- Đa thức với đa thức.. Phép chia - Đơn thức chia cho đơn thức.. - Đa thức chia cho đơn thức.. - Đa thức chia cho đa thức.
Trang 1Trường THCS Nguyễn Trãi Đề cương ôn tập Môn: Đại số 8
Học kỳ I: Năm học 2007-2008
A – Lý thuyết
Chương I – Phép nhân và phép chia các đa thức
1- Phép nhân - Đơn thức với đa thức.
- Đa thức với đa thức
2 Phép chia - Đơn thức chia cho đơn thức.
- Đa thức chia cho đơn thức
- Đa thức chia cho đa thức
Chú ý: A = B Q + R Nếu R = 0 A B
Nếu R 0 A B
(A, B, Q, R là đa thức Bậc của R nhỏ hơn bậc của B)
3- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
1 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
3 A2 – B2 = (A - B)(A + B)
4 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7 A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
4- Phân tích đa thức thành nhân tử
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm hạng tử
+ Phương pháp phối hợp
Chương II - Phân thức đại số
1- Định nghĩa
là phân thức (A, B là đa thức , B khác đa thức 0)
B
A
2- Tính chất cơ bản
= (M là một đa thức khác đa thức 0)
B
A
M B
M A
.
Trang 2= (N là một nhân tử chung)
B
A
N B
N A
: :
Chú ý: =
B
A
B
A
áp dụng: - Rút gọn phân thức
- Quy đồng mẫu các phân thức
3- Các phép toán
Phép cộng
+ =
B
A B
C
B
C
A
+ =
B
A D
C
D B
C B D A
.
1 Giao hoán + = +
B
A D
C D
C B A
2 Kết hợp ( + ) + = + ( + )
B
A D
C
F
E B
A D
C
F E
Phép trừ + B = + (- )
A D
C B
A
D C
B
A D
C
D B
C A
.
1 Giao hoán =
B
A D
C D
C B A
2 Kết hợp ( ) = ( )
B
A D
C F
E B
A D
C F E
3 Phân phối với phép cộng ( + ) = +
B
A D
C F
E
B
A D
C B
A F E
Phép chia
: =
B
A D
C B
A C D
B, C, D 0
Trang 3B- Bµi tËp
D¹ng 1 Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a) (x + y)2 + (x - y)2
= x2 + 2xy + y2 + x2 - 2xy + y2
= 2x2 + 2y2
= 2(x2 + y2)
b) (x - 2)(x + 2) – (x - 3)(x + 1)
= x2 – 4 – (x2 – 3x + x - 3) = x2 – 4 – x2 + 3x - x + 3 = 2x - 1
c) 2(x + y) (x - y) + (x + y)2 + (x - y)2
= [(x + y) + (x - y)]2
= (x + y + x - y)2
= (2x)2
= 4x2
d) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3) = x3 + 27 – 54 – x3
= - 27
D¹ng 2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) 3x(x – 2y) + 6y(2y – x)
= 3x(x – 2y) - 6y(x – 2y)
= (x – 2y)(3x – 6y)
= 3(x – 2y)(x – 2y)
= 3(x – 2y)2
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
= 2[(x2 + 2x + 1) – y2] = 2[(x + 1)2 – y2] = 2(x + 1 - y)(x + 1 + y)
c) x2 – 2x – 3
= x2 + x – 3x - 3
= (x2 + x) – (3x + 3)
= x(x + 1) – 3(x + 1)
= (x - 3)(x + 1)
d) x3 – 3x2 – 4x + 12 = (x3 – 3x2) – (4x – 12) = x2(x - 3) – 4(x - 3) = (x - 3)(x2 - 4) = (x - 3)(x - 2)(x + 2)
D¹ng 3 T×m x, biÕt
a) (2x - 1)2 – (x + 3)2 = 0
(2x – 1 – x - 3)(2x - 1 + x + 3) = 0
(x - 4)(3x + 2) = 0
(x - 4) = 0 hoÆc (3x + 2) = 0
x = 4 hoÆc x = -
3 2
VËy: x = 4 hoÆc x = -
3 2
b) 5x(x - 1) = x – 1
5x(x - 1) - (x – 1) = 0
(5x - 1)(x - 1) = 0
(5x - 1) = 0 hoÆc (x - 1) = 0
x = hoÆc x = 1
5 1
VËy: x = hoÆc x = 1
5 1
Trang 4c) 2(x + 5) – x2 – 5x = 0
2(x + 5) – (x2 + 5x) = 0
2(x + 5) – x(x + 5) = 0
(x + 5) (2 – x) = 0
(x + 5) = 0 hoÆc (2 – x) = 0
x = - 5 hoÆc x = 2
VËy: x = - 5 hoÆc x = 2
d) x2 + x = 6
x2 + x - 6 = 0
x2 + 3x - 2x - 6 = 0
x(x - 2) + 3(x - 2) = 0
(x - 2)(x + 3) = 0
(x - 2) = 0 hoÆc (x + 3) = 0
x = 2 hoÆc x = -3
VËy: x = 2 hoÆc x = -3
D¹ng 4 Chøng minh
a) (3n + 4)2 – 16 chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ cña n thuéc tËp z
Ta cã: (3n + 4)2 – 16 = (3n + 4 - 4)(3n + 4 + 4)
= 3n(3n + 8)
Mµ 3 3 3n 3 3n(3n + 8) 3
Hay (3n + 4)2 – 16 chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ cña n thuéc tËp z.(®pcm)
b) x2 + x + 1 > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x
Ta cã: x2 + x + 1 = x2 + 2.x + +
2
1 4
1 4 3
= (x + )2 +
2
1
4 3
V× (x + )2 0 víi mäi x
2
1
(x + )2 + > 0 víi mäi x
2
1
4
3
4 3
Suy ra: x2 + x + 1 > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x (®pcm)
c) – 4x2 – 4x – 2 < 0 víi mäi x
Ta cã: – 4x2 – 4x – 2 = - [(2x)2 + 2.2x.1 + 1] – 1
= - (2x + 1)2 – 1
V× - (2x + 1)2 0 víi mäi x
-1 < 0
Nªn - (2x + 1)2 – 1 - 1 < 0 víi mäi x
Hay: – 4x2 – 4x – 2 < 0 víi mäi x (®pcm)
D¹ng 5 TÝnh nhanh
a) (x3 - 1) : (x2 + x + 1)
= (x - 1) x2 + x + 1) : (x2 + x + 1)
= (x - 1)
b) (x2 – 2xy + y2): (x - y) = (x - y)2 : (x - y)
= x – y
Trang 5Dạng 6 Chia đa thức một biến đã sắp xếp
a) (6x3 – 7x2 – x + 2) : (2x + 1)
6x3 – 7x2 – x + 2 2x + 1
6x3 + 3x2 3x2 - 5x + 2
- 10x2 – x + 2
- 10x2 – 5x
4x + 2
4x + 2
0
b) Tìm số a để đa thức x4 – x3 + 6x2 – x + a chia hết cho đa thức x2 – x + 5
Ta có: x4 – x3 + 6x2 – x + a x2 – x + 5
x4 – x3 + 5x2 x2 + 1
x2 – x + a
x2 - x + 5
a – 5
Để (x4 – x3 + 6x2 – x + a) (x 2 – x + 5) a – 5 = 0
a = 5
Vậy để đa thức x4 – x3 + 6x2 – x + a chia hết cho đa thức x2 – x + 5 thì a = 5
Dạng 7 Thực hiện các phép toán
a) ( - ):( + x – 2)
x
x2
1
1
2
x
x x
1
) 1
(
1
x
2
x
x
x
x
x 2
1 2
) 1 (
2
x
x
x x
2
) 1 (x
x
) 1
(
)
1
( 2
x
x
x
2
) 1 (x
x
1
1
x
10
1
2
x
x
2
x
x
10
1
2
x
x
2
1
x x
10
1
2
x
x
2
x
x
2
1
x x
10
1
2
x
x
2
1
x
x x
10
1
2
x
x
2
1
x ( 10 )( 2 )
1
2
x x
x
Trang 6
c) - ( + )
1
1
3
x
x x
1 2
1
2 x
1
x
1
1
3
x
x x
2
) 1 (
1
x ( 1 )( 1 )
1
x x
= -
1
1
3
x
x x
) 1 ( ) 1 (
1 1
2
x x
x x
1
1
) 1 (
2
2
x
x x
) 1 )(
1 (
2
1
x ( 1 )( 1 )
2
x x
) 1 )(
1 (
2 1
2
2
x x
x x
) 1 )(
1 (
) 1 (
2
2
x x
x
1
1
2
x x