Một hỡnh trụ cú thiết diện qua trục là hỡnh chữ nhật cú chiều dài 8 và chiều rộng 3.. đường trũn đỏy của hỡnh trụ cú đường kớnh chớnh là chiều dài của hỡnh chữ nhật.. Tớnh diện tớch toàn
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
MễN TOÁN Lớp 12
Thời gian làm bài: 90 phỳt;
(Tự luận)
Đề thi chớnh thức
Họ, tờn thớ sinh:
Số bỏo danh:
Câu 1: (3,5 điểm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y= 3 Gọi đồ thị là (C)
3
x x
b) Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm (-1; 2) tới đồ thị (C)
c) Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo tham số m: 3
2
x x xm
Câu 2: (1,5 điểm) Tìm tập xác định và tớnh đạo hàm của hàm số sau đõy:
1 1
2
x x
1 2
log x 3x2
Cõu 3: (2,0 điểm) Giải phương trỡnh mũ và logarit sau đõy:
2 2 3
1
1
2 2
x x
x -8x2.4x2x 2 0 lnxln(x 1) 0
Cõu 4: ( 2,0 điểm) Một hỡnh trụ cú thiết diện qua trục là hỡnh chữ nhật cú chiều dài 8 và chiều rộng 3 đường trũn đỏy của hỡnh trụ cú đường kớnh chớnh là chiều dài của hỡnh chữ nhật Tớnh diện tớch toàn phần của hỡnh trụ và thể tớch của hỡnh trụ đú
Cõu 5: (1,0 điểm) Cho một hỡnh cầu nội tiếp trong một hỡnh nún Gọi V1, V2 lần lượt là thể tớch của hỡnh nún và hỡnh cầu, Chứng minh rằng: 1
2
2
V V
Hết
(Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
Trang 2Đáp án:
Câu 1
Phần a)(2,0 điểm)
a)
+) Sự biến thiên của hàm số
- Tính y’=3x 2 -3=3(x 2 -1);
' 0
y
- Vậy y’>0 x ; 1 và 1; thì hàm số đồng biến trên ; 1 và
; y’<0 thì hàm số nghịch biến trên ;
1; 1;1x 1;1 0,5 Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1 và giá trị cực đại f(-1)=2; hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và giá trị cực tiểu f(1)=-2 0,25 - Giới hạn tai vô cực: ; 3 2 3 lim lim 1 x y x x x 3 2 3 lim lim 1 x y x x x 0,25 Bảng biến thiên: x -1 1
y’ + 0 - 0 +
y
2
-2
0,25
+) Đồ thị :
Giao điểm của (C) với OX có hoành độ là nghiệm của phương trình
: điểm A(- ;0), B( :0) và O(0;0)
3
x
Giao điểm của đồ thị với OY là điểm O(0;0), đồ thị có tâm đối xứng là điểm
O(0;0); x=0 là nghiệm của pt y’’=0
0,25
Trang 3PhÇn b)(0,75 điểm)
§êng th¼ng ®i qua (-1;2) víi hÖ sè góc k có phương trình là y=k(x+1)+2
Đường thẳng này sẽ là tiếp tuyến qua A của đồ thị khi và chỉ khi hệ sau có
2 3
2
k x
x x k x
0,25
1
2
x
x
0,25
b)
Với x=-1, từ (1) thì k=0 , ta được phương trình tiếp tuyến y=2
Với x= , từ (1) thì k=1 , ta được phương trình tiếp tuyến y=
2
9 4
PhÇn c)(0,75 điểm)
Trang 4, đặt y=f(x)= có đồ thị là đường
x x xm x xm 3
3
x x
cong (C) y=m có đồ thị là đường thẳng (d) đi qua điểm (0;m) luôn song
song với trục hoành, Quan sát sự tương giao của 2 đường ta có:
0,25
Nếu m<-2 và m>2 thì d cắt C tại 1 điểm nên phương trình (1) có 1 nghiệm
duy nhất
Nếu m=-2 thì d cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc tại một điểm nên phương trình
(1) có 1 nghiệm duy nhất vµ mét nghiÖm kép
Nếu -2<m<2 thì d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt, nên phương trình (1) có 3
nghiệm phân biệt
0,25 c)
2
m
m
2 (1) 2
m m
kép; với -2<m<2 thì (1) có 3 nghiệm phân biệt
0,25
Câu 2:(1,5 điểm)
phÇn a) :(0,75 điểm)
a)
1
2
x
phÇn b) :(0,75 điểm)
Trang 5Hàm số xác định 2 1
2
x
x
Vậy tập xác định D= ;1 2;
0,25 b)
Đạo hàm của hàm số trên là:
2 2
2 2
2
0,5
Câu 3: :(2,0 điểm) Giải phương trình mũ và logarit sau đây:
phÇn a) :(0,5 điểm)
2
2
2 3
1
x x
x x
x
a)
Vậy phương trình có nghiệm x=-1 và x=2
0,5
phÇn b) :(1,0 điểm)
x
2
1
x x
b)
Vậy phương trình có nghiệm x=0 và x=1
0,5
phÇn c) :(0,5 điểm)
2
2
2
x
x
c)
Vậy phương trình có nghiệm 1 5 và
2
2
x
0,5
Câu 4: (2,0 điểm)
Trang 6Gọi h và R là chiều cao và bán kính đáy hình trụ Vì hình trụ có thiết diện
qua trục là hình chữ nhật, do đó: h=3, 2R=8 nên R=4
0,5
day
.16.3 48
Câu 5: (1,0 điểm)
Gọi R là bán kính đáy hình nón, là góc hợp bởi đường sinh với đáy Ta
có SAH vì AO là phân giác SAH nên góc:
2
OAH
0,25
r AH R
1
tan
V R SH R
0,25
Trang 7;
3 3 3
3
2
R
2
1
2
2 tan 2
1 tan
2
V
V
0,25
Ta có
2
1
0,25