Đề thi vào 10 môn Toán tỉnh Ninh Bình53225

Một điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H... - Đối với bài hình học sinh có thể sử dụng nhiề

Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ

Mã ký hiệu: Năm học : 2008-2009

Đ01T- 08 - TS10CT Môn thi : Toán

Thời gian làm bài :150 phút

( Đề này gồm 05 câu, 01 trang)

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau :

P =

6 2 3 2 2

6 2 6

2 3 2

2

2 3 2



















x x

x x

x

x

Bài 2: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) b)

















2

1 2

2

2

2

x

xy

y

x

3 4

Bài 3: Chứng minh rằng :

2007 2008

2007 4015

1 4

3 7

1 3

2 5

1 2

1

3

1

















Bài 4 : BC là dây cung không là đường kính của đường tròn tâm O Một điểm A di

động trên cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

a) Chứng minh các tam giác AEF và ABC đồng dạng

b) Gọi A' là trung điểm của BC, chứng minh AH = 2OA'

c) Gọi A1 là trung điểm của EF, chứng minh : R.AA1 = AA'.OA'

d) Chứng minh rằng R(EF + FD + DE) = 2SABC từ đó tìm vị trí của A để tổng (EF + FD + DE) lớn nhất

Bài 5 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2

Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2

……… Hết………

Mã ký hiệu: Hướng dẫn chấm

Bài 1: (2,5 điểm)

Có : A =  2 2 3 2 2 cho 0,25 điểm

2 3 2 6

2 3 2 2

2 3 2



















x

x x

x x

A =  2 2 3 cho 0,25 điểm

2 3 2







x x

Tương tự có:

6 2 6

2 3 2

2

6 2

















x

x x

x

x

Từ đó Tập xác định là x 0 vàx 9 cho 0,25 điểm

Ta có P = A+B =     32 2

6 2 3

2 2

2 3 2















x

x x

x

=      cho 0,5 điểm

 3 32 2

3 6

2 3 2

3 2

















x x

x x

x x

 9 2 2

18 2 3 6 2 2 9 2 3 6 2



















x

x x

x x

x x

=     Cho 0,25 điểm

9 2

2 9

2 2 9















x

x x

x

Vậy P = Với x và x Cho 0, 25 điểm

9

9





x

x

0

Bài 2 ( 4,5 điểm)

a, Từ hệ















 2

1 2

2

2 2

x xy

y x

 xy +x2 2 2 cho 0,25 điểm

2



(*) cho 0,25 điểm

0 2

- Nếu y = 0 ta được : hệ này vô nghiệm cho 0,25 điểm











 2 2 1

2 2

x x

- Nếu y ≠ 0 ta có : (*)  3 2 0 cho 0,25 điểm

2



















y

x y x

 cho 0,5 điểm



















3

2

1

y

x

y

x

Vậy hệ đã cho tương đương với

hay cho 0,25 điểm













1

2x2 y2

y

x

















1 2

3 2

2 2

y x

y x

Giải hệ đầu ta được (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) cho 0,25 điểm

Hệ sau vô nghiệm cho 0,25 điểm

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là x = y = 1 hoặc x = y = -1 cho 0,25 điểm

b) Điều kiện - 4  x  1 cho 0,25 điểm

Phương trình tương đương với : (vì cả 2 vế đều không âm)

cho 0,25 điểm

9 3

4 2

 4  3xx2  2 cho 0,25 điểm

 4- 3x - x2 = 4 cho 0,25 điểm

 x2 +3x = 0 cho 0,25 điểm

 x(x + 3) = 0 cho 0,25 điểm

 x = 0 hoặc x = -3 cho 0,25 điểm Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = -3 cho 0,25 điểm

Bài 3 : (3điểm)

Ta có với n  1 thì

cho 0,5 điểm

1 2 1 1

2

2

2  











n n

n n

n

<   cho 0,5 điểm

1 1 1 2

1

2













n n n

n

n n

Từ đó ta có :

2 3

2 5

1 2

1

3

1















< 1- cho 0,75 điểm

4 4

2 1

4 4

2 1 1

1

2  











n

= 1- cho 0,5 điểm

2 2

2





n n

Vậy Sn < cho 0,25 điểm

2



n

n

áp dụng cho n = 2007 ta có S2007 < là điều phải chứng minh ( 0,5 điểm)

2009 2007

Bài 4 : Hình vẽ đúng cho 0,25 điểm

a) Chứng minh AEF đồng dạng  ABC

Có E, F cùng nhìn BC dưới một góc vuông nên E, F cùng thuộc đường tròn đường

kính BC Cho 0,25 điểm

 góc AFE = góc ACB (cùng bù góc BFE) cho 0,25 điểm

K

C B

A

E F

D

x

O H A'

A1

  AEF đồng dạng  ABC (g.g) cho 0,25 điểm

b) Vẽ đường kính AK

Có BE  AC(gt)

KC  AC (Vì góc ACK = 90 ) cho 0,25 điểm0

BE // KC cho 0,25 điểm



Tương tự CH // BK cho 0,25 điểm

Do đó tứ giác BHCK là hình bình hành cho 0,25 điểm

HK là đường chéo nên đi qua trung điểm A' của đường chéo BC  H, A', K

thẳng hàng cho 0,25 điểm

Xét tam giác AHK có A'H = A'K

OA = OK cho 0,25 điểm

Nên OA' là đường trung bình

AH = 2 A'O cho 0,25 điểm



c, áp dụng tính chất: nếu 2 tam gác đồng dạng thì tỉ số giữa 2 trung tuyến tương

ứng, tỉ số giữa 2 bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng nên ta có:

cho 0,25 điểm

 AEF đồng dạng  ABC =  cho 0,25 điểm

'

R

R

1

'

AA AA

Trong đó R là bán kính của đường tròn tâm O

R' là bán kính đường tròn ngoại tiếp  AEF cho 0,25 điểm

cũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cho 0,25 điểm

 R AA = R' AA' = 1 .AA' cho 0,5 điểm

2

AH

= AA' = AA' OA' cho 0,25 điểm

2

'

2OA

Vậy R.AA1 = AA' OA' cho 0,25 điểm

d, Trước hết ta chứng minh OA EF

vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn tâm O

Ta có OA Ax cho 0,25 điểm

Vì góc xAB = Góc BCA

mà góc BCA = góc EFA (cmt)

góc EFA = góc xAB cho 0,25 điểm



EF// Ax cho 0,25 điểm



OA EF cho 0,25 điểm

Chứng minh tương tự có OB DF và OC   ED

Ta có SABC = SOEAF + SOFBD +SODCE

= OA EF + OB FD + OC.DE cho 0,25 điểm

2

1

2

1

2 1

= R( EF + FD + DE ) (vì OA = OB = OC = R)

2 1

R (EF + FD + DE) = 2 S cho 0,25 điểm

 EF + FD + DE =

R

S ABC

2

Nên EF + FD + DE lớn nhất  SABC lớn nhất cho 0,25 điểm

Lại có SABC = BC.h (h là đường vuông góc hạ từ A đến BC)  S lớn

2

1

ABC

nhất  h lớn nhất  ABC là tam giác cân  A là điểm chính giưã của cung AB 

lớn cho 0,25 điểm

Bài 5: (3 điểm)

Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi là 2 nên ta có: 0 < a; b, c  1

(cho 0,25 điểm)

 a - 1 0 ; b - 1 0; c-1 0 cho 0,25 điểm   

 ( a -1) (b -1) (c -1) 0 

 ( ab - a - b +1) ( c -1) 0 cho 0,25 điểm 

 abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - 1 0 cho 0,25 điểm 

 2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c) 2 cho 0,25 điểm

 2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2 2 cho 0,25 điểm

 2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c) 2 cho 0,5 điểm 2 

 2abc - 2(ab + ac + bc) + a + b + c +2(ab + ac + bc) 2 (cho 0,25 điểm)2 2 2 

 2abc + a + b + c 2 (đpcm) cho 0,25 điểm2 2 2 

Chú ý: đối với các bài nếu có cách giải khác mà làm đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Đối với bài hình học sinh có thể sử dụng nhiều hình vẽ khác nhau cho các ý và ở ý 4 có thể sử dụng công thức tính diện tích của tứ giác có 2 đường chéo vuông góc mà không cần chứng minh lại.

Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ

Mã ký hiệu: Năm học : 2008-2009

Đ02T- 08 - TS10 CT Môn thi : Toán

Thời gian làm bài :150 phú

Bài 1:

a, Chứng minh rằng nếu ab 0 thì ta luôn luôn có

=

ab b a ab

b

a











2

b, Phân tích đa thức M = a10a5  1 thành nhân tử

Bài 2:



















1 )

(

2 ) (

2 2

2

y xy x y x

y y x

b, cho x, y 0 và x + y = 1

Chứng minh 8(x + y ) + 4 4

5

1 

xy

Bài 3: Cho đa thức f(x) = ax3 bx2 cxd

a) Chứng minh nếu f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x thì 4 số 6a; 2b; a + b + c ; d

đều là các số nguyên

b, Đảo lại nếu cả 4 số 6a; 2b; a + b + c ; d đều là các số nguyên thì đa thức f(x) có nhận giá trị nguyên với bất kỳ giá trị nguyên nào của x không? tại sao?

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm trên cạnh huyền BC, E là điểm

đôí xứng với D qua AB, G làgiao điểm của AB với DE, từ giao diểm H của AB với

CE hạ HI vuông góc với BC tại I các tia CH, IG cắt nhau tại K Chứng minh KC là tia phân giác của góc IKA

Bài 5: Chứng minh rằng phương trình

x - x + x - x + x - x + = 06 5 4 3 2

4 3

Vô nghiệm trên tập hợp các số thực

……… Hết………

Mã ký hiệu: Hướng dẫn chấm

Bài 1: (3 điểm)

a, Vì 2 vế đều không âm nên bình phương vế trái ta có:

b

a  2

2

= ( ) + ab + (a + b) + ( ) + ab - (a + b) +2

2

b

a 2

ab

2

b

a 2

ab ab 2 ab

) 2 (

Cho 0,25 điểm

= 2( ) + 2ab + 2( ) - 2ab Cho 0,25 điểm

2

b

a 2

2

b

a 2

( vì ( ) ab) Cho 0,25 điểm

2

b

a 2 

= 4( ) = (a + b) = ( + ) Cho 0,5 điểm

2

b

a b 2

(vì ab 0  a; b cùng dấu)

 ab ab + = + Cho 0,25 điểm

b a





(Với ab 0)

b, Ta có A = a + a + 110 5

= a - a + a - a + a + a + 1 10 5 2 2

= a(a - 1)(a + a + 1) + a (a - 1) + a + a + 1 Cho 0,25 điểm3 6 3 2 3 2

= a(a - 1)( a + a + 1)( a + a + 1) + 2 6 3

+ a (a - 1)(a + a + 1) + a + a + 1 Cho 0,25 điểm2 2 2

= (a + a + 1) a(a - 1)(a + a + 1) + a (a - 1) + 1) Cho 0,25 điểm2 6 3 2

= (a + a + 1)(a - a + a - a + a - a + 1) Cho 0, 5 điểm2 8 7 5 4 3

Bài 2: (5 điểm)

a, Nếu x = 0 thay vào ta có vô lý Cho 0,25 điểm











 1

2

2 3

y y y

Vậy x≠ 0 Đặt y = tx Cho 0,25 điểm

Ta có   Cho 0,25 điểm













1 )

(

2 )

(

2 2 2 2 2

x t tx x tx x

tx tx x

  2 = Cho 0,25 điểm

2

1 ) 1

(

) 1 (

t t t

t t









1 2

( vì t ≠ -1 hệ mới có nghiệm) Cho 0,25 điểm

 2 = 2 Cho 0,25 điểm

1

) 1

(

t t

t t







 t + t = 2 - 2t + 2t Cho 0,25 điểm2 2

 t - 3t + 2 = 0 Cho 0,25 điểm2

  Cho 0,25 điểm







 2

1

t

t

* Nếu t = 1  y = x  4x = 23

 x = y = Cho 0,25 điểm

3 2 1

* nếu t = 2  y = 2x

 18x = 2 Cho 0,25 điểm3



















3 3

9 2 9 1

y x

Tóm lại hệ có 2 nghiệm

x = y =

3 2 1

Hoặc ( x = ; y = ) Cho 0,25 điểm

3 9

1

3 9 2

b, áp dụng bất đẳng thức

( ) Với mọi a, b Cho 0,25 điểm

2

2 2

b

a  

2

b

a 2

ta có

2

4 4

y

x  

2

2 2

y

2

) 2 (







  y x

 ( ) = Cho 0,5 điểm

2

4 4

y

x  

2

y

x 4

16 1

 8( x + y ) 1 Cho 0,25 điểm4 4 

lại có xy ( ) = Cho 0,25 điểm

2

y

x 2

4 1

 4 Cho 0,25 ®iÓm

xy1 

VËy 8( x + y ) +4 4 1 + 4 = 5 Cho 0,25 ®iÓm

xy1 

Bµi 3: ( 4 ®iÓm)

a, Ta cã f(0) = d lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm

f(1) = a + b + c + d lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm

 f(1) - f(0) = a + b + c còng lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm f( -1) =- a + b - c + d lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm f(2) = 8a + 4b + 2c + d còng lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm VËy f(1) + f( -1) = 2b + 2d lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm

 2b lµ sè nguyªn ( v× 2d lµ sè nguyªn) Cho 0,25 ®iÓm f(2) = 6a + 2( a + b + c) + 2b + d lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm









d

b

c b a

2

Nªn 6a lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm

Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh

b, §¶o l¹i:

f(x) = ax + bx + cx + d3 2

= (ax - ax) + (bx - bx) + ax + bx + cx + d Cho 0,25 ®iÓm3 2

= a(x - 1)x( x + 1) + bx(x - 1) + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iÓm

= + + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iÓm

6

) 1 ( ) 1 (

6a x x x

2

) 1 (

2bx x

= 6a + 2b + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iÓm

6

) 1 ( ) 1 (x x x

2

) 1 (x

x

V× (x - 1)x( x + 1) lµ tÝch 3 sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho 6

 6a lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm

6

) 1 ( )

1

(x x x

x(x -1) lµ tÝch 2 sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho 2

nªn 2b lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm

2

) 1 (x

x

Vµ (a + b + c)x lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm

d lµ sè nguyªn

 f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên khi 4số 6a; 2b; a + b + c; d là các số

nguyên Cho 0,25 điểm

Bài 4: ( 6 điểm)

(Vẽ hình đúng 0,5 điểm)

Ta có G và I cùng nhìn HD dưới 1 góc vuông nên HGID là tứ giác nội tiếp

Cho 0,5 điểm

 Góc GHD = góc GIB (cùng bù với góc GID) Cho 0,5 điểm

Hay góc GHD = góc KIB Cho 0,5 điểm

lại có góc GHD = góc GHK ( do E và I đối xứng qua AB) Cho 0,5 điểm

 góc KIB = góc KHB ( cùng = góc GHD) Cho 0,25 điểm

Nên KHIB là tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm

Vì góc HIB = 90  góc HKB = 90 Cho 0,5 điểm0 0

Ta có góc B = góc K (Do KHIB là tứ giác nội tiếp) Cho 0,5 điểm1 1

Lại có K và A cùng nhìn BC dưới một góc vuông nên AKBC là tứ giác nội tiếp

Cho 0,5 điểm

 góc K = góc B Cho 0,5 điểm2 1

Từ đó ta có KC là phân giác của góc IKA Cho 0,5 điểm

Chú ý khi học sinh vẽ hình có thể khác cũng cho điểm tương tự.

Bài 5: (2 điểm)

* Nếu x 0 thì vế phải nhận giá trị dương nên ở khoảng này phương trình vô 

nghiệm Cho 0,5 điểm

* Nếu 0 < x < 1

4

1 4

1 4

1

x x x

x x

x x

x          

= 2 3 Cho 0,25 điểm

2 2

2 2 3

1 1

1 1

x x x

x









 

























E

B

I D

C A

H

G

2 1

cũng luôn dương nên ở khoảng này phương trình vô nghiệm

* Nếu x 1 ta có

Vế trái = x (x - 1) + x (x - 1) + x(x - 1) + Cho 0,25 điểm5 3

4 3

Cũng là số dương nên ở khoảng này phương trình vô ngiệm Cho 0,25 điểm

Tóm lại phương trình đã cho vô nghiệm trên tập hợp các số thực R

(Cho 0,25 điểm)

Chú ý khi chấm: nếu học sinh làm các bài theo cách khác nhưng đúng vẫn cho

điểm tối đa

Người soạn thảo : Phạm Văn Phan

Giáo viên trường THCS Lý Tự Trọng - Thành phố Ninh Bình - Ninh Bình