1,5 điểm Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = 2a, cạnh bên của lăng trụ bằng 3a, mặt bên ABB'A' có góc A'AB nhọn và nằm trong mặt p
Trang 1TRUNG TÂM LUYỆN THI FPT ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN III
Ngày 02/02/2014 Môn: TOÁN 12
Bài 1 (3 điểm) Cho hàm số y x3 3 x2 mx 1 (Cm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m= 0;
b) Tìm m để (Cm) cắt (d) y =1 tại ba điểm phân biệt A, B, C biết C(0;1) sao cho tiếp tuyến của (Cm) tại A và B vuông góc với nhau
Bài 2 (1,5 điểm) Giải phương trình
3
3
Bài 3 (1,5 điểm) Tính tích phân sau
2
6
sin cos ( xsin 1) sin
Bài 4 (1,5 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = 2a, cạnh bên của lăng trụ bằng 3a, mặt bên ABB'A'
có góc A'AB nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng (AA'C'C) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 0 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và
60 khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACA')
Bài 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng phức, hãy tìm tọa độ các điểm M là biểu diễn hình
học của các số phức z sao cho (2i z) (2 i z) 4 4i đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 6 (1,5 điểm) Trong không gian, với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1;-1;1), mặt phẳng (P) 2x2y z 5 0 và mặt cầu (S) 2 2 2 Hãy viết
(x2) (y1) z 25
phương trình đường thẳng (d) qua điểm M, (d) nằm trong mặt phẳng (P) sao cho (d)
cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn 2 79
5
AB
Hết
Trang 2-Bài Nội dung Điểm
a)
- Với m=1, y x3 3x24 (C)
- Tập xác định, tính đạo hàm đúng, y’=0
- Giới hạn; đồng biến, nghịch biến; cực trị
- Bảng biến thiên
- Vẽ đồ thị
0,25 0,25 0,25 0,25 b) - Tập xác định D=R
- Tính đạo hàm 2
y x mx
- Giải phương trình y’=0 ta có x=0; x=2m
- Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị m 0(*)
- Hai điểm cực trị A(0; 3 m 1), B m m(2 ; 4 3 3m 1), trung điểm của
đoạn thẳng AB là 3
( ; 2 3 1)
I m m m
- Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (d)
với là vectơ chỉ phương của (d) và
d
(8; 1)
d
u
3 (2 ; 4 )
8(2 3 1) 74 0
m
0,25 0,25
0,25
0,25
- Gọi d có hệ số góc k
- Phương trình (d) yk x( 1)
- Với x 1 ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C)
2 2
1
x
x
- Đường thẳng (d) và đồ thị (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M, N
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
(*)
0 1 12
k
k
0,25
Trang 3- Hai điểm M, N nằm hai nhánh khác nhau của (C)
Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn
(**)
1 2
(x 1)(x 1) 0 k 0
- Ta thấy I thuộc tiệm cận đứng của (C) nên (d) cắt (C) tại hai điểm
M, N nằm hai nhánh khác nhau của (C) khi đó I nằm giữa hai điểm
M và N nên IM 2IN IM 2IN x1 2x2 3 hoặc x2 2x1 3
- Không mất tính tổng quát, giả sử x2 2x1 3 mà theo định lý Viet
ta có
1 2
1 2
2 1
2
k
k k
x x
k
1
1
1
1 2 2
4 2 2
3 3
k x
x k
k
k
k k
y x
0,25
0,25
0,25
- Điều kiện (*)
0 1 9 3
x x x
Biến đổi về: 3
4
2 log 1 log
x
Đặt t log 3x với t 1,t 2 ta có phương trình
2
t
Hay
7 5
So sánh điều kiện (*) ta có x 9, x 3 57 là nghiệm
0,25
0,25
0,25
0,25
a)
2
ln(2 1) 1
x
2
2 1 1
x v x
0,25
Trang 42
1 1
ln(2 1)
(2 1)
=
=3ln 3 2 ln 2
0,25
0,25 0,25
b)
1, 0;1
x t t
- Ta có dx=2tdt
- Với x=1 thì t=0; x=2 thì t = 1
- Do đó J=1 3 1 2
1
3 2
0
2
( 2 12 24 ln( 2))
3t t t t 32 24 ln3
0,25
0,25
0,25x2
điểm
ABCD
- Gọi I là trung điểm OA, ta có MI (ABCD) nên
4
a
4
a
2
a
- Tính V=
3 30 6
a
0,25
- Ta có (OMN)//(SCD) Khoảng cách:
( ; ) (( ); ( )) ( ; ( ))
- Gọi K là trung điểm CD, Gọi H là hình chiếu của O lên SK Khi đó
d(O;(SCD))=OH
62
62
d MN SD a
0,25
0,25
- Biến đổi phương trình về 5z 6i z 4 3i 0,25
Trang 5- Gọi z x yi; xR y, R Khi đó ta có phương trình
(5 6 ) (5 6 ) 4 3
2
11
x
y
hay 2 9 và
11 11
z i 13 13 , (13; 13)
0,25
0,25
0,25
điểm a)
- Khoảng cách: 5
( ; )
6
d A d
( 1) ( 2) ( 2)
6
0,25x2 0,25
b)
- Gọi VTPT(P) n a b c( ; ; ), a2 b2 c2 0
- Mp(P) chứa (d) nên đi qua M(-1;1;0) có phương trình
và vuông góc với Do
a x b y cz VTCP d u( ) (2;1; 1) n
đó c=2a+b;
- Phương trình (P): a x( 1) b y( 1) (2a b z ) 0
- Mp(P) cách đều hai điểm A và O nên d(A;(P))=d(O;(P))
a =0 hoặc a=-2b
- Phương trình mp(P)
Với a= 0; (P) y+z-1=0
Với a =-2b; (P) x-y+3z+3 =0
0,25 0,25 0,25
0,25
