CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCI... CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:1.
Trang 1CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:
t anx= sinx , (x k )
cosx 2
c otx= cosx , (x k )
sin x2 cos x2 1
2
1
1 tan x, (x k )
2 cos x
2
1
1 cot x, (x k )
t anx.cotx=1,(x k )
2
sin x c os x (sinx cos )(1 sinx.cos ) x x
sin x c os x (sinx cos )(1 sinx.cos ) x x
2
4
1 sin 2 x sin x cos x
x x sin x cos x
x x sin x cos x
II BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
rad - -
-
-
-
6
4
3
2
2 3
3 4
5
x
độ -180o -90o -60o -45o -30o 0 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o
1
1
1
1
1 2
1
Chú ý: Cơng thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại:
180
x x rad
x rad( ) 180.x
Trang 2III GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
1) Cung đối nhau:
cos(–x) = cosx
sin(–x) = – sinx
tan(–x) = – tanx
cotg(–x) = – cotx
2) Cung bù nhau:
sin( )x sinx
cos( )x cosx
tan( )x tanx
cot( )x cotx
3) Cung hơn kém:
sin( )x sinx
cos( )x cosx
tan( )x tanx
cot( )x cotx
4) Cung phụ nhau.
sin )= cosx
2
( x
cos )= sinx
2
( x
tan )= cotx
2
( x
cotx )= tanx
2 ( x
5) Cung hơn kém.
sin( )
2 x cosx
cos )=
2 ( x
sinx
tan ) =
2 ( x
cotx
cot ) =
2 ( x
tanx
Ghi nhớ: Cos đối – Sin bù – Phụ chéo
IV CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1) Công thức cộng:
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
tan(a - b) = tana - tanb
1 + tana.tanb
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
tan(a + b) = tana + tanb
1 - tana.tanb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
2) Công thức nhân đôi :
sin2x = 2sinxcosx
cos2x = cos 2 x – sin 2 x
= 2cos 2 x - 1
= 1 – 2sin 2 x
tan2x = 2 2
1
tanx tan x
cot2x =
2
1 2
cot x
cotx
3) Công thức nhân 3:
sin3x = 3sinx4sin3 x
cos3x = 4cos 3 x – 3cosx
tan3x =
3 2
3
1 3
tanx tan x
tan x
4) Công thức hạ bậc:
os
2
cos x
c x
sin
2
x 5) Công thức tích thành tổng.
cosxcosy=
1
2 cos xy cos xy
sinxcosy=
2
1
y x Sin y x
sinxsiny=
1
2 cos x y cos x y
6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:
sinx + siny = 2 sin
cos
sinx – siny = 2 os
c sin
cosx + cosy = 2 cos
cos
cosx – cosy = 2 sin
sin
tanx + tany = ( )
cos
sin x y xcosy
tanx – tany = ( )
cos
sin x y xcosy
cotx + coty = ( )
sin
sin x y xsiny
cotx – coty = ( )
sin
sin y x xsiny
Trang 3V CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:
1 Phương trình sin x a ( 1 a 1):
a Nếu biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:a
+ 2
+ 2
b. Nếu không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:a
arcsin + 2
sin + 2
c. Nếu a 1; 0;1 thì:
2
2
2 Phương trình c x os a ( 1 a 1):
a. Nếu biểu diễn được dưới dạng côsin của những góc đặc biệt thì:a
+ 2
+ 2
b. Nếu không biểu diễn được dưới dạng côsin của những góc đặc biệt thì:a
arc os + 2
sin + 2
c. Nếu a 1; 0;1 thì:
2
2
xa x k k
a. Nếu biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:a
tanx a tanxtan x +k ,k
b Nếu không biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:a
tanx a x arc tan +a k ,k
c. Nếu a 1; 0;1 thì:
Trang 4
4
4
4 Phương trình c x ot a (xk ,k )
a. Nếu biểu diễn được dưới dạng côtang của những góc đặc biệt thì:a
c x a c xc x k k
b. Nếu không biểu diễn được dưới dạng côtang của những góc đặc biệt thì:a
c x a x c a k k
c. Nếu a 1; 0;1 thì:
4
2
4
5 Phương trình a.sinx+b.cosx=c (a2b2 0)
+ Phương trình có nghiệm khi 2 2 2
c a b
+ Phương trình vô nghiệm khi : 2 2 2
c a b
Khi đó: PT
2a 2 s inx+ 2b 2 cosx= 2c 2
đặt: 2 2
os =
sin
a c
b
phương trình trở thành:
s inx osc cosx sin c
sin(x ) c
*Chú ý
Nếu a b 0, c 0 thì:a sin x b cos x 0 tan x b
a
6 Phương trình đẳng cấp bậc hai giữa sinx và cosx : asin2x b sin cos +ccosx x 2x d 0 (1)
+ Nếu cosx 0 sin2x1 thì a d 0(*), nếu (*) đúng thì cosx0 là nghiệm của (1), ngược lại cosx0 + Xét cosx 0 tanx Chia cả hai vế của PT (1) cho 2 , ta có:
os
Trang 52 (2)
(a d) tan x bt anx+(c+d)=0
