac.

Nếu   0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x  R

Nếu   0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x 

a

b

2



Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x  x1 hoặc x  x2, trái dấu với hệ số a khi x1  x  x2 trong đó x1 , x2 , (x1  x2) là hai nghiệm của f(x)

VD1: f(x)  3x2  2x 5

  b2  4ac  22  4 3 (5)  64  0

 x1   x 2  1

3 5

BẢNG XÉT DẤU

Vậy f(x)  0 khi x  (  ; ) hoặc x  (1 ; )

3 5

f(x)  0 khi x  (  ; 1 )

3 5

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẦN

1 Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 +

bx + c  0 ( hoặc ax2  bx  c ≤ 0 , ax2  bx  c  0 , ax2  bx  c ≥

0, trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a  0

2 Giải bất phương trình bậc hai

VD: Giải bất phương trình sau :

a) 3x2  2x  5  0

b) 2x2  3x  5  0

c) 3x2  7x  4  0

d) 9x2  24x  16 ≥ 0

Giải

x - - 1 +

3 5

f(x)  0  0 

a) 3x 2  2x  5  0

Ta có : Tam thức f(x)  3x2  2x  5  0

∆′  1  3 5  0

Hệ số a  3 luôn dương (cùng dấu với a) , nên f(x)  0 Vậy nghiệm của bất phương trình là : (  ; )

b) 2x 2  3x  5  0

Ta có : Tam thức f(x)  2x2  3x  5  0

 x1  1 x 2 

2 5

Hệ số a  2  0 nên g(x) luôn dương với mọi x thuộc khoảng (1 ; )

2

5

Vậy nghiệm của bất phương trình là : ( 1 ; )

2 5

c) 3x 2  7x  4  0

Ta có : Tam thức f(x)  3x2  7x  4  0

 x 1  1 x2 

3 4

Hệ số a  3x  0 nen h(x) luôn âm với mọi x thuộc khoảng (  ; 1) hoặc ( ; )

3

4

Vậy nghiệm của bất phương trình là : ( ; 1)  ( ; )

3 4

d) 9x 2  24  16 ≥ 0

Ta có : Tam thức f(x)  9x2  24  16 ≥ 0

∆′  122  9 16  0

Nên f(x) có nghiệm kép x1  nên f(x)  0 với mọi x  và f(x) 

3

4

3 4

0 với x 

3

4

Bài Tập 1 : Xét dấu nhị các tam thức bậc hai

a) 5x2 – 3x + 1

b) 2x2  3x  5

c) x2  12x  3

d) (2x  3) (x  5)

Bài tập 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau :

a) f(x)  (3x2  10x  3) (4x  5) ;

b) f(x)  (3x2  4x) (2x2  x 1) ;

c) f(x)  (4x2  1) (8x2  x  3) (2x  9) ;

Bài tập 3: Giải bất phương trình sau :

a) 4x2  x  1  0

b) 3x2  x  4 ≥ 0

c) 

4

1



3



 x x

d) x2  x  6 ≤ 0

Bài tập 4: Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau

vô nghiệm

a) (m  2)x2  2(2m  3)x  5m  6  0

b) (3  m)x2  2(m  3)x  m  2  0



Giải

a) (m  2)x2  2(2m  3)x  5m  6  0

a b c



b2m  3

 (2m  3)2  (m  2) (5m  6)

 (2m)2  2 2m 3  32

 (5m2  6m  10m  12)

 4m2  12m  9  5m2  16m  12

 Δ  m2  4m  3

Để phương trình vô nghiệm thì Δ  0 hay m2  4m  3  0

m  3

Ta có : m2  4m  3  0 

m  1

Δ  b 2  ac a 2  2ab  b 2

BẢNG XÉT DẤU

Vậy để phương trình đã cho vô nghiệm thì m  1 hoặc m  3

m  ( ; 1) hoặc m  (3 ; )

c) (m  3)x2  2(m  3)x  m  2  0

Ta có :

 [(m  3 )]  (3  m) (m  2)

 m2  2 m 3  32  (3m2  6m  m2  2m)

 m2  6m  9  3m  6  m2  2m

Để phương trình Δ  0 hay 2m  7m  3m  0

m = 3

Ta có 2m2  7m  3  0 

m 

2 1

BẢNG XÉT DẤU

Vậy để phương trình đã cho vô nghiệm thì m  hoặc m  3

2 1

m - 1 3 

m2  4m  3  0  0 

m - 3 

2 1

2m2  7m  3  0  0 