Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, tức là vừa nằm trong mặt phẳng này vừa nằm trong mặt phẳng kia.. Giao tuyến đi qua hai điểm - Tìm hai
Trang 1CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ SONG SONG
Vấn đề 1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, (tức là vừa nằm trong mặt phẳng này vừa nằm trong mặt phẳng kia).
Dạng 1 Giao tuyến đi qua hai điểm
- Tìm hai điểm chung và của A B ( )a và ( )b ;
- Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm (AB ( )a ( )b )
* Chú ý: Thông thường điểm chung thứ nhất dễ nhận ra, điểm chung thứ hai thường là giao điểm của hai đường thẳng đặc biệt lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đã cho nhưng lại thuộc mặt phẳng thứ ba
Do đó cần tìm hai đường thẳng nào cắt nhau, hai đoạn thẳng nào kéo dài cắt nhau trong mặt phẳng.
Dạng 2 Giao tuyến đi qua một điểm và có giá song song
- Tìm một điểm chung (là điểm chẳng hạn) của hai mặt phẳng S ( )a và ( )b ;
- Hai mặt phẳng ( )a và ( )b lần lượt chứa hai đường thẳng , và d1 d2 d1 Pd2 Khi đó giao tuyến cần tìm là đường thẳng đi qua và song song với S d d1, 2 (ký hiệu là xSy).
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho hình chóp S ABCD có đáy là tứ giác có các cặp đối không song song Tìm giao tuyến của: a) (SAC) và (SBD); b) (SAB) và (SCD); c) (SAD) và (SBC)
Bài 2. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD là đáy lớn) Tìm giao tuyến của: a) (SAC) và (SBD); b) (SAD) và (SBC); c) (SAB) và (SCD)
Bài 3. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC CD SA, , Tìm giao tuyến của:
a) (SAC) và (SBD); b) (SAD) và (SBC); c) (MNP) và (SAB);
d) (MNP) và ;(SAD) e) (MNP) và (SBC); f) (MNP) và (SBD)
Bài 4. Cho tứ diện ABCD Gọi , lần lượt là trung điểm I J AC, BC K; là điểm thuộc BD sao cho
Tìm giao tuyến của:
KD < KB
a) (I JK) và (ACD); b) (I JK) và (ABD)
Bài 5. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm Lấy O N M, lần lượt thuộc SA, SB sao cho 1 ; Tìm giao tuyến của:
4
4
a) (OMN) và (SAB); b) (OMN) và (SAD);
c) (OMN) và (SBC); d) (OMN) và (SCD)
Vấn đề 2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng I a ( )a :
- TH1: ( )a chứa đường thẳng và cắt tại thì chính là giao điểm của đường thẳng với mặt b b a I I a
phẳng ( )a .
Trang 2- TH2: ( )a không chứa đường thẳng nào cắt a
+ Tìm mặt phẳng ( )b chứa đường thẳng ;a
+ Tìm giao tuyến của d ( )a và ( )b ;
+ Tìm giao điểm của và Khi đó là giao điểm cần tìm.I a d I
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho tứ diện ABCD Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC, BC ; K là điểm thuộc BD sao cho KD < KB Tìm giao điểm của:
a) CD và (MNK); b) AD và (MNK)
Bài 2. Cho tứ diện ABCD Gọi , là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh I J AB, AD với
và Gọi là trọng tâm tam giác Tìm giao điểm của:
1
3
4
a) I J và (BCD); b) I G và (BCD)
Bài 3. Cho tứ diện ABCD Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC, BC ; P là điểm thuộc BD sao cho PB = 2PD Tìm giao điểm của:
a) AC và (MNP) ; b) BD và (MNP)
Bài 4. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi là trung điểm của M SC Tìm giao điểm của:
a) AM và (SBD); b) SD và (ABM)
Bài 5. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB PCD, AB > CD Lấy I J K, , lần lượt nằm trên các đoạn SA, CD BC, Tìm giao điểm của:
a) SB và (I JK) c) I C và (SJK)
Vấn đề 3 Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp 1.
- Chứng minh hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng hoặc hiểu hiểu ngầm rằng điều đó hiển nhiên xảy ra nếu chúng nằm trong một hình phẳng nào đó.
- Dùng các phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng như: định lý Ta-let, các hình thang, hình bình hành, đường trung bình của tam giác, quan hệ song song,…
Phương pháp 2.
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
Phương pháp 3.
- Áp dụng định lý về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho trước thì giao tuyến của chúng cùng phương với hai đường thẳng ấy.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho tứ diện ABCD Gọi M N, theo thứ tự là trung điểm của AB, BC Mặt phẳng ( )P đi qua
cắt cạnh tại và khác Chứng minh song song với và
,
Bài 2. Cho tứ diện ABCD Gọi , lần lượt là trọng tâm các tam giác I J ABC và ABD Chứng minh rằng song song với I J CD
Bài 3. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB PCD, AB > CD Gọi , lần M N lượt là trung điểm SA, SB
a) Chứng minh rằng: MN PCD
b) Tìm giao điểm của P SC và (AND)
Trang 3c) AN cắt DP tại Chứng minh rằng: I SI PAB PCD
Vấn đề 4 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp 1 Để chứng minh d P( )a ta làm như sau:
- Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng nằm trong mặt phẳng d D ( )a
( )
d d
d
a
P
P
ìï Ë ïï ï
Û íD Ì
ïï D ïïî
Phương pháp 2 Để chứng minh d P( )a ta làm như sau:
- Chọn mặt phẳng ( )b chứa d
- Tìm giao tuyến của D ( )a và ( )b ;
- Chứng minh d P D.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, CD SA,
a) Chứng minh rằng: MN P(SBC) và MN P(SAD)
b) Chứng minh rằng: SB P(MNP) và SC P(MNP)
Bài 2. Cho tứ diện ABCD Gọi là trọng tâm tứ diện, G M Î BC sao cho MB = 2MC Chứng minh rằng: MG P(ACD)
Bài 3. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Gọi M , N P, lần lượt là trung điểm của SB SO OD, , Chứng minh rằng:
a) MN P(ABCD) và MO P(SCD)
b) NP P(SAD); NPOM là hình gì? Vì sao?
Vấn đề 5 Xác định thiết diện
Thiết diện (mặt cắt) là một đa giác được tạo bởi một mặt phẳng cắt một khối đa diện.
Phương pháp chung để xác định thiết diện
- Muốn tìm thiết diện của một khối đa diện cho trước cắt bởi mặt phẳng ( )a ta cần tìm các đoạn giao tuyến của ( )a với các mặt của khối đa diện Mặt phẳng ( )a này có thể không cắt tất cả các mặt của khối đa diện mà chỉ cắt một số mặt nào đó.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho tứ diện ABCD Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, CD P; Î AD và không là trung điểm AD Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP)
Bài 2. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm Gọi O M , N lần lượt là trung điểm , ; ( không trùng với và ) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
(MNP)
Bài 3. Cho hình chóp S ABCD Gọi M N, là hai điểm trên AB, CD Mặt phẳng ( )a qua MN và song song SA
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và ( )a ; (SAC) và ( )a
Trang 4b) Xác định thiết diện của hình chóp với ( )a
Bài 4 Cho tứ diện ABCD Điểm M tuỳ ý trên BC Mặt phẳng ( )a qua M và song song với AC, Xác định thiết diện của tứ diện với
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành Gọi I J K, , là trung điểm SA, SB BC,
a) Chứng minh rằng: I J P(SCD)
b) Chứng minh rằng: SD P(I JK)
c) Tìm giao điểm của AD với (I JK)
d) Xác định thiết diện của hình chóp với (I JK)
Bài 2. Cho hình chóp S ABCD đáy là hình thang (AB là đáy lớn) Gọi M N, lần lượt là trung điểm
a) Chứng minh rằng: MN P(SCD)
b) Tìm giao điểm của SA và (MNP)
c) Gọi là giao điểm của O AC và BD Tìm giao điểm của SO và (MNP)
Bài 3. Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành tâm Gọi O Q E F I, , , lần lượt là trung điểm , , ,
BC AD SD SB
a) Chứng minh rằng: FO P(SBC)
b) Chứng minh rằng: AI P(QEF)
c) Tìm giao điểm của J SC và (QEF)
d) Tìm thiết diện hình chóp và (I JF)
Bài 4. Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành tâm Gọi O M N, lần lượt là trung điểm SB,
; lấy điểm
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD)
b) Tìm giao điểm của SD và (MNP)
c) Gọi J Î MN Chứng minh rằng OJ P(SAD)
d) Tìm thiết diện hình chóp và (MNP) Thiết diện là hình gì?