Bài toán đường thẳng cắt hai đường tròn và các hệ quả53994

Bài toán đường thẳng cắt hai đường tròn và các hệ quảTrên Web diendantoanhoc, tác giả Đào Thanh Oai có bài “CM 1 bài toán hình và các hệ quả”.. Điểm A1≡A, điểm A4≡D; Điểm B1≡B, điểm B4

Bài toán đường thẳng cắt hai đường tròn và các hệ quả

Trên Web diendantoanhoc, tác giả Đào

Thanh Oai có bài “CM 1 bài toán hình và

các hệ quả”.

NST thấy đây là bài toán hay xin giới thiệu

đến các bạn như một chuyên đề hình học lí

thú.

Bài toán: CMR

Hai đường thẳng a và b cắt hai đường tròn

tại tám điểm A1,A2,A3,A4 và B1,B2,B3,B4

như hình vẽ

Các đường thằng A1,B1 giao

với A2,B2 tại M1; A3,B3 giao với A4,B4

tại M2 khi đó ta có:

 A1M1A2ˆ= A3M2A4ˆ

Chứng minh bài toán

Có M 1B2B1ˆ=M2A3A4ˆDo tứ giác A2A3B3B2 nội tiếp.

Và M1B1B2ˆ=1/2A1B4˜=1/2.(360−A1B1B4˜)=180*1/2A1B1B4˜

=180 −A1A4B4ˆ=M2A4A3ˆ

Nên ta có:

B1M1B2ˆ=180o−M1B1B2ˆ−M1B2B1ˆ=180o−M2A3A4ˆ−M2A4A3ˆ=A3M2A4ˆ

Mà B1M1B2 =  A1M1A2  A1M1A2ˆ= A 3M2A4

II.-Các hệ quả trực tiếp

Hệ quả 1:

Bốn điểm A,B,C,D nằm trên đường

tròn tâm O2, đường tròn tâm O1 tiếp

xúc với hai đường thẳng AD và BC

lần lượt tại M và N AB cắt CD tại I

khi đó phân giác  AID song song

với MN (Hình 2)

Chứng minh:

Đường thẳng AD là đường thẳng a, đường thẳng BC là đường thẳng b Điểm A1≡A, điểm A4≡D; Điểm B1≡B, điểm B4≡C; điểm A2≡A3≡M và B2≡B3≡N Theo bài toán trên

ta có góc tạo bởi đường thẳng MN và đường thẳng AB bằng góc tạo bởi đường thẳng

MN và đường thẳng DC do vậy phân giác góc AIDˆsong song với MN.’

Hệ quả 2:

Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp ABC cắt BC tại I, tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với AB,AC tại M và N Khi đó ta có MN song song với phân giác AIBˆ

(Hình 3)

Chứng minh:

Đường thẳng AC là đường thẳng a,

đường thẳng AB là đường thẳng b

Điểm A1≡B1≡A, điểm A4≡C;

Điểm B4≡B,

điểm A2≡A3≡M và B2≡B3≡N Theo bài

toán trên ta có góc tạo bở đường

thẳng MN và đường thẳng AI bằng

góc tạo bởi đường thẳng MN và

đường thẳng CB do vậy phân giác

 AIDˆ song song với MN

Hệ quả 3:

Đường tròn tâm O và tâm O1 cắt nhau tại C và B

điểm A trên đường tròn tâm O, AC và AB giao với

đường tròn tâm O tại M và N Khi đó tiếp tuyến tại A

sẽ song song với MN

Chứng minh:

Đường thẳng AB là đường thẳng a, đường thẳng

NC là đường thẳng b Điểm A1≡M, điểm B1≡N;

Điểm A4≡B4≡A, điểm A2≡A3≡B và B2≡B3≡C

Theo bài toán trên ta có góc tạo bở đường thẳng

MN và đường thẳng CB sẽ bằng góc tạo bởi tiếp

tuyến tại A và đường thẳng BC do vậy đường thằng

MN sẽ song song với tiếp tuyến tại A

Hệ quả 4 Định lý Reim

(Phần này tác giả không CM)

Hệ quả 5:

Đường tròn tiếp xúc với đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC tại đỉnh A cắt hai

cạnh AB,AC của tam giác tại M và N thì

MN song song BC

Chứng minh:

Đường thẳng AB là đường thẳng a,

đường thẳng AC là đường thẳng b

Điểm A1≡A2≡B1≡B2≡A; Điểm A3≡M,

điểm B3≡N và A4≡B và B4≡C

Theo bài toán trên ta có góc tạo bởi hai

đường thẳng A1B1 và A2B2 bằng 0 nên

góc tạo bởi MN và BC cũng bằng 0 nghĩa

là đường thẳng MN song song với BC

H ệ quả 6:

Một đường thẳng cắt hai đường tròn tại A,B,C,D như hình vẽ (Hình 7) thì góc hợp bởi đường thẳng tiếp tuyến tại A và B bằng góc hợp bởi hai đường thẳng tiếp tuyến tại C và D

Hệ quả 7:

Hai đường thẳng tiếp xúc nhau tại A, một đường thẳng đi qua điểm A cắt hai đường tròn tại A1 và A2 thì tiếp tuyến tại của hai đường tròn

tại A1 và A2 song song với nhau (Hình 8)

PHH sưu tầm, chỉnh lí hình và kí hiệu toán học để dễ dùng trong Word Nguồn Web diendantoanhoc