* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : số cách chọn thỏa p.. Hàm số hợp
Trang 1PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1 Giai thừa : n! = 1.2 n
0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n
2 Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;
mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n
3 Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n
cách chọn hiện tượng 2 Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là :
m x n
4 Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau Số cách xếp : Pn = n !
5 Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật Số cách chọn :
)! k n ( k
! n
Ck
6 Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số
n!
(n k)!
Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị
7 Tam giác Pascal :
1
3 3
2 3
1 3
0 3
2 2
1 2
0 2
1 1
0 1
0 0
C C C C C
C C C C
C C C
C C C
Tính chất :
k 1 n
k n 1 k n
k n n
k n
n n
0 n
C C C
C C , 1 C C
8 Nhị thức Newton :
n 1
1 n 1 n 0 n 0 n
n C a b C a b C a b )
b a
C C C 2 Với a, b {1, 2, }, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :
n n
1 n
0
n,C , ,C
C
n 1
n 1 n n 0 n
n C a C a x C x )
x a
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa n bằng cách :
n
1 n
0
n,C , ,C C
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = 1, 2, a = 1, 2,
Trang 2- Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = 1, 2, , a = 1, 2,
- Cho a = 1, 2, , 2 hay
0
1 0
Chú ý :
* (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : k n k k m
n
C a b Kx
Giải pt : m = 0, ta được k
* (a + b)n : a, b chứa căn Tìm số hạng hữu tỷ
m r
n
C a b Kc d
Giải hệ pt : , tìm được k
Z q / r
Z p / m
* Giải pt , bpt chứa A ,Ck : đặt điều kiện k, n N* , k n Cần biết đơn
n
k n
giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp)
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p
Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác
* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải)
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75
II- ĐẠI SỐ
1 Chuyển vế : a + b = c a = c – b; ab = c
b / c a
0
b
Trang 3a/b = c ;
0 b
bc
b a
b
2n
a b a b, a b
a 0
0 a
a b b
a
b / c a
0
b c/b a
0
b 0,c 0
b c
ab
; b c a c b
a
2 Giao nghiệm :
} , a min{
x b x
a x
; } , a max{
x b
x
a
x
p
;
Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm
3 Công thức cần nhớ :
a : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm Làm mất phải đặt điều kiện
b a 0
0 b b a , b a
0 b b
a
b a
0
b 0 a
0 b b
a
) 0 b , a nếu ( b a
) 0 b , a nếu ( b a ab
b : phá bằng cách bình phương : a 2 a2 hay bằng định nghĩa :
) 0 a nếu ( a
) 0 a nếu ( a a
b a b a
; b a
0 b b
Trang 40 b a b
c Mũ : yax, xR,y0,ynếua1,ynếu0a1
a / a a ; (a ) a ; a / b (a/ b)
) 1 a 0 nếu ( n m
) 1 a nếu ( n m a
a
d log : y = logax , x > 0 , 0 < a 1, y R
y nếu a > 1, y nếu 0 < a < 1, = logaa
loga(MN) = logaM + logaN ()
loga(M/N) = logaM – logaN ()
()
2 a a
a
2
aM 2log M,2log M log M
logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc
logbc = logac/logab, loga M 1logaM
loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN M = N
0 M N(nếua 1) log M log N
M N 0(nếu0 a 1)
Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có điều kiện
4 Đổi biến :
a Đơn giản: taxbR,t x2 0,t x 0 t, x 0 t, ax 0 t, logaxR
b Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f.
c Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t
d Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên
5 Xét dấu :
a Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu
b Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0
c Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f
6 So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với :
f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0)
* S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a
Trang 5Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g(x1,x2) = 0
không đối xứng, giải hệ pt :
2 1
2 1
x x P
x x S
0 g
Biết S, P thỏa S2 – 4P 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0
* Dùng , S, P để so sánh nghiệm với 0 :
x1 < 0 < x2 P < 0, 0 < x1 < x2
0 S
0 P 0
x1 < x2 < 0
0 S
0 P 0
* Dùng , af(), S/2 để so sánh nghiệm với : x1 < < x2 af() < 0
< x1 < x2 ; x1 < x2 <
2 / S
0 ) ( a
0
2 / S
0 ) ( a 0
< x1 < < x2 ; x1 < < x2 <
a.f( ) 0 a.f( ) 0
0 ) ( a
0 ) ( a
7 Phương trình bậc 3 :
a Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0
x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a
Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C
thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0
b Số nghiệm phương trình bậc 3 :
x = f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0) :
3 nghiệm phân biệt
0 ) ( 0
2 nghiệm phân biệt
0 ) (
0 0
) ( 0
< 0hay f = 0 = 0
Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m
Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0
Trang 63 nghiệm
0 y y
0
CT CĐ
' y
2 nghiệm
0 y y
0
CT CĐ
' y
1 nghiệm y' 0
0 y y
0
CT CĐ
' y
c Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
0 y
0
uốn
' y
d So sánh nghiệm với :
x = xo f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với
Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa vào BBT
Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
< x1 < x2 < x3
y'
CĐ CT
CĐ
0
y( ) 0 x
x1 < < x2 < x3
CT
CT CĐ
' y
x
0 ) ( y
0 y y 0
x1 < x2 < < x3
CĐ
CT CĐ
' y
x
0 ) ( y
0 y y 0
x1 < x2 < x3 <
y'
CĐ CT
CT
0
y( ) 0 x
8 Phương trình bậc 2 có điều kiện :
x1 x x
x1 x2 x3
x1 x2 x3
x1 x2 x3
Trang 7f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0), x
2 nghiệm , 1 nghiệm
0
0 ) (
0 ) ( 0
0 ) ( 0
Vô nghiệm < 0
0 ) ( 0
Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN
9 Phương trình bậc 4 :
a Trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a 0)
0 ) t (
0 x
t = x2 x = t
0 S
0 P
0
0 S
0 P
0 2 / S 0
0 P
0 2 / S 0
0 S
0 P
VN < 0 < 0
0 S
0 P
0
0 0
P S
4 nghiệm CSC
1 2
2 1
t 3 t
t t 0
Giải hệ pt :
2 1
2 1
1 2
t
t P
t t S
t 9 t
b ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 Đặt t = x + Tìm đk của t bằng BBT :
x
c ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0 Đặt t = x – Tìm đk của t bằng BBT : t R
x
1
d (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d Đặt : t = x2 + (a + b)x Tìm đk của t bằng BBT
e (x + a)4 + (x + b)4 = c Đặt : , t R
2
b a x
Trang 810 Hệ phương trình bậc 1 : Tính :
'c y ' b x ' a
c by ax
D = , Dx = , Dy =
' b
b ' a
a
' b
b 'c
c
'c
c ' a a
D 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D
D = 0, Dx 0 Dy 0 : VN
D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết)
11 Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y Đạt S = x + y, P = xy
ĐK : S2 – 4P 0 Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P 0;
Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y
(, ) là nghiệm thì (, ) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất
= m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không
12 Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1
13 Hệ phương trình đẳng cấp :
' d y 'c xy ' b x ' a
d cy bxy
ax
2 2
2 2
Xét y = 0 Xét y 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x Có thể xét x = 0, xét x 0, đặt y = tx
14 Bất phương trình, bất đẳng thức :
* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của , , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm
* Bất đẳng thức Côsi :
2
b
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b
3
c b
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)2 (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
Trang 915 Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m Số nghiệm bằng số điểm chung
Nếu có điều kiện của x I, lập BBT của f với x I
16 Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x I :
Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x I
f(x) m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x) m : (C) trên (d) (hay cắt)
III- LƯỢNG GIÁC
1 Đường tròn lượng giác :
Trên đường tròn lượng giác, góc đồng nhất với cung AM,
đồng nhất với điểm M Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn
lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt :
bội của ( cung phần tư) và ( cung phần tư)
6
3
1
4
2 1
x = + : là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều
n
k
2 trên đường tròn lượng giác
2 Hàm số lượng giác :
3 Cung liên kết :
* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu )
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu)
2
4 Công thức :
a Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc
b Cộng : đổi góc a b, ra a, b
c Nhân đôi : đổi góc 2a ra a
d Nhân ba : đổi góc 3a ra a
e Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1 Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba
f Đưa về : đưa lượng giác về đại số
2
a tg
t
g Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a b) / 2
h Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a b
2
+ 2
0 2
0
A x+k2 M
cos chiếu
sin
chiếu xuyên tâm tg
M
Trang 105 Phương trình cơ bản : sin = 0 cos = – 1 hay cos = 1 = k,
sin = 1 = + k2; sin = –1 = – + k2,
2
2
cos = 0 sin = –1 hay sin = 1 = + k,
2
cos = 1 = k2, cos = – 1 = + k2
sinu = sinv u = v + k2 u = – v + k2
cosu = cosv u = v + k2
tgu = tgv u = v + k
cotgu = cotgv u = v + k
6 Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 c2
* Chia 2 vế cho a 2 b2 , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo )
2
u tg
t
7 Phương trình đối xứng theo sin, cos :
Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos
Đặt : t = sinu + cosu = 2 sin u , 2 t 2,sin u.cosu t2 1
8 Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu :
t
t sin u cos u sin u , t ,sin u.cos u
9 Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
2
1 t
10 Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
t
t sin u cos u sin u , t ,sin u.cos u
11 Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :
Xét cosu = 0; xét cosu 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức
1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu
12 Phương trình toàn phương mở rộng :
* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu
13 Giải phương trình bằng cách đổi biến :
Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x
* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi + x
Trang 11* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
* t = tg : nếu cả 3 cách trên đều không đúng
2
x
14 Phương trình đặc biệt :
*
0 v
0 u 0
v
*
C v
C u C
v
C
u
v
u
*
B v
A u B
A v
u
B
v
A
u
* sinu.cosv = 1
1 v cos
1 u
sin 1
v cos
1 u sin
* sinu.cosv = – 1
1 v cos
1 u
sin 1
v cos
1 u sin
Tương tự cho : sinu.sinv = 1, cosu.cosv = 1
15 Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
) 2 ( n
y x
) 1 ( m ) y ( F ) x ( F
thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :
b y x
a y x
b Dạng 2 : Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân
n y x
m ) y ( F )
x ( F thành +
n y x
m ) y ( F / ) x ( F
Dùng tỉ lệ thức : biến đổi phương trình (1) rồi dùng
d b
c
a d b
c
a d
c b
a
công thức đổi + thành x
d Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản
16 Toán :
* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C =
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2
* A, B, C (0, ) ; A/2, B/2, C/2 (0, /2)
A + B (0, ) ; (A + B)/2 (0, /2) ;
A – B (– , ) , (A – B)/2 (– /2, /2)
Dùng các tính chất này để chọn k
