hệ phương trình bậc hai:I - hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai Phương pháp: - Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn theo ẩn còn lại.. - Thế vào phương trì
Trang 1hệ phương trình bậc hai:
I - hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
Phương pháp: - Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn theo ẩn còn lại.
- Thế vào phương trình bậc hai, ta được một phương trình bậc hai
- Giải phương trình ta suy ra nghiệm của hệ
VD: Giải các hệ phương trình sau:
3 3 2
0 6 3 2
2
y x
y x y xy x
0 5 2
4 2
y x
x x y
0 6
2 3 2
y x xy
y x
7
5 2
2 2
y xy x
y x
4 2
0 4 5 2
3 2 2
y x
y x y xy x
) 2 ( 2
6 2 2
xy y
x
y x
ii- hệ phương trình đối xứng loại i:
đn: Là hệ phương trình có dạng: (I)
0 ) , (
0 ) , (
y x g
y x f
Với f(x,y) f(y,x) và g(x,y)g(y,x) Phương pháp: - Đặt ta sẽ được hệ phương trình (II)
y x P
y x S
0 ) , (
0 ) , (
P S G
P S F
Giải hệ phương trình này ta tìm được S, P Từ đó suy ra x, y là nghiệm của phương trình:
t2 - S.t + p = 0
Hệ (I) có nghiệm hệ (II) có nghiệm thoả mãn S2- 4P 0
VD1: Giải các hệ phương trình sau:
4
2 2 2
xy y x
xy y x
5
5 2 2
y x
xy y x
6
3 2
2
xy y x y x
y x xy
7
19 2 2
y xy x
y xy x
28 ) ( 3
11 2
2
y x y
x
xy y x
2
2 2 2
xy y x
y xy x
4
2 8 2 2 2
y x
xy y
x
4 1 1
3
y x
xy y x
136
20 2
2
y x
y x y x
y x
y x y x
y x y x
8
6
3
26
2 3 3
y x
y x
1
3 2 2
xy y x
xy y x
VD2: Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm:
8 3 2 2
m xy y x
m xy y x
0 ,
1 2
2
y x
m xy y x
m xy y x
m xy
y x
xy y x
1
4 4 ) ( 5
m m y x xy
m y xy x
2 ) (
1 2
m y x
m xy y x
2 2 iii- hệ phương trình đối xứng loại ii:
đn: Là hệ phương trình có dạng: (I) Với
0 ) , (
0 ) , (
y x g
y x f
) , ( ) , (x y g y x
Trang 2Phương pháp: Ta thường biến đổi như sau:
0 ) , (
0 ) , ( ) , ( 0
) , (
0 ) , (
y x g
y x g y x f y
x g
y x f
Sau đó, ta phân tích f(x,y)g(x,y) thành tích, trong đó có một nhân tử (x - y) VD1: Giải các hệ phương trình sau:
x y y
y x x
2 3
2 3 2
2
16
16 2 3
2 3
y x y
xy x
x y
xy
y x
xy
1
1 2 2
x x y
y y x
1 2
1 2
2 2
Làm bài 4: Từ
y y
1
0 2
1 2
0
2
x y y
y x y
Tương tự y1 Vậy x y1, 1
y
x x y
x
y y x
4 3
4 3
x y y
y x x
8 3
8 3 3 3
y x y
x y x
3 1 2
3 1 2
2 3
2
2 3
2
2 2
2 2
x y y
y x x
x y
y x
2 1
2 1 3
3
2
2
3 2
3 2
y x y
x y x
2 2 2 2
2 3
2 3
y
x x x
y y
1 3
1 3
3 2
2 2
x y y
y x x
VD2: Cho hệ phương trình:
m y x x
m y x y
2 ) (
2 ) ( 2 2
a) Giải hệ khi m = 0
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
VD3: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
my y y x
mx x x y
2 3 2
2 3 2
4 4
VD4: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
my y x y
mx x y x
2 2 3
2 2 3
7 7
iv- hệ phương trình đẳng cấp:
ĐN: Là hệ phương trình có dạng:
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 1
y c xy b x a
d y c xy b x a
Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra xem phương trình có nghiệm x = 0
Bước 2: Nếu x 0 thì ta đặt: x = ty (*)
0
0
k y
Hệ tương đương với:
) 2 ( ) (
) 1 ( ) (
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 2
d c k b k a y
d c k b k a y
k = k0 thoả mãn điều kiện:
2 1 2 2 2 2
1 1 2 1 )
2
(
)
1
(
d
d c k b k a
c k b k a
0
0 2 2 2 2
k
c k b k a
Bước 3: Thay k0 vào (1) hoặc (2), tìm ra được nghiệm y0 tương ứng; thay y0 và k0 vào (*) tìm ra x0 tương ứng
Trang 3Bước 4: Tìm ra nghiệm x0 và y0 tương ứng và kết luận.
VD: Giải các hệ phương trình sau:
15 3
9 5
38 4
5 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
2 2
2
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
17 3
2
11 2
3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
11 3
12 3
2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
7 3 2
1 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
4 3
1 4
2
2 2
xy y
y xy x
6 2
4
13 3
2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
0 9 8 5
0 4 8 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
8 2 3
16 2
3
2 2
2
y xy x
xy x
11
29 2 2
2 2
y xy x
y xy x
15 3
9 5
38 4
5 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
5 5 4
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Các hệ phương trình khác: