Các bài toán v kho ng cách
Vũ Tr ng H i - mt123
I.Lý thuy t cơ b n c n nh
* Khoàng cách gi a hai ñi m M(x1,y1) và N(x2,y2 ) là MN = (x1-x2)2+(y1-y2)2
* Kho ng cách t m t ñi m ñ n m t ñư ng th ng:
Cho ñi m M(xo,yo) và ñư ng th ng Ax+By+C=0(∆) Khi ñó:
d(M,∆) = |Axo+Byo+C|
A2+B2
II M t s ví d có gi i
D ng 1: Các bài toán v kho ng cách tho mãn m t ñi u ki n cho trư c
VD1: Cho hàm s y= f(x) = x
3
-3 x+2 (C) Tìm trên (C) nh ng ñi m cách ñ u 2 tr c to
ñ
Gi i
Ta th y nh ng ñi m cách ñ u hai tr c to ñ chính là t t c các ñi m n m trên ñư ng
th ng y=± x
V y các ñi m ph i tìm chính là giao ñi m c a ñư ng th ng y=± x và (C)
Hoành ñ giao ñi m chính là nghi m c a phương trình:
x2-3
⇔
x=-3 2 2x2+2x-3=0
⇔
x=-3 2
(tho ñi u ki n)
V y trên (C) có 3 ñi m mà t ñó kho ng cách ñ n hai tr c b ng nhau là :
M1( -3
2 ,
-3
2) ,M2(-1- 7 ,-1- 7), M3(-1+ 7,-1+ 7)
VD2: Cho hàm s (C): y= x
2
+x+2 x-1 Tìm t t c các c p ñi m M 1 , M 2 n m trên (C) và
ñ i x ng v i nhau qua I(0, 5
2 )
Gi i
G i (D) là phương trình ñư ng th ng ñi qua I(0,5
2) và có h s góc k Khi ñó phương trình
c a (d) là:y=kx+5
2 Phương trình hoành ñ giao ñi m c a (C) và (D) là:
x2+x+2
5
2
⇔
x 1
(k-1)x2+(3
2
-k)x-9
2=0 (I)
Trang 2ð (D) c t (C) t i hai ñi m M1 , M2 ñ i x ng v i nhau qua I(0,5
2) thì trư c h t phương trình hai c a h (I) ph i có hai nghi m x1, x2 sao cho
S
2 =
x1+x2
2 -k = 0 ⇔ k = 3
2
V i k= 3
2 thì phương trình hai c a (I) tr thành: x
2
-9=0 ⇔ x=± 3
V y M1(-3,-2) và M2(3,7) là hai ñi m ph i tìm
VD3: Cho hàm s : y= x
2
+5x+15 x+3 (C)
T m M∈(C) ñ kho ng cách t M ñ n Ox g p hai l n kho ng cách t M ñ n Oy
Gi i
Gi s M(x,y)∈(C) Kho ng cách t M(x,y) ñ n hai tr c là:
- Tr c Ox: | |y = x
2
+5x+15
- Tr c Oy: | |x = d2
Ta có: d1=2d2⇔ | |y =2 | |x Xét hai trư ng h p sau:
*)
y=2x
y=x
2
+5x+15
x+3
⇔
y=2x
2x=x
2
+5x+15 x+3 ⇔y=2x
x2+x-15=0 ⇔
x=(-1- 61)
2
2
*)
y=-2x
y=x
2
+5x+15
x+3
⇔
y=-2x
-2x=x
2
+5x+15 x+3
⇔y=-2x 3x2+11x+15=0 (I)
Ta th y phương trình hai c a (I) có ∆<0⇒ (I) vô nghi m
V y các ñi m M ph i tìm là: M1( -1- 61
2 ,-1- 61) và M2(
-1+ 61
D ng 2: Bài toán t m c c tr c a kho ng cách
VD4:Cho hàm s y= x
2
-x+1 x-1 (C)
T m t t c các ñi m trên ñ th sao cho t ng kho ng cách t M ñ n hai ti n c n là
nh nh t
Gi i y= x
2
-x+1
1 x-1
Ta có: lim
x → 1
-y = -∞ và lim
x → 1 +
y=+∞ ⇒ (C) có ti m c n ñ ng là x-1=0(∆1)
lim
x → - ∞ (y-x)=0 và lim
x → + ∞(y-x)=0 ⇒ (C) có ti n c n xiên x-y=0(∆2)
G i M(x0,y0)∈(C) ⇒ yo=xo + 1
xo-1
d1(M,∆1) = |x0-1 |
Trang 3d2(M,∆2)= |xo-y0|
xo-yo- 1
xo-1
1 2|xo-1|
d1+d2 = |x0-1 + | 1
2|xo-1|≥ 2 |x0-1 | 1
2|xo-1| =
2
4
2
D u b ng x y ra ⇔ |x0-1 = | 1
2|xo-1| ⇔ (xo -1)2 = 1
2 ⇔ xo= 1 ± 4 1
2
1- 4 1
2 , 1-
4
8
2 - 8
và M2
2 , 1+
4
8
2 + 8
2
VD5: Cho (C) y= x-1
x+1 Tìm M∈(C) sao cho t ng kho ng cách t M t i hai tr c to ñ Ox,Oy là nh nh t
Gi i
d(M)=|MH + || MK = | || x + | |y = | |x +
x-1 x+1
Ta th y: khi to ñ c a M là M(1,0)∈(C) thì d(M)=1 Do ñó giá tr nh! nh t c a d(M) s" nh! hơn ho#c b ng 1 Ta chì c n xét bài toán v i x,y tho các ñi u ki n sau:
| |x <1
| |y <1 ⇔
-1<x<1
x-1 x+1 <1
⇔ 0<x<1
1+x = x-1 +
2 x+1 = (x+1) +
2
x+1 -2 =2 2 -2
V y min d(M)=2( 2-1) x y ra khi
0<x<1
x+1
VD6: Tìm trên m i nhánh c a ñ th (C) y= -x
2
+2x-5 x-1 các ñi m M 1 , M 2 sao cho
|M 1 M 2| nh nh t
Gi i
y = -x
2
+2x-5
4 x-1
Ta có: lim
x → 1
-y=-∞ và lim
x → 1 +
y=+∞ ⇒ (C) có ti m c n ñ ng là x=1
G i M1(x1,y1) thu c nhánh trái c a (C) và M2 (x2,y2) thu c nhánh ph i c a (C)
Trang 4ð#t
x1=1-a
x2=1+b
a,b>0
⇒
a
y2=-b-4 b
Ta có: M1M22 =(x1-x2)2 +(y1-y2)2 = (-a-b)2+ (a+b+4
a+
4
b)
2
=(a+b)2 + (a+b+4(a+b)
2
ab)
2
≥ (2 ab)2 (2+8
ab+
16
a2b2) (theo b t ñ ng th c cosi) =4ab(2+8
ab+
16
a2b2) = 8(ab+
8
ab+4) ≥ 8(2 ab8
ab + 4) ⇒ M1M22≥ 32( 2+1)
a=b>0
ab
M1(1-4 8,4 8+24 2)
M2(1+48,-4 8-24 2)
III.Bài t p ñ ngh
2
-3x-5
cách t M ñ n Oy
Bài 2: Cho (C) y=x
2
+4x+5
ñư ng th ng 3x+y+6=0 là nh! nh t
ðS: A( -5
2 ,
-5
2) , B(
-5
2,
-5
2)
t ng kho ng cách ñ n hai ñư ng ti m c n nh! nh t
Bài 4: Cho y= x
2
-x+1 x-1 Tìm trên m&i nhánh c a (C) các ñi m M1,M2 sao cho |M1M2| là nh! nh t
Bài 5: Cho (Ca): y= 2x
2
sina-3xcosa+6
l n nh t
cho OA⊥OB (v i o là g c to ñ )
ðS: m= 1± 5
2
+x-5 x-1 (C)
a Tìm trên hai nhánh phân bi t c a (C) hai ñi m A,B sao cho AB ng n nh t
Trang 5b Ch ng minh tích c a hai kho ng cách t hai ñi m b t kì trên (C) ñ n hai ñư ng ti n
c n là m t h ng s
ðS: a A
2- 1
4
2
, f(2- 1
4
2
)
, B
2+ 1
4
2
, f(2+ 1
4
2
)
b d= 1
2
Tài li u tham kh o
- Tuy n t p cac chuyên ñ luy n thi ñ i h c ph n hàm s c a Tr n Phương
- Phương pháp gi i toán hàm s c a Mai Xuân H
- M t s tài li u trên internet