Chuyên đề Nhận dạng phương trình đường tròn. Tìm điều kiện để một phương trình là phương trình đường tròn53174

VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Dạng 1: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm.. Chú ý: : * Đường tròn C đi qua các điểm A, B  IA2 = IB2 = R2 * Trong dạng này có một bài toá

A MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.

VẤN ĐỀ 1: NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.

1 Phương pháp giải.

Cách 1:

- Đưa phương tŕnh đă cho về dạng: ( C) : x2 + y2-2ax -2by + c = 0 (1)

- Xét dấu biểu thức P = a2 + b2 – c

+ Nếu P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn ( C) có tâm I(a;b) và bán kính R =

a b c

+ Nếu P  0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn

Cách 2: Đưa phương trình về dạng: (x-a)2 + (y-b)2 = P (2)

+ Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R = P + Nếu P  0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn Tìm tâm và

bán kính nếu có

a) x2 + y2+2x -4y + 9 = 0

b) x2 + y2-6x +4y + 13 = 0

c) 2x2 + 2y2-8x -4y -6 = 0

d) 5x2 + 4y2+x -4y + 1 = 0

Giải: a) Ta có: a2 + b2 – c = -4 < 0  phương trình này không phải là phương trình đường tròn

b) Ta có: a2 + b2 – c = 0  phương trình này không phải là phương trình đường tròn

c) Ta có: a2 + b2 – c = 8  phương trình này là phương trình đường tròn tâm I(2/7;-3/7) và

bán kính R = 2 5

7 d) Phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x2 và y2 khác nhau

Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x2 + y2-2mx -4(m-2)y + 6 - m = 0 (1)

a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn

b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kình theo m

Giải: (1) là phương trình đường tròn  a2 + b2 – c > 0  m2 – 3m + 2 > 0  2

1

m m





 

 Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm I(m ; 2(m – 2)) và bán kính: R = 2

m  m

Ví dụ 3: Cho (C): x2 + y2-2xcos  -2y sin  + cos 2  = 0

a) CMR: (C) là đường tròn

b) Xác định  để (C) có bán kính Max

c) Tìm quỹ tích tâm I khi  thay đổi

Giải:

a) a2 + b2 – c = 1 – cos2  0 với mọi 

Khi a2 + b2 – c = 0 thì coi là đường tròn có bán kính bằng 0

c) Có R2 = 2 sin2   2 Rmax = 2  anpha =  /2 + k 

d) Toạ độ tâm I: os Khử anpha từ hệ này ta được toạ độ tâm I thoả mãn phương

sin

x c y









 

 trình đường tròn: x2 + y2 = 1

VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Dạng 1: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm.

Cách 1:

- Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn ( C)

- Tìm bán kính R của đường tròn ( C)

- Viết phương trình của ( C) theo dạng (x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2

Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn ( C) là: x2 + y 2 -2ax -2by + c = 0.

- Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.

- Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn ( C).

Chú ý: :

*) Đường tròn ( C) đi qua các điểm A, B  IA2 = IB2 = R2

*) Trong dạng này có một bài toán rất hay gặp là "Viết phương trình đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC", bài toán này cũng chính là bài toán viết phương trình đường tròn

đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước Giải bài này ta làm theo cách 2

Ví dụ 4 : Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm I(1; -5) và đi qua O(0;0)

b) Có đường kính AB: A( 1; 1), B( 7; 5)

c) Đi qua 3 điểm: A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2)

Giải: 1252= 26

a) Đường tròn này có bán kính là OI = 1252= 26

phương trình đường tròn có dạng (x-1)2 + (y+5)2 = 26

b) Đường tròn này có tâm I là trung điểm của AB: I(4; 3), bán kính bằng AB/2 =

2 13

13

 Phương trình đường tròn: (x-4)2 + (y-3)2 = 13

d) Giả sử phương trình đường tròn ( C) là: x2 + y2-2ax -2by + c = 0

Từ điều kiện đề bài ta có hệ phương trình:

2

1

2

20

a

a b c

a b c

c

 



Vậy phương trình đường tròn có dạng: x2 + y2+ 4x +y -20 = 0

Dạng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng.

Chú ý:

- Đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng   d(I,  ).= R

- Đường tròn ( C)đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng : tại A  d(I,  ) = IA.= R

- Đường tròn ( C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2  d(I, 1 ) = d(I, 2 ) = R

Ví dụ 5: Lập phương trình đường tròn ( C) trong các trường hợp sau:

a) ( C)có tâm I(2;3) và tiếp xúc với 0x

b) ( C)có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng  : x – 2y + 7 = 0

Giải:

a) Đường thẳng Ox có phương trình: y = 0 ( )

Ta có: R = d(I;; ) = 3 3

1  Vậy phương trình đường tròn ( C) có dạng: (x-2)2 + (y – 3)2 = 9

  



 Vậy phương trình đường tròn ( C) có dạng: (x+1)2 + (y – 2)2 = 4/5

Ví dụ 6: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và

Oy

Giải: Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư,, nên đường tròn cần tìm cũng ở góc phần tư thứ

tư Do đó tâm của đường tròn có dạng: I(R; -R), với R là bán kính đường tròn

R = IA  (2 – R)2 + (-1+ R)2 = R2  R2 – 6R + 5 = 0  1

5

R R





 

 Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: (x-1)2 + (y+1)2 = 1

(x-5)2 + (y+5)2 = 25

Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng d1 : 3x + 4y + 5 = 0 và d2 : 4x – 3y – 5 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng

d1 và d2

Giải:

Đường tròn cần tìm có tâm I nằm trên đường thẳng d

 toạ độ tâm I có dạng (6a +10; a)

- Vì đường tròn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R

a  a a  a



0

33

a

a







 



*) Với a = 0  I(10;0) và R = 7  ptđt: (x-10)2 + y2 = 49

*) Với a = -70/33  I ( -30/11; -70/33) và R = 97/33

 phương trình đường tròn: (x+ 30/11)2 + (y+70/33)2 = (97/33)2

Ví dụ 8: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7 – 5 = 0 ; x + y +

13 = 0 và với một trong hai đường thẳng đấy tại M(1;2)

Giải:

Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến hai đường thẳng đã cho và đến tiếp điểm M bằng nhau:



(1)

13

2

x y







 



Từ (1)  7 5 5 5 65 3 35





*) Với x = 3y + 35, thay vào (2) ta đươc: y2 + 4y + 4 = 0  y = -2  x = 29; R = 20 2

Phương trình đường tròn có dạng: (x-29)2 + (y+2)2 = 800

*) Với y = -3x-15 thay vào (2) ta được: x2 + 12x + 36 = 0  x = -6  y = 3 ; R = 5 2

Phương trình đường tròn có dạng: (x+6)2 + (y-3)2 = 50

Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với cả ba đường thẳng: 3x + 4y -35; 3x-4y –

35; x – 1 = 0

Giải: Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến ba đường

thẳng đã cho bằng nhau:



(1)

1

(2) 1

5

x

x y











35 3 0

x y

 









0

y







   

 Vậy có bốn phương trình đường tròn thoả mãn đầu bài:

(x+25)2 + y2 = 256

(x-5)2 + y2 = 16

(x-35/3)2 + (y+40/3)2 =(32/3)2

(x-35/3)2 + (y-b=40/3)2 = (32/3)2

Ví dụ 10: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc với

hai đường thẳng: d1: 3x – y + 3 = 0, d2 = x – 3y + 9 = 0

Giải: Tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng x = 5 nên toạ độ của tâm I có dạng I

(5;b).Gọi R là bán kính đường tròn

Khoảng cách từ I đến d1 là: R = 15 3

10

b

 

Khoảng cách từ I đến d2 là: R = 5 3 9

10

b





Vậy có hai đường tròn thoả mãn yêu cầu đề bài là:

(x-5)2 + (y+2)2 = 40

(x-5)2 + (y-8)2 = 10

Dạng 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác.

Cách1:

- Tính diện tích tam giác và các cạnh của tam giác để suy ra bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: r = S

p

- Gọi I(x;y) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác  Khoảng cách từ tâm I đến ba cạnh bằng nhau và bằng r Từ đó thành lập được hệ phương trình hai ẩn x và y.

- Giải hệ phương trình đó tìm được x, y từ đó có phương trình đường tròn phải tìm.

Cách 2:

- Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc của tam giác.

- Tìm giao điểm hai đường phân giác đó ta được toạ độ tâm I.

- Tính khoảng cách từ tâm I đến một trong ba cạnh của tam giác ta được bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Ví dụ 11: Cho hai điểm A(8; 0) và B(0; 6).

a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác )AB

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB

(Đại học Mỹ thuật công nghiệp 1998)

Giải:

a) Nhận xét: Tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB  I(4;3)

Bán kính R = IA = 5

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:

(x-4)2 + (y-3)2 = 25

b) Diện tích tam giác OAB là S = ½ 8.6 = 24

Cạnh huyền AB = 10

Nửa chu vi p = 12  r = =2S

p

Vì đường tròn này tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm J(r;r) = (2;2)

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: (x-2)2 + (y-2)2 = 4

Ví dụ 12: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng:

4x-3y-65 = 0; 7x-24y+55 = 0; 3x+ 4y – 5= 0

Giải: Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:

AB: 4x-3y-65 = 0;

BC: 7x-24y+55 = 0

CA: 3x+ 4y – 5= 0

 A(11;-7); B(23;9); C( -1;2) và dễ thấy tam giác ABC vuông ở A

AB = 20; BC = 25; CA = 15

Diện tích tam giác là: S = 150

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r = 5

Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(x;y)  khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:

5

x y x y x y

Giải hệ này ta tìm được I(10;0)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là : (x-10)2 + y2 = 25

VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Tìm toạ độ giao điểm.

Cho đường thẳng  : Ax + By + C = 0 (1) (A2 + B2  0)

và đường tròn (C): x2 + y2-2ax -2by + c = 0 (2) (C) có tâm I(a;b) và bán kính R

Để xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn ta có hai phương pháp:

Phương pháp 1: Xét số giao điểm của  và (C) Số giao điểm của  và (C) là số nghiệm

By C







- Nếu hệ vô nghiệm thì  và (C) không có giao điểm nào   không cắt đường tròn

- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì  và (C) có một giao điểm   tiếp xúc với đường tròn

- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì  và (C) có hai giao điểm   cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt

Nhận xét:  và (C) có điểm chung   cắt hoặc tiếp xúc với (C)

Phương pháp 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến  với bán kính R.

Bước 1: Tìm toạ độ I(a;b); R

Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến   h =

 TH1: h> R   không cắt đường tròn   và (C) không có giao điểm nào

TH2: h = R   tiếp xúc với đường tròn   và (C) có duy nhất một giao điểm TH3: h< R   cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt   và (C) có 2 giao điểm Nhận xét:

Nếu bài toán chỉ yêu cầu xét vị trí tương đối của (C) và d mà không cần quan tâm đến toạ độ giao điểm thì ta làm theo phương pháp 2

Ví dụ 13: Cho d: x – 5y – 2 = 0 và (C)có tâm I(-1;2) và bán kính R = 13

a) Viết phương trình đường tròn

b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d

Giải:

Phương trình đường tròn là: (x+1)2 + (y-2)2 = 13

Để tìm toạ độ giao điểm của (C) và d ta sủ dụng cách 1

Toạ độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của hệ phương trình:

2 2

x y







Giải hệ này ta tìm được hai giao điểm A(2;0) và B(-3;-1)

Ví dụ 14: Biện luận số giao điểm của (C) và d trong đó:

d: mx-y-3m-2=0

(C): x2 + y2 -4x-2y = 0

Giải: Vì bài toán này không phải chỉ ra toạ độ giao điểm nên ta có thể sử dụng phương pháp

2 để giải

Tâm và bán kính của đường tròn này là: I(2;1) và R = 5

Khoảng cách từ tâm I đến d là h =

2

3 1

m m





TH1: <  (m+3)2 <5(m2 + 1)  4m2 – 6m-4> 0 

2

3

1

m

m



1 2 2

m m

  









 h < R  d và (C) có 2 giao điểm

2

3

1

m

m



1 2 2

m m

  









 h = R  d và (C) có 1 giao điểm hay d tiếp xúc với (C)

TH3: >  (m+3)2 >5(m2 + 1)  4m2 – 6m-4< 0  -1/2 < m< 2

2

3

1

m

m



 h > R  d và (C) không có giao điểm nào

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ 15: Cho (C): x2 + y2 -4x + 6y – 12 = 0 và điểm D(1;1)

1) Viết phương trình đường thẳng 1 đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB đạt giá trị lớn nhất

1) Viết phương trình đường thẳng 2 đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB đạt giá trị nhỏ nhất

1) Viết phương trình đường thẳng 3 đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DA=2DB

Giải:

Đường tròn này có tâm I(2;-3) và bán kính R = 5

Ta có ID = 17< 5  D nằm trong đường tròn  mọi đường thẳng đi qua D đều cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt

a) 1 đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ABmax  AB là đường kính của đường tròn này  1 đi qua D và I  phương trình có dạng: 4x+y-5 = 0

b) 2 đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ABmin  d(I;AB)max = ID

 AB  ID tại D  1 đi qua D và nhận ID làm vectơ pháp tuyến  phương trình có dạng: x-4y+3 = 0

c) Ta có: Phương tích của điểm D đối với đường tròn (C) là: P =  DA DB =-2DA2

mà P = ID2 – R2 = 17 – 25 = -8  DA2 = 4

 (xA – 1)2 + (yA – 1)2 =4 (1)

mà A  (C)  xA2 + yA2 -4xA + 6yA – 12 = 0 (2)

Từ (1) và (2)  A(-1;1) hoặc A(115/17;33/17)

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn là: y = 1 và 98x-15y-83=0

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn.

Cho đường tròn (C): (x-a)2 + (y-b)2 = R2 (C) có tâm I(a;b) và bán kính R

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C)tại điểm M(x 0 ;y 0 )  (C).

Giải: Gọi  là tiếp tuyến với đường tròn (C) Vì  tiếp xúc với (C)tại M   đi qua

M và nhận IM (x0 – a; y0 – b) làm vecctơ pháp tuyến  phương trình có dạng:

(x0 – a)(x- x0) + (y0 – a)(y- y0) = 0 (1)

Chú ý:

+ Phương trình (*) có thể biến đổi về dạng sau: (x0 – a)(x- a) + (y0 – a)(y- b) = R2

(1a)

+ Nếu phương trình đường tròn cho ở dạng : x2 + y2-2ax -2by + c = 0 thì tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M(x0,y0) có dạng: xx0 + yy0 – (x+x0)a- (y+y0)b + c = 0 (1b) (Phương trình này được suy trực tiếp từ (1a))

Cách thành lập phương trình tiếp tuyến ở dạng(1a) và (1b)gọi là "phương pháp phân đôi toạ độ"

Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ một điểm M(x 0 ; y 0 ) không thuộc đường tròn.

Bài toán này có hai cách giải như sau:

Cách 1:

+/ Xét đường thẳng  đi qua M và vuông góc với Ox Khi đó  có phương trình là x

= x0

 là tiếp tuyến của đường tròn  d(I; ) = R Từ đẳng thức này sẽ suy ra được  có phải là tiếp tuyến của đường tròn hay không

+/ Xét đường thẳng  đi qua M và có hệ số góc là k Phương trình của  có dạng: y = k(x-x0) + y0

 tiếp xúc với (C)  d(I; ) = R Giải điều kiện này ta sẽ tìm được k

Chú ý: Để chứng minh một điểm M nằm ngoài đường tròn ta làm như sau:

- So sánh IM với R: + Nếu IM > R thì M nằm ngoài đường tròn

+ Nếu IM < R thì M nằm trong đường tròn

+ Nếu IM = R thì M nằm trên đường tròn

Cách 2:

- Đường thẳng  đi qua M có phương trình: a(x-x0) + b(y-y0) = 0 trong đó a2 + b2  0

-  là tiếp tuyến với đường tròn (C)  d(I; ) = R (*)

- Từ điều kiện (*), tìm mối liên hệ giữa a và b Vì a và b không đồng thời bằng 0 nên

có thể chọn a một giá trị thích hợp rồi suy ra b hoặc ngược lại

Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến có hệ số góc là k.

Giải:

- Phương trình đường thẳng  có hệ số góc k có dạng: y = kx + m

-  tiếp xúc với (C)  d(I; ) = R Giải điều kiện này ta sẽ tìm được m

Chú ý:

- Nếu tiếp tuyến  song song với đường thẳng: ax+ by+ c = 0 thì phương trình  sẽ

có dạng: ax+by + c' = 0 (c'  c)

- Nếu tiếp tuyến  vuông góc với đường thẳng ax+ by+ c = 0 thì phương trình  sẽ

có dạng: -bx+ay + c' = 0 (c'  c)

Ví dụ 16: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2-6x +2y + 6 = 0 và điểm A (1;3) a) Chứng minh rằng điểm A ở ngoài đường tròn

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A

Giải:

Đường tròn (C) có tâm I(3; -1) bán kính R = 2

a) Ta có: IA = 2 5> R  A nằm ngoài đường tròn (C)

b) Ta giải bài toán này theo hai cách

Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là (a; b) có dạng:

a(x – 2) + b( y – 6) = 0 (a2 + b2  0)

Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn  d(I,d) = R