I V N LONG http://violet.vn/vanlonghanam
Giáo viên : L I V N LONG
Trang 2: GIÁO VIÊN: L I V N LONG TR NG THPT LÊ HOÀN
C NG ÔN T P H C K II, MÔN TOÁN L P 11
N M H C 2013 - 2014
A I S & GI I TÍCH
CH NG IV : GI I H N
1/ Ch ng minh dãy s (u n ) có gi i h n 0
Ph ng pháp: - V n d ng đ nh lí: N u |u n| ≤ v n, n và lim v n = 0 thì limu n = 0
- S d ng m t s dãy s có gi i h n 0: lim1 0
n , lim 1 0
n , lim31 0
n , limq n0v i |q|
< 1
2/ Tìm gi i h n c a dãy s , c a hàm s
- Các quy t c tìm gi i h n vô c c c a dãy s :
+) N u limun = + thì lim 1 0
n
u
- Các quy t c tìm gi i h n vô c c c a hàm s :
0
lim
x x f x
thì
0
xx f x
0
cách: chia t và m u cho n ho c x m l n nh t; phân tích t ho c m u thành nhân t đ đ n
gi n, nhân c t và m u v i m t l ng liên h p;…
Ph ng pháp chung:
- S d ng k t qu c a đlí 2 và các gi i h n c b n sau:
limun limvn = L lim(unvn)
vn
lim n n
u v
L < 0
0
)
(
lim
0
x
f
x
0
x g
x
x lim ( ) ( )
0
x g x f
x
x
) ( lim
0
x f
x
x lim ( )
0
x g
x
x D u c a
) ( lim
0 g x
x f
x
x
L > 0
L < 0
0
Trang 3I V N LONG http://violet.vn/vanlonghanam
1
0
lim
x x C C
2 N u h/s f(x) x/đ t i đi m x0 thì
0
0
x x f x f x
3
0
1
xx x (v i n > 0)
- Kh d ng vô đ nh 0
0;
; ; 0 x ∞
Ghi chú:
* N u PT f(x) = 0 có nghi m x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
* Liên h p c a bi u th c:
3 3ab là 3a23a b b 2 4 3ab là 3a2 3a b b 2
Bài toán 1 Tính gi i h n c a dãy sô:
Ví d : Tìm các gi i h n:
1/
2
3
2
8n 3n
lim
n
2/
2
2
lim
lim n 1 n 1 4/ lim 3 4 1
n n
n n
Gi i:
1/
2
3
2
8n 3n 3
lim lim 8 8 2
n n
3/
2
2
lim n 1 n 1 lim lim 1
n 1 n 1 1 1
n n
2/
2
2
3 1 2 2n 3n 1 n n 2
2 1
n
lim
n n
n n
1
2
1 2
4
1 1 4
3
n
n n
3/ Tính t ng c a c p s nhân lùi vô h n
Ph ng pháp gi i: S d ng công th c: u 1
S ,| q | 1
1 q
Bài toán 2: Tính t ng c a c p s nhân lùi vô h n
1 1 1
S 1
2 2 2
Gi i:
ây là t ng c a m t c p s nhân lùi vô h n, v i 1
q 1 2
và u1 1 V y: u 1 1
1
1 q 1
2
Bài 1: Ch ng minh các dãy s sau có gi i h n 0:
2
1
)
n
n
a u
n
sin 2 )
1
n
n
b u
n
cos 3
c u
n n
cos )
1
n
n
d u
n n
1
1
)
3
n
e u
n
n n
f u
)
n
h u) n n 1 n
Bài 2: Tính các gi i h n sau:
1) Lim
3
3
) 5 4 (
) 3 2 )(
2 1 (
n
n n
3
3 1
2
n
n n
4) lim
2 5 2
3
3
3 2
n n
n n
Trang 4
: GIÁO VIÊN: L I V N LONG TR NG THPT LÊ HOÀN
lim
7 5
3 3 4
2
3
2
3
n
n
n n
n
3
) 1 3
(
) 2 3 ( )
1
(
n
n n
n n
5 3 2
5 4
Bài 3: Tìm các gi i h n sau:
3
a
n n
3
2
) lim
b
n
) lim
n c
5
) lim
n n d
2
) lim
1 2
n n
e
n
3 2.5 ) lim
3.5 4
n n
) lim 2.4 2
n n
n n
) lim
2
h
n
) lim n
i u v i
n
u
n n
S: a) -3 b) + c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1
Bài 4 : Tính các gi i h n sau:
2
2
d n n
) lim 2.3n 5.4n
e f) lim 3n2 1 2n g) lim n2 1 n
2
) lim
3 3 2
) lim
m n n n
S: a) + b) - c) + d) + e) - f) - g) 0 h) + i) - k) -1/2 l) -3/2 m)
1/3
Bài 5: Tính t ng
1
n n
n
1
1 1 1
, , , , ,
Bài 6: Tính t ng c a c p s nhân lùi vô h n sau:
a)
1
n
1
n
S: a) 2/3 b) 3/2
Bài 7: Tính các gi i h n sau:
2
3
1 lim
2
x
x x
lim
3
x
x x
1 lim
x
x x
6,
2
2 1
lim
x
x x
2 lim
7 3
x
x x
3
lim
1
x
x x
9,
lim
x
x
1
x x x
2
Trang 5I V N LONG http://violet.vn/vanlonghanam
1
3 lim
x
x
14,
3
lim
x
15,
3
0
lim
x
x
x
16, 2
lim
x
x x
17, 7 2
lim
49
x
x x
Bài 8: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (D ng
):
a)
3
lim
x
3
lim
x
x x
2
lim 3
x
x x
x x
d)
lim
x
2
) lim
x
x e
lim
2 5
x
x
S: a) -1/2 b) - c) - d) - e) 0 f) -1/5
Bài 9: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (D ng: a.):
b) lim ( 4 3 5 3)
c) lim 4 2 2
S: a) + b) - c) + d) + e) - f) +
Bài 10: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (Gi i h n m t bên):
a)
3
1
lim
3
x
x
x
1 lim
4
x
x x
lim
3
x
x x
lim
2
x
x x
2 lim
x
x x
x x
lim
1
x
x x
S: a) - b) - c) + d) + e) 1 f) +
Bài 11: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (D ng 0
0):
a/
2
3
9
lim
3
x
x
x
b/
2
1
lim
1
x
x
3 lim
x
x
d)
3
2 1
1 lim
1
x
x x
2
2
1
lim
x
x x
f)
2
2
lim
x
x
x
g)
2
3
9 lim
1 2
x
x x
h) 4
lim
2
x
x x
i) 1
2 1 lim
x
x x
k)
2
2
lim
2
x
x
S: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0
Bài 12: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (D ng 0 ):
1
1
x
x x
x
b)
2 3
3
x
x x
x
2 2
2
x
x x
x
S: a) -1 b) 0 c) + d) 0
Bài 13: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (D ng - ):
S: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2
Bài 14: Tìm gi i h n c a các hàm s sau: (Áp d ng
0
sin
x
x x
a)
0
sin 3
lim
x
x
x
0
sin sin 2 lim
3
x
x
2
0
1 cos lim sin
x
x
d)
0
sin sin 2 sin
x
x
Trang 6: GIÁO VIÊN: L I V N LONG TR NG THPT LÊ HOÀN
S: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n!
4/ Xét tính liên t c c a hàm s
* Xét tính liên t c c a hàm s t i đi m:
– D ng I: Cho h/s 1 0
( ) ( )
( )
f x khi x x
f x
f x khi x x
Ph ng pháp chung:
B1: Tìm TX : D = R
B2: Tính f(x0); lim ( )
0
x f
x
x
B3: lim ( )
0
x
f
x
x = f(x0) KL liên t c t i x0
( ) ( )
( )
f x khi x x
f x
f x khi x x
* Xét tính liên t c c a hàm s trên m t kho ng
Ph ng pháp chung:
B1: Xét tính liên t c c a h/s trên các kho ng đ n
B2: Xét tính liên t c c a h/s t i các đi m giao
B3: K t lu n
* S d ng tính liên t c c a hàm s đ ch ng minh ph ng trình có nghi m
Ph ng pháp chung: Cho PT: f(x) = 0 c/m PT có k nghi m trên a b; :
B1: Tính f(a), f(b) f(a).f(b) < 0
B2: K t lu n v s nghi m c a PT trên a b ;
Ví d :CMR ph ng trình x73x5 2 0 có ít nh t m t nghi m
f x x x liên t c trên R nên f(x) liên t c trên [0;1]
f
f
Nên ph ng trình f x có ít nh0 t m t nghi m x0 0;1 , v y bài toán đ c
ch ng minh
Bài 1: Xét tính liên t c c a các hàm s sau:
1,
2 4
2
x
voi x
f x x
voi x
t i x = -2 2, f(x) =
nÕu x 3
3 x
4 nÕu x 3
t i x = 3
3,
2
0 ( )
x voi x
f x
x voi x
2 2 1
) (
x
x x
1 ,
1 ,
x
x
t i x = 1
Bài 2: Xét tính liên t c c a các hàm s sau trên TX c a chúng
1,
2 2
2
x
voi x
f x x
voi x
1
2
( )
x voi x x
g x
voi x
3,
2 1
1 1 )
x x
f
0 ,
0 ,
x
x
2
2
x > 2 2
x x
khi
x khi
Trang 7I V N LONG http://violet.vn/vanlonghanam
2
f x
x
Bài 3: Tìm s th c a sao cho các hàm s liên t c trên R:
1,
2
1 ( )
x voi x
f x
ax voi x
1
x = -1
x x
khi
Bài 4: Xét tính liên t c c a các hàm s sau:
a)
2
4
4 -2
x
khi x
f x x
khi x
khi x<3
5 khi 3
x
t i x0 = 3
c)
2
1
7 1
khi x
khi x
3
3 3
x
khi x
khi x
t i x0 = 3
e/
2
2
2 2 2
x
khi x
f x x
khi x
t i x0 = 2 f)
2
3 4 2
x
khi x
t i x0 = 2
S: a) liên t c ; b) không liên t c ; c) liên t c ; d) không liên t c ; e) liên t c ; f) liên t c
Bài 5: Xét tính liên t c c a các hàm s sau trên TX c a chúng:
a)
2
2
1 2
khi x
khi x
1
2 ( )
3 2
x
khi x x
f x
khi x
2
x x
khi
x khi
2
0
0 1
x x khi x
S: a) hsliên t c trên R ; b) hs liên t c trên m i kho ng (-; 2), (2; +) và b gián đ an t i x =
2
c) hsliên t c trên R ; d) hs liên t c trên m i kho ng (-; 1), (1; +) và b gián đ an t i x =
1
Bài 6: Tìm đi u ki n c a s th c a sao cho các hàm s sau liên t c t i x0
2
2
1 1
1
x x
khi x
v i x0 = -1 b)
2 1 ( )
x khi x
f x
ax khi x
c)
2
1 2
x
khi x
v i x0 = 2 d)
2
( )
x khi x
f x
a khi x
S: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2
Bài 7:
a) CMR ph ng trình sau có ít nh t hai nghi m: 3
2x 10x 7 0
b) CMR ph ng trình sau có it nh t m t nghi m âm: 3
1000 0,1 0
c) CMR: Ph ng trình x4
-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghi m trong kho ng (1; 2)
Trang 8: GIÁO VIÊN: L I V N LONG TR NG THPT LÊ HOÀN
x xx x có ít nh t m t nghi m x00;
c a m
Bài 8:
a) 4
x x có ít nh t m t nghi m
b) x53x 7 0 có ít nh t m t nghi m
2x 3x 5 0 có ít nh t m t nghi m
d)2x310x 7 0 có ít nh t 2 nghi m
e) cosx = x có ít nh t m t nghi m thu c kho ng (0; /3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nh t 2 nghi m
g) x33x2 1 0 có 3 nghi m phân bi t
m x x x luôn có ít nh t 2 nghi m v i m i m
1/ Các công th c tính đ o hàm:
o hàm c a hàm s s c p c b n o hàm c a hàm s h p
n
U =n.Un-1.U
2
(x0)
2
(U0)
)
( x =
x
2
U
2 U
(U0)
x gx
x tg x
tgx
x x
x x
2 2
/
2 2
/
/ /
cot 1 sin
1 cot
1 cos 1
sin cos
cos sin
2 /
/ 2 /
/ /
/ /
sin
1 cot
cos
1
sin cos
cos sin
U U gU
U U tgU
U U U
U U U
- Các quy t c tính đ o hàm (Ký hi u U=U(x), V=V(x))
UVUV UVU V UV
(k.U)k.U (k là h ng s ) 2
1 1
- o hàm c a hàm s h p: g(x) = f[U(x)] , g'x = f ' u U x
- o hàm c p cao c a hàm s
o hàm c p 2 : f "(x) = f(x)' '
o hàm c p n : n n-1
f (x) = f(x) '
Trang 9I V N LONG http://violet.vn/vanlonghanam
2/ Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s
Ph ng pháp:pt ti p tuy n c a đ th hàm s y = f(x) t i đi m M0 có hoành đ x0 có d ng:
y = f’(x 0 ) (x – x 0 ) + f(x 0 )
3/ Vi phân
- Vi phân c a hàm s t i n t đi m: df x( )0 f x'( ).0 x
- ng d ng vi phân vào tính g n đúng: f x( 0 x) f x( 0) f'(x0) x
- Vi phân c a hàm s : df x( ) f x dx'( ) hay dy y dx'
Bài 1: Dùng đ nh ngh a tìm đ o hàm các hàm s sau:
a) yx3 b)y3x21 c) y x 1 d) 1
1
y x
Bài 2: Tìm đ o hàm các hàm s sau t i đi m đã ch ra:
a) y = x2 + x ; x0 = 2 b) y =
x
1
1
1
x
x
; x0 = 0 d) y = x - x; x0
= 2
e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 f) y =
1
1 2
x
x
; x0 = 3 g) y = x.sinx; x0 =
3
h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 =
3 i) Cho f(x) 3x1, tính f ’’(1) k) Cho y = x cos2x Tính f”(x)
f x x 10 T Ýnh f '' 2 l)f x sin 3x Tính ; 0
f '' f '' f ''
Bài 3: Tìm đ o hàm các hàm s sau:
2
x x
x x
y 4.y(x32)(x1)
5.y5x2(3x1) 6.y x( 2 5)3 7.y(x2 1)(53x2)
8.yx(2x1)(3x2)
9.y(x1)(x2)2(x3)3 10
1
2
x
x
y 11
4 2
5 6
2 2
x
x x
12
1
3
5
x
x
x
y 13.y x2 6x7 14.y x1 x2 15
1 )
1
1 2
3 2
2
x
x x
2
17
y
2
x
x x
19)
3
y
x x
x
y abx 21)
y(a b ) 22) yx 3x2 23)
2
(x 2)
y
(x 1) (x 3)
y(x x) 25) 2
y x 3x2 26) 1 x
y
1 x
27)
1 y
x x
28/ y= x 1x2 30/ y=
x
x
1
1
31/ y= (2x+3)10 29/ y= x(x2
-x+1)
32/ y= (x2+3x-2)20
Bài 4: Tìm đ o hàm các hàm s sau:
Trang 10: GIÁO VIÊN: L I V N LONG TR NG THPT LÊ HOÀN
1)y3sin2 x.sin3x 2) 2
) cot 1
y 3) ycosx.sin2 x 4)
x
x y
sin 2
sin 1
5)
2
sin4 x
6)
x x
x x
y
cos
sin
cos
sin
4
8) y 2 tan x 2 9) y cos x3 4cot x
10)
2 cos
1
) 2 sin 1 (
1
x
y
sin 3x 13) y = cos ( x3 ) 14) y= 5sinx-3cosx 15) y = x.cotx 16) ycot 1 x3 2 17) y= sin(sinx)
ysin (cos 3x) 19) y x sin x
1 tan x
20)
sin x x y
x sin x
2
y 1 2 tan x
Bài 5: Tìm đ o hàm các hàm s sau:
d
cx
b
ax
y
e dx
c bx ax y
p nx mx
c bx ax y
22
Áp dung:
1 2
4 3
x
x
1 2
2
2
x
x x
3 2
4 3
2
2
x x
x x y
( ) sin cos
4
g x xCh ng minh
r ng: '( )f x g x'( ) ( x )
Bài 7: Cho yx33x22 Tìm x đ : a) y’ > 0 b) y’ < 3
S: a) 0
2
x
x
Bài 8: Gi i ph ng trình : f’(x) = 0 bi t r ng:
Bài 9: Cho hàm s f(x) 1 x Tính : f(3) (x 3)f '(3)
Bài 10:
y ; 2y ' (y 1)y "
x 4
b)
y 2x x ; y y " 1 0
c) Cho hàm s y =
x cos x sin 1
x cos x
4 x 3 x
; 2(y’)2 =(y -1)y’’
3
1 3
x sin 1
x cos
2 2
3 )
4
(
'
f
3
)
4
(
g) Ch ng t hàm y = acosx+bsinx th a h th c y’’ + y = 0
h) Cho hàm s :
2
2 2
x x
y Ch ng minh r ng: 2y.y’’ – 1 =y’2
i) Cho hàm s y = cos2
2x
a) Tính y”, y”’
b) Tính giá tr c a bi u th c: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8
Bài 11: Ch ng minh r ng f x'( )0 x , bi t:
3
f x x x x x x b/ f x( )2xsinx
Trang 11I V N LONG http://violet.vn/vanlonghanam
Bài 12: Cho hàm s
2
2
x x y
x
a) Tính đ o hàm c a hàm s t i x = 1
b/ Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i đi m M có hoành đ x0 = -1
Bài 13: Cho hàm s y = f(x) = x3
– 2x2 (C) a) Tìm f’(x) Gi i b t ph ng trình f’(x) > 0
b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i đi m M có hoành đ x0 = 2
c) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) bi t ti p tuy n song song v i đ ng th ng d: y = - x
+ 2
Bài 14: G i ( C) là đ th hàm s : yx35x2 Vi2 t ph ng trình ti p tuy n c a (C )
a) T i M (0;2)
b) Bi t ti p tuy n song song v i đ ng th ng y = -3x + 1
c) Bi t ti p tuy n vuông góc v i đ ng th ng y =1
7 x – 4
Bài 15: Cho đ ng cong (C): 2
2
x y x
Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C)
a) T i đi m có hoành đ b ng 1
b) T i đi m có tung đ b ng 1
3
c) Bi t ti p tuy n đó có h s góc là 4
Bài 16: Tính vi phân các hàm s sau:
a) yx3 2x1 b)
2 sin4 x
y c) y x2 6x7 d) ycosx.sin2 x e)
2
)
cot
1
y
Bài 17: Tìm đ o hàm c p hai c a các hàm s sau:
2
x
y
x
2) 2
2
x y
x x
3) 2
1
x y x
4)
yx x 5) yx2sinx 6) y (1 x2) cosx 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x
S: 1)
6 ''
2
y
x
3 2
''
2
y
x x
2
3 2
''
1
x x y
x
3
''
y
5) y''2x2sinx4 cosx x 6) y''4 sinx x(x23) cosx 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x
8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 18: Tính đ o hàm c p n c a các hàm s sau: a) 1
1
y x
S: a)
! 1
1
n n
n
n y
sin
2
n
y xn
Trang 12: GIÁO VIÊN: L I V N LONG TR NG THPT LÊ HOÀN
B HÌNH H C
D ng 1: Ch ng minh hai đ ng th ng a và b vuông góc
Ph ng pháp 1: Ch ng minh góc gi a hai đ ng th ng a và b b ng 0
90
Ph ng pháp 2: a b u v 0 (u v , l n l t là vect ch ph ng c a a và b)
Ph ng pháp 3: Ch ng minh a ( ) b ho c b ( ) a
Ph ng pháp 4: Áp d ng đ nh lí 3 đ ng vuông góc ( a vb a b' i b’ là hình chi u
c a đt b lên mp ch a đt a)
D ng 2: Ch ng minh đ ng th ng d vuông góc v i mp (P)
Ph ng pháp 1: Ch ng minh: d a và d b v i a b = M; a,b (P)
Ph ng pháp 2: Ch ng minh d // a, a (P)
Ph ng pháp 3: Ch ng minh: d (Q) (P), d a = (P) (Q)
Ph ng pháp 4: Ch ng minh: d = (Q) (R) và (Q) (P), (R) (P)
D ng 3: Ch ng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc
Ph ng pháp 1: Ch ng minh (P) a (Q)
Ph ng pháp 2: Ch ng minh (P) // (R) (Q)
Ph ng pháp 3: Ch ng minh (P) // a (Q)
D ng 4: Tính góc gi a 2 đt a và b
Ph ng pháp: - Xác đ nh đt a’// a, b’// b ( a’ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’)
D ng 5: Tính góc gi a đt d và mp(P)
Ph ng pháp: G i góc gi a đt d và mp(P) là
+) N u d (P) thì = 900
+) N u d không vuông góc v i (P): - Xác đ nh hình chi u d’ c a d lên mp(P)
- Khi đó: = (d,d’)
D ng 6: Tính góc gi a hai mp (P) và (Q)
Ph ng pháp 1:
- Xác đ nh a (P), b (Q)
- Tính góc = (a,b)
Ph ng pháp 2: N u (P) (Q) = d
- Tìm (R) d
- Xác đ nh a = (R) (P)
- Xác đ nh b = (R) (Q)
- Tính góc = (a,b)
D ng 7: Tính kho ng cách
Tính kho ng t m t đi m M đ n đt a:
Ph ng pháp: d M a ( , ) MH (v i H là hình chi u vuông góc c a M trên a)
Tính kho ng t m t đi m A đ n mp (P):
Ph ng pháp: - Tìm hình chi u H c a A lên (P)
- d(M, (P)) = AH
Tính kho ng gi a đt và mp (P) song song v i nó: d( , (P)) = d (M, (P))(M là đi m thu c )
Xác đ nh đo n vuông góc chung và tính kho ng gi a 2 đt chéo nhau a và b:
+) Ph ng pháp 1: N u a b :
- D ng (P) a và (P) b