Hướng dẫn giải 5 Bài toán về Tiếp tuyến đường tròn54446

HD giải 5 Bài toán về Tiếp tuyến đường tròn Bài 1 Cho đường tròn O và đường thẳng d không cắt nó.. Chứng minh SPQ đi qua một điểm cố định.. HD giải Gọi T là cực của d với O.Đường đối c

HD giải 5 Bài toán về Tiếp tuyến đường tròn

 Bài 1

Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt

nó Lấy điểm S cố định nằm trong (O) và không

trùng O Lấy điểm M di động trên d Kẻ 2 tiếp

tuyến MP,MQ đến (O) (P,Q là tiếp điểm) Chứng

minh (SPQ) đi qua một điểm cố định

HD giải

Gọi T là cực của d với (O).Đường đối cực

của T đi qua M nên đường đối cực của M đi

qua T.Hay P,Q,Tthẳng hàng

Trên ST lấy điểm K sao cho

TS.TK=TP.TQ

Khi đó hiển nhiên K (SPQ).

Mặt khác do d cố định nên T cố định.Do đó TS.TK=TP TQ = PT/(O)) là hằng số nên K cố định

Vậy (SPQ) đi qua K cố định. (dpcm)

 Bài 2

Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Có cạnh bên AB cố định và các đỉnh C, D thay đổi Chứng minh đường thẳng đi qua giao điểm 2 đường chéo và song song với 2 đáy luôn đi qua 1 điểm cố định

HD Giải

Kẻ tiếp tuyến từ A và B của (O), chúng cắt nhau tại I

AC ∩ BD =L ta sẽ chứng minh IL//AD

Thật vậy, dễ dàng chứng minh IAOB là tứ giác nội tiếp

 AIB=180o−AOB

AOB=ALB(do cùng chắn cung AB) AIBL:tgnt ILA=IBA

Mà IBA=BCA=CAD  IL // AD

Vậy đường thẳng đi qua giao điểm 2 đường chéo luôn đi qua một điểm cố định là giao

2 tiếp tuyến tại A,B

 Bài 3 :

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng qua A cắt tiếp tuyến của (O) tại B,C ở M,N và cắt (O) tại E Gọi F là giao điểm của BM và CN Chứng minh EF đi qua một điểm cố định khi

đường thẳng qua A thay đổi

Gợi ý :

Gọi giao điểm của BM và CN là P Ta

chứng minh A ,K,P¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Theo Ceva thì điều trên tương

đương BM /BP ⋅CP/CN⋅AN/AM=−1

Mặt khác ta lại có

MA /ME = NE.NA = (−CA/CE)2)

 BM/AM ⋅CN/AN = −1

Ta có đpcm !~

 Bài 4

Cho ba điểm A,B,C cố định lấy theo thứ tự đó trên một đường thẳng.Vẽ đường tròn tâm (O) di động qua A và B.Kẻ tiếp tuyến CD,CE với (O)

a/ Chứng minh rằng: CD2=CA.CB

b/ Chứng minh rằng: DE luôn đi qua 1

điểm cố định F

c/ Gọi I là trung điểm của DE.Khi đường

tròn(O) thay đổi luôn qua A và B thì các

điểm D và I nằm trên những đường nào?

d/ Gọi MN là đường kính vuông góc với

AB và P là giao điểm của CM với (O)

Chứng minh rằng các đường thẳng

AC,DE,NP đồng qui

HD Giải

a & b) Gọi J là giao của DE và AB từ O

kẻ OK  AB tại K

  DKCˆ= CDJˆ Δ CJD  Δ CDK

CJ.CK = CD2 = CA.CB không đổi (ĐA a)  J cố định  đpcm câu b/

c) * CD không đổi (câu b) mà C cố định  D cố định  D cách C cố dịnh một

khoảng không đổi bằng CD  C∈ (C;CD)

* J, C cố định  JC không đổi và JIC = 90 0  I nhìn đoạn JC cố định dưới góc 900

 I thuộc đường tròn đk JC

d) CI.CO=CD2=CP.CM  ΔCPI  ΔCOM

CIPˆ= CMOˆ  MOIP nội tiếp  IPMˆ=KOIˆ (1)

Mà ỌIKK nội tiếp KOIˆ = IJCˆ (2)

Từ (1)(2) IPMˆ= IJCˆ  JIPC nội tiếp

 JPCˆ=JICˆ=900  JP MC tại P, mà JP  MC tại P  đpcm.

 Bài 5

Cho đường tròn tâm (O),điểm K nằm ngoài đường

tròn.Kẻ các tiếp tuyến KA,KB và cát tuyến KCD với

đường tròn.Gọi H là trung điểm của CD.Đường

thẳng đi qua H và song song với BD cắt AB ở I

Chứng minh rằng CI OB

PHH sưu tầm 9-2013 - Nguồn diendantoanhoc