Ngày 29/6/2012phương pháp tọa độ trong mặt phẳng I.Kiến thức cơ bản: 1.Điểm và véc tơ: aĐiểm: Trung điểm; Trọng tâm tam giác; Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k; Giao điểm của hai
Trang 1Ngày 29/6/2012
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng I.Kiến thức cơ bản:
1.Điểm và véc tơ:
a)Điểm: Trung điểm; Trọng tâm tam giác; (Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số
k); Giao điểm của hai đường thẳng; Giao điểm của đường thẳng và đường tròn; Giao
điểm của đường thẳng và elip; (Trực tâm; Tâm đường tròn ngoại tiếp; Tâm đường tròn nội tiếp; Hình chiếu vuông góc và điểm đối xứng qua đường thẳng; (Điểm cố
định của đường thẳng)
b)Vectơ : Tọa độ; Độ dài; Tích vô hướng của hai vectơ; Góc giữ hai vectơ; Vectơ chỉ
phương; Vectơ pháp tuyến
2.Đường thẳng:
+Phương trình ; Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng; Góc giữa hai đường thẳng; ( Đường cao; Đường trung tuyến; Đường phân giác; Đường trung trực; Đường trung bình; Tiếp tuyến của một đường tròn; Trục đẳng phương của hai đường tròn ) + Giao điểm của hai đường thẳng; Giao điểm của đường thẳng và đường tròn; Giao
điểm của đường thẳng và elip; Hình chiếu vuông góc của một điểm trên đường thẳng
và điểm đối xứng qua đường thẳng; Đường thẳng đối xứng với một đường
thẳng;Đường thẳng song song; Đường thẳng vuông góc; (Điểm cố định của đường thẳng)
3.Đường tròn:
+Phương trình; Tâm và bán kính; (Đường tròn ngoại tiếp; Đường tròn nội tiếp ); (Phương tích của một điểm đối với một đường tròn )
4.Elip:
+Phương trình; Hình dạng và các khái niệm liên quan
II.Bài tập:
+Tìm tọa độ điểm; Lập phương trình
1 Đường thẳng :( Phân dạng cố tính tương đối)
Câu 2.Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC, biết trung điểm của
các cạnh là : M(-1;-1), N(1;9), P(9;1)
Câu 3.Cho tam giác ABC, biết các cạnh AB, AC, BC lần lượt nằm trên các đường
thẳng có phương trình 4x y3 1 0, 3x y4 6 0 và y 0
a)Viết phương trình đường phân giác trong của góc A và tính diện tích tam giác ABC b)Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Câu 4.Cho điểm A(1;1) Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y=3, và điểm C trên trục
hoành , sao cho ABC là tam giác đều
Câu 5.Cho tam giác với một cạnh có trung điểm là M(-1;1), còn hai cạnh kia có
phương trình là x y 2 0 và 2x y6 3 0 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
Câu 7 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu B(2;-1), đường cao và phân
giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là 3x y4 27 0; x y2 5 0
Câu 8 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho A(1;3) và hai đường
trung tuyến có phương trình là x y2 1 0 và y 1 0
Trang 2Câu 10 Cho diện tích tam giác ABC là ; hai đỉnh là A(2;-3), B(3;-2) và trọng
2
3
S
tâm của tam giác thuộc đường thẳng 3x y 8 0 Tìm tọa độ đỉnh C
Câu 11 Cho hai điểm A(-1;3), B(1;1) và đường thẳng d : y 2x
Xác định điểm C trên d sao cho ABC là tam giác đều
Câu 12 Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2;-1) sao cho đường thẳng đó
cùng với hai đường thẳng d1: 2x y 5 0 và d2 : 3x y6 1 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của , d1 d2
Câu 13 Cho điểm P(3;0) và hai đường thẳng d1: 2x y 2 0 và d2 :x y 3 0 Gọi d là đường thẳng qua P và cắt , d1 d2 lần lượt ở A và B
Viết phương trình của d biết PA=PB
Câu 14.Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(2;1) và tạo với đường thẳng
một góc bằng
0 4
3
Câu 15 Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1) Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho
khoảng cách từ Q tới đường thẳng đó bằng 3
Câu 16 Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(-4;5) và một đường chéo nằm trên đường
thẳng 7x y 8 0 Lập phương trình các cạnh và đường chéo còn lại của nó
Câu 18.Lập phương trình các cạnh của hình vuông , biết hình vuông đó có một đỉnh
là (-4;5) và một đường chéo có phương trình 7x y 8 0
Câu 19.(Nguyễn Thành Giang-Chuyên Hưng Yên-THTT419)
Cho A(1;2), B(4;3) Tìm M sao cho 0 và khoảng cách từ M đến đường thẳng
135
MAB
AB bằng 10
2
Hướng dẫn :
4
2
5
10 M
H
B
A
Câu 20.(Nguyễn Lái-Chuyên Lương Văn Chánh-Tuy Hòa-Phú Yên-THTT418)
Cho ( ): d1 3x y 3 2 0, ( ): d2 3x y 3 2 0, và A là giao điểm của ( ) và (d1
) Xách định đường thẳng ( ) cắt ( ), ( ) lần lượt tại B và C sao cho tam giác
2
ABC đều và có diện tích bằng 3 3
Hướng dẫn:
Trang 3-2
5
60 0
H
A
Câu 21 (Dương Châu Dinh-Chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị-THTT417)
Cho ta giác ABC, biết A(1;2); đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ B lần lượt là: 2x y 5 0 và 7x y 15 0 Tính diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn:
8
6
4
2
A'
H
C
M
B
A
Câu 22.(THTT415)
Cho tam giác ABC, có AB 2AC;đường phân giác trong góc A là (AD): x y 0; và
đường cao (BH): 3x y 16 0 Biết điểm M(4;10) thuộc đường thẳng (AB) Tìm tọa
độ các đỉnh A, B và C
Hướng dẫn:
Trang 48
6
4
2
C B
A
M' I
M
O
Câu 23.(THTT413)
Cho tam giác ABC, có A(-1;1), trực tâm H(1;3), trung điểm của BC là M(5;5) Xác
định tọa các đỉnh B và C
Hướng dẫn:
5
BC
Khi đó :
AC t t HB t t
2
AC HB t
10
8
6
4
2
C
B
M
H
A
Câu 24.(THTT359)
Cho hình thoi ABCD có A(0;2), B(4;5) và giao điểm của hai đường chéo nằm trên
đường thẳng (d): x y 1 0 Tìm tọa độ của C và D
Hướng dẫn:
Trang 5
4
2
-2
5
D
C I
B
A
Câu 25.(Nguyễn Thành Giang-Chuyên Hưng Yên-THTT358)
Cho A(1;1), B(2;3) Lập phương trình đường thẳng (d) cách A một khoảng bằng 2, cách B một khoảng bằng 4
Hướng dẫn:
4
2
-2
B
A
Câu 26.(Nguyễn Văn Thông-Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng-THTT356)
Cho ( ) : 3d1 x y 4 0, (d2) :x y 6 0, (d3) :x 3 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết: A, C thuộc (d3), B thuộc ( )d1 , C thuộc (d2)
Hướng dẫn:
4
2
5
C
A D B
Câu 27.(Phan Tuấn Cộng-Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương-THTT343)
Cho tam giác ABC, có A(1;0), các đường cao (BH): x 2y 1 0, (CH): 3x y 1 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trang 6Hướng dẫn:
4
2
-2 -5
C
B
H A
Bài tập tương tự:
27.1.Cho tam giác ABC đỉnh A(2;2) Lập phương trình các cạnh của tam giác ,
biết : 9x y3 4 0, x y 2 0 lần lượt là các đường cao kẻ từ B và C
27.2 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho B(-4;5) và hai đường cao
có phương trình 5x y3 4 0 và 3x y8 13 0
27.3 Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là 5x y3 2 0, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4x y3 1 0; 7x y2 22 0 Lập phương trình hai cạnh
AC, BC và đường cao thứ ba
Câu 28.(HSG12A-NA: 2007-2008)
Cho tam giác ABC có A(2;-3), B(3;-2), trọng tâm G thuộc đường thẳng (d):
, và diện tích của tam giác bằng Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
2
tam giác ABC
Hướng dẫn:
-2
-4
5
G
C
B
A
Câu 29.(HSG12B-NA:2011-2012) (Đề này có sai)
Cho tam giác ABC có A(2;-1) Đường phân giác trong của góc B và góc C lần lượt là
.Viết phương trình đường thẳng BC
Hướng dẫn:
Trang 72
-2
-4
x+y+3=0
x-2 y+1=0
2
A''
A'
A O
Câu 30.Cho A(4;1), B(0;4) Tìm điểm M thuộc (d): 3x y 1 0 sao cho
lớn nhất
MA MB
Hướng dẫn:
6
4
2
5
M0
A'
B
A
O
M
Ta có MA MB MA' MB A B'
Bài tập tương tự:
30.1)Cho A(-7;1), B(-5;5) và (d): 2x y 5 0 Tìm điểm M thuộc (d) sao cho
nhỏ nhất
MA MB
30.2)Cho A(-3;2), B(2;5) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho MA MB lớn nhất
30.3)(HSG12A-NA:2011-2012)
Cho (C): 2 2 và A(7;9), B(0;8) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho biểu
(x 1) (y 1) 25
thức PMA 2MB đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn:
Trang 86
4
2
-2
-4
J
M0
B
A
I
O
M
2
J MA 2MJ PMA 2MB 2(MJ MB) 2BJ 5 5
Vậy minP 5 5 khi MBMJ BJhay M M0(1; 6)
( Bài toán gốc: Cho hai điểm cố định A x( A;y A), B x( B;y B).Tìm quỹ tích của điểm M sao cho MAk MB. ( với k 0,k 1))
30.4)Cho đường thẳng d có phương trình 2x y 1 0, và hai điểm A(1;6),
B(-3;-4) Tìm điểm M trên sao cho vec tơ AM BM có độ dài nhỏ nhất
Hướng dẫn:
6
4
2
-2
-4
-6
C A'
B
A
M
5
MA MB CM MB CB d B d A d B
Câu 31.(ĐH2011B-Chuẩn)
Cho ( ): x y 4 0 và (d): 2x y 2 0 Tìm điểm N thuộc (d) sao cho đường thẳng (ON) cắt ( ) tại điểm M thỏa mãn OM ON 8
Hướng dẫn:
Trang 9-2
-4
5
M
N O
Ta có ( ) ( ; 2 2), ( 2) ( 4 ;8 8) Suy ra
0
5
t
OM ON
t
Câu 32.(ĐH2011B-NC)
Cho tam giác ABC có B( ;1) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các 1
2
cạnh BC, CA, AB tại D, E, F Cho D(3;1) và (EF): y 1 0 Tìm A (biết A có tung độ dương)
Hướng dẫn:
4
2
5
C E
A
F
D B
O
Ta có (BD): y 1 0 Suy ra EF//BD Tam giác ABC cân tại A
Suy ra (AD): x 3 0
3
Câu 33.(ĐH2011D-Chuẩn)
Cho tam giác ABC có B(-4;1), trong tâm G(1;1) và đường phân giác trong của góc A
có phương trình là x y 1 0 Tìm A và C
Hướng dẫn:
Trang 10-2
-4
-6
A
M
B'
G B
Câu 34.(ĐH2010D-Chuẩn)
Cho tam giác ABC có A(3;-7), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) Xác định tọa độ đỉnh C (biết C có hoành độ dương)
Hướng dẫn:
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
M
I
H
A
Gọi C x y( ;0 0), (x0 0) Suy ra : M( 2; y0), ( 4B x y0; 0)
0
3
x
AB AC
Câu 35.(ĐH2010D-Nâng cao)
Cho A(0;2) đường thẳng ( ) đi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (d)
Viết phương trình đường thẳng ( ) , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng độ
dài đoạn AH
Hướng dẫn:
Trang 11-1
B
H
A
O
2
x at
2
Câu 36.(ĐH2010B-Chuẩn)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có C(-4;1), phân giác trong góc A có phương trình
Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24
và đỉnh A có hoành độ dương
Hướng dẫn:
10
8
6
4
2
-2
B
A
C'
C
O
Câu 37 (ĐH2010A-Chuẩn)
Cho ( ): d1 3x y 0, ( ): d2 3x y 0; (T) là đường tròn tiếp xúc với ( ) tại A và cắt d1
( ) tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tai B Viết phương trình đường d2
tròn (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 và điểm A có hoành độ dương
2
Hướng dẫn:
Trang 122
B
T
C
A
O
Ta có tam giác ABT là tam giác đều có diện tích 1 3 Suy ra
ABT ABC
3
Câu 38.(ĐH2010A-Nâng cao)
Cho tam giác ABC cân tại A, có A(6;6); đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh
AB và AC có phương trình là x y 4 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C , biết điểm E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác ABC
Hướng dẫn :
6
4
2
-2
-4
-6
B
C
I
A
Ta có I(2;2), H(-2;-2) và (BC): 2 ( 2 ; 2 ), ( 2 ; 2 )
2
4
t
AB CE
t
Câu 39 (ĐH2009B-Nâng cao)
Cho tam giác ABC cân tại A, có A(-1;4) và B, C thuộc ( ) : x y 4 0 Xác định B, C biết diện tích tam giác ABC bằng 18
Hướng dẫn:
Trang 132
-2
-4
5
C
B
H A
Câu 40.(ĐH2009A-Chuẩn)
Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ( ) : x y 5 0 Viết phương trình đường thẳng AB
Hướng dẫn:
6
4
2
-2
E'
M
I
Câu 41.(ĐH2009D-Chuẩn)
Cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và
và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x 2y 3 0 và 6x y 4 0 Viết phương trình đường thẳng AC
Hướng dẫn:
2
-2
C
A
M
Câu 42.(ĐH2006A)
Cho ( ) :d1 x y 3 0, (d2) :x y 4 0, (d3) :x 2y 0 Tìm điểm M thuộc ( ) sao cho d3
khoảng cách từ M đến ( ) bằng hai lần khoảng cách từ M đến ( ).d1 d2
Trang 14Hướng dẫn:
4
2
-2
-4
5
K H
M
Câu 43.(ĐH2005A)
Cho ( ) :d1 x y 0, (d2) : 2x y 1 0.Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc ( ) , C thuộc ( ), và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.d1 d2
Hướng dẫn:
2
-2
5
d2
d1
C
Câu 44.(ĐH2004A)
Cho A(0;2), B(- 3;-1) Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB
Hướng dẫn:
2
-2
5
B
A
O
Câu 45.(ĐH2004D)
Cho tam giác ABC có A(-1;0), B(4;0), C(0;m) (m 0).Tìm tọa độ trong tâm G của tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông tại G
2.Đường tròn: (Phân dạng có tính tương đối)
Câu 1 Cho tam giác ABC, biết : A(-1;3), B(1;1), C(2;4) Viết phương trình đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trang 15Câu 2.Cho hai đường tròn ( ) C1 x2 y2 6x 5 0 và (C2)x2 y2 12x 6y 44 0
Xác định các đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn trên
Câu 3.Cho các đường tròn ( ) C x2 y2 1 0 và (C m)x2 y2 2 (m 1 )x 4my 5 0
a)Tìm quỹ tích tâm các đường tròn (C m) khi m thay đổi
b)Chứng minh rằng có hai đường tròn (C m) tiếp xúc với đường tròn (C), ứng với hai giá trị của m Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C m) đó
Câu 4.Cho họ đường tròn (C m) có phương trình : x2 y2 (m 2 )x 2my 1 0
a)Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C m)
b)Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, các đường tròn (C m) đều đi qua một điểm cố định c)Cho m=-2 và điểm A(0;-1) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C2)
kẻ từ điểm A
Câu 5.Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(1;-2) và các giao điểm của đường
thẳng x y7 10 0 với đường tròn x2 y2 2x 4y 20 0
Câu 6 (Nguyễn Thành Giang-Chuyên Hưng Yên-THTT419)
Cho A(2;3) là một trong hai giao điểm của ( ) :C1 x2y2 13 và
(C2): x2y2 12x 11 0 Viêt phương trình đường thẳng đi qua A và cắt ( ),(C1 C2) theo hai dây cung khác nhau có độ dài bằng nhau
Hướng dẫn:
6
4
2
-2
-4
-6
K
H
I A
O
Câu 7.(Nguyễn Lái-Chuyên Lương Văn Chánh-Tuy Hòa-Phú Yên-THTT418)
Lập phương trình đường tròn bán kính R 2, có tâm I nằm trên đường thẳng ( ): d1
, và cắt ( ): tại hai điểm A, B sao cho
120
AIB
Hướng dẫn :
Trang 165
B
A
H I
Câu 8.(THTT413)(Tài liệu chuẩn không nhắc đến phương tích)
Cho M(2 ;1) và (C) : 2 2 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M
(x 1) (y 2) 5
và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất
Hướng dẫn :
Ta chứng minh AB ngắn nhất khi MA=MB
4
2
5
B
A
M I
Thật vậy PM/(C)= 2 2 Suy ra
.
MA MBd R
MA MB
Mà ABMA MB 2 MA MB 2 5 Suy ra minAB 2 5 khi MAMB
Câu 9.(Huỳnh Tấn Châu-Chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên-THTT)
Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2 ;5), B(4 ;1) và tiếp xúc với đường thẳng (d) : 3x y 9 0
Hướng dẫn :
Trang 172
-2
5
H
I
M
B A
Câu 10.(HSG12A-NA :2006-2007)
Cho tam giác ABC vông tại B, nội tiếp đường tròn (T) : 2 2 , có
(x 1) (y 2) 5
A(2 ;0) và diện tích tam giác bằng 4 Tìm tọa độ của B và C
Hướng dẫn :
-2
-4
5
K
B C
A
T
Câu 11.(HSG12B-NA :2007-2008)
Cho (C) : 2 2 và (d) : Từ điểm M thuộc (d), kẻ hai tiếp
tuyến MA, MB đến (C)(A, B là hai tiếp điểm) Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên (d)
Hướng dẫn :
d H
I
M
A
B
4
2
5
H
B
A
M
H0 I
O
Ta có I(1 ;2), R=1 và M ( )d M m m( ; 1)(với m là tham số)
Trang 18Khi đó 2 2 2 (2 22 7 9 4; 22 15 17)
3
3
2
x
y
Vậy (AB) luôn đi qua điểm 0( ; )3 3
2 2
H
Câu 12.(HSG12B-NA:2010-2011)
Cho tam giác ABC, có trong tâm G(1;2) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Biết
đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
x y x y
Hướng dẫn:
K J
I
G
D N
M L
H
B
A
C
Ta có D, K, E, M, I, L, F, J, N cùng thuộc một đường tròn (T) : 2 2
x y x y
Câu 13.(ĐH2011A-Chuẩn)
Cho ( ): x y 2 0 và (C): 2 2 Gọi I là tâm của (C) và M là điểm
x y x y
thuộc ( ) Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là hai tiếp điểm) Tìm M, biết
diện tích tứ giác MAIB bằng 10
Hướng dẫn:
4
2
-2
5
d
B
A
Ta có M ( ) M t( ; 2 t)
Câu 14.(ĐH2011D-Nâng cao)
Trang 19Cho (C): 2 2 và A(1;0) Viết phương trình đường thẳng (d) cắt (C)
x y x y
tại hai điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A
Hướng dẫn:
2
-2
-4
5
M
N C
O
A
Ta có M, N đối qua AC
Câu 15.(ĐH2009A-Nâng cao)
của (C) Tìm m để ( ) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam
giác IAB lớn nhất
-2
-4
-5
l H
B
A
Ta có diện tích tam giác IAB lớn nhất khi IAB là tam giác vuông cân tại I
0
15
m IH
m
Câu 16.(ĐH2009B-Chuẩn)
5
x y ( 1) :x y 0, ( 2) :x 7y 0
bán kính đường tròn ( ), biết ( ) tiếp xúc với C1 C1 ( 1), ( 2) và K thuộc (C)
Hướng dẫn:
