Tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sai phân51774

Trang 1

TÌM S H NG T NG QUÁT C A DÃY S

I- Ph ng trình sai phơn b c nh t:

D ng 1: Cho dãy s {xn} : 0

n+1

onst

x c bx





n

Khi đó công th c t ng quát (CTTQ) c a dãy s đ c xác đ nh b i : 0

n n

b

a

 

T hí d : Cho dãy s {xn} đ c xác đ nh b i : 0

1

5

3 0 ,

x





Tìm s h ng t ng quát c a dãy s

Gi i:T công th c truy h i ta có : 2

3 3 3n 5.3n

D ng 2: Cho dãy s {xn} : 0

n+1

ax n k( )

x

bx P n



Tìm s h ng t ng quát c a dãy s ?

Gi i:Xét ph ng trình đ c tr ng : a b 0 b

a

      

i v i d ng này ta xét thêm m t giá tr *

n

x g i là nghi m riêng c a ph ng trình sai phân

. n

x  c   x Trong đó nghi m

riêng *

n

x đ c xác đ nh nh sau :

 N u a + b ≠ 0 thì nghi m riêng *

( )

n k

a Q n k(   1) b Q n k( )  P nk( ) ng nh t h s ta tìm đ c Q nk( )

 N u a + b = 0 thì nghi m riêng *

( )

x  n Q n thay vào ph ng trình ta đ c:

( 1). k( 1) k( ) k( )

a n  Q n   bn Q n  P n ng nh t h s ta tìm đ c n Q n k( )

Thí d 1: Cho dãy s {xn} : 0 2

1

7

x







Gi i:Xét ph ng tình đ c tr ng      2 0  2

Ta có : a + b = 1 – 2 = -1 ≠ 0 nên nghi m riêng pt có d ng : * 2

n

x  an  bn c  Thay *

n

x vào

a n   b n    c an  bn  c  n  n 

an a b n a b c n n

ng nh t h s hai v ta đ c :

n

.2n 3 10 18 n

x  c  n  n 

x    c    c Suyra x   n  n 

Thí d 2:Cho dãy s {xn} : 0

1

5

x





Gi i:Xét ph ng trình đ c tr ng      1 0  1

Trang 2

Ta có : a + b = 1 – 1 = 0 nên nghi m riêng c a pt có d ng * 2

n

x  n an b   an  bn *

n

x vào pt,

a n   b n   an  bn  n 

2 an a b 4 n 5

ng nh t h s hai v ta đ c :

n

x   c n  n

x    c Suy ra x  n  n 

D ng 3: Cho dãy s {xn} : 0

n+1

x

bx d d c



0

1

0.

n

n n

n

b d a b

a a





1

5

x





Gi i:T công th c truy h i ta có :

1 6 2 2.6 3 3.6 0 6 6 5

x  x   x   x    x  n hay x  n 

1

3

8 4 ,

x





 ฀ Tìm CTT Q c a xn

Gi i:T công th c truy h i, ta có :

8 4 8 8 4 4 8 4 8 1 8 4 8 4.

n n

n

D ng 4: Cho dãy s {xn} : 0

x

ax bx d  n





Gi i:Xét ph ng trình đ c tr ng : a b 0 b q

a

       

 N u    thì nghi m riêng c a ph ng trình *

. n n

x  c  thay vào pt, ta đ c :

n

d

x c q x c q





n

x  cn  thay vào pt, ta đ c :

1



Trang 3

*

n

dnq dnq Suy ra x



1 1

n

dnq

x c q x c q

a



n n

n

dnq

a



V y t trên ta có : 0

1

.

n n

n

d q

neu q

a q

x x q

d

nq neu q a









1

5

3 2.5 ,n

x







Ta có : q b 3 ; d 2 ; 5.

a

        Vì q   nên ta có s h ng t ng quát c a dãy s là :

0 5.3 2.3 5 4.3 5

3 5

n

d q

x x q

a q



Thí d 2: Cho dãy {xn} : 0

1

2

3 5.3 ,n

x







Ta có: q b 3 ; 3 ; d 5.

a

        Vì q   nên ta có s h ng t ng quát c a dãy s là :

0 n n 2.3 n 5 3 n (5 6).3 n n

d

a

 D ng 5: Cho dãy s {xn} : 0

1 1 1n 2 2n n (1) ,

x





sô h ng t ng quát c a dãy trên

G i *1

n

ax  bx  d  *2

n

ax  bx  d 

*k

n

ax  bx  d 

k

x  x  x   x

. n

b

a

Thí d : Cho dãy {xn} : 0

1

2

2 3.2n 5.7n (*) ,

x







Gi i:Xét ph ng trình đ c tr ng :      2 0  2.

 Do  1   nên nghi m riêng *1

1 2n n

x  d n , thay vào ph ng trình, ta đ c :

3

2

n

d n    d n   d   x  n 

 Do  2   nên nghi m riêng *2

2 7n n

x  d , thay vào ph ng trình, ta đ c :

2 7n 2 7 2 n 5.7n 2 1 n 7n

d   d   d   x 

S h ng t ng quát  n  *1  *2  n  n  1  n

Trang 4

T 1

n

D ng 6: Cho dãy s {xn} : 0

x

ax bx P n d  n





Ta g i *1

n

x là nghi m riêng c a axn1  bxn  P nk( )

*2

n

ax  bx  d

. n

x  c   x  x

T giá tr c a x0ta tìm đ c giá tr c

Thí d :Cho dãy s {xn} : 0

1

3

5 3 2 2.3 ,n

x







Gi i:Xét Ph ng trình đ c tr ng :      5 0  5.

G i *1

n

1

3 11

4 16

x  x  n   x   n  *2

n

1 5 2.3n 3n

x  x   x  

4 16

x  c   x  c  n  

T 0

n

x    c     c Suy ra x   n  

II- Ph ng trình sai phơn b c hai:

D ng 1:D ng thu n nh t và có ph ng trình đ c tr ng b c hai t n t i nghi m th c Cho dãy s {xn} : 0 1

;

0 ,

x x

ax bx cx n



Xét ph ng trình đ c tr ng 2

0 (1)

a   b    c

 Ph ng trình (1) có nghi m     1 ; 2 ( 1  2 )thì s h ng t ng quát có d ng :

1 1n 2 2n n

x  c   c  T x0 ; x1 ta tìm đ c c1 và c2

 Ph ng trình (1) có nghi m   1  2   thì s h ng t ng quát có d ng :

1 2 ( ) n n

x  c  nc  T x0 ; x1 ta tìm đ c c1 và c2.

Thí d 1: Cho dãy {xn} : 0 1

2; 5.



Gi i:Xét ph ng trình đ c tr ng 2

          

S h ng t ng quát c a dãy có d ng xn  c 1 2n c 2 3n

1

5

n n n

Suy ra x

x

Thí d 2: Cho dãy {xn} : 0 1

3; 10.



1,2

       

S h ng t ng quát c a dãy có d ng ( 1 2 ).2 n

n

x  c  nc

1

10

n n

Suy ra x n

x

D ng 2: D ng thu n nh t và ph ng trình đ c tr ng vô nghi m th c

Trang 5

Cho dãy s {xn} : 0 1

;

0 ,

x x

ax bx cx n



Xét ph ng trình đ c tr ng 2

0 (2)

a   b    c Ta có ph ng trình (2) không t n t i nghi m th c, khi đó s h ng t ng quát c a dãy có d ng : n ( 1 os +c sin 2 )

n

x  r c c n  n 

; arctan

A

b



T hai giá tr x0 và x1 ta tìm đ c c1 và c2

Thí d : Cho dãy s {xn} : 0 1

1 ; 3 3 1





Gi i:Xét ph ng trình đ c tr ng 2 2

2 16 0 co 2 16 12 0

Suy ra ph ng trình sai phân không có nghi m th c

b



2 ; arctan

A 3

r  A B   

n

n n

n

x   c c  c  

T

1

1 2

2 1

1

3

3 3 1

n n

c

Suy ra x c

c c

c x









D ng 3: Cho dãy s {xn} : 0 1

;

,

x x

ax bx cx d n



G i *

n

x là nghi m riêng c a ph ng trình Khi đó nghi m riêng *

n

x đ c xác đ nh nh sau:

*

0

0 ; 2 0 2

2

n

d

a b c dn

a b d

a





Xét ph ng trình đ c tr ng, xét nghi m c a ph ng trình đ c tr ng nh các tr ng h p trên K t h p v i nghi m riêng ta có đ c công th c c a xn

Thí d 1:Cho dãy s {xn} : 0 1

4 ; 1

2 n 5 n 2 n 3 ,



Xét ph ng trình đ c tr ng : 2

1

2

          

3

2 5 2 n

d x

a b c

1

2

n

x  c  c 

2 2

2

4

2

n

c c

Suy ra x c

c

   



Trang 6

Thí d 2:Cho dãy s {xn} : 0 1

89 5;

5





Tìm s h ng t ng quát xn

          

n

a b

11

5

n n

x   c c  n  ฀ n

2

1 2 1

11 89 89

6

5

n n

c

x



Thí d 3: Cho dãy {xn} : 0 1

3; 2



1,2

       

Có a+b+c=0 và 2a+b=0 nên nghi m riêng *

( 1) 3 ( 1).

2 n

d

a

S h ng t ng quát c a dãy là : xn   c 1 nc 2  3 ( n n  1) ,  ฀ n

1

x

D ng 4: Cho dãy s {xn} : 0 1

;

n

x x

ax bx cx dq n





G i *

n

x là nghi m riêng c a ph ng trình sai phân trên Khi đó nghi m riêng này đ c xác

đinh nh sau :

*

2

1

*

1 2

.

2

n n

dq

aq bq c ndq

aq b d

x n n q khi q

a

 









Xét ph ng trình đ c tr ng, l p công th c nghi m và ta có đ c công th c xn

Thí d 1:Cho dãy s {xn} : 0 1

2 ; 5

8 15 3.4 ,n





Gi i:Xét ph ng trình đ c tr ng : 2

          

Ta có q    1 q 2 nên nghi m riêng c a ph ng trình *

2

3.4

16 32 15

n n

dq x

aq bq c

S h ng t ng quát c a dãy là : xn  c 1 3n  c 2 5n  3.4 ,n  ฀ n

1

5

n

x

Thí d 2:Cho dãy s {xn} : 0 1

8 ; 5.





          

Trang 7

Ta có: q  2 nên nghi m riêng c a ph ng trình * 1 6 7 1 1

2 7

2 2.1.7 11

n n

aq b



1 4n 2 7n 2 7n n

x  c  c  n 

2

n

c



Thí d 3: Cho dãy {xn} : 0 1

4 ; 5.

10 25 2.( 5) ,n .



1 2

          

Ta có q   1 2 nên nghi m riêng c a ph ng trình * 2 2

( 1) ( 1).( 5) 2

n

d

a

S h ng t ng quát c a dãy : xn c n c 1  2.( 5)  n  n n (  1).( 5) ,  n  ฀ n

T

2

( 3 4).( 5) ( 1).( 5) ( 76 100).( 5) 4

n

c

D ng 5: Cho dãy s {xn} đ c xác đ nh b i : 0 1

;

( ) ,

x x

ax bx cx P n n



là đa th c b c k theo n Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy s

Nghi m riêng *

n

x cua ph ng trình đ xác đ nh nh sau:

*

* 2

n k

x Q n khi a b c

x nQ n khi a b c a b

x n Q n khi a b c a b





Xác đ nh công th c t ng quát theo trình t các b c nh đã trình bày các ví d trên

Thí d :Cho dãy s {xn} : 0 1

31 ; 60.





Gi i:Xét ph ng trình đ c tr ng c a dãy : 2

          

Ta có : a+b+c ≠ 0 nên nghi m riêng c a ph ng trình * 2

n

x  an  bn c  Thay vào công th c truy h i, ti n hành đ ng nh t h s ta đ c : * 2

n

x  n  n 

1 2n 2 5n 2 8 15.

n

x  c  c  n  n 

2

1

n n n

c

D ng 6: Cho dãy xác đ nh b i {xn} : 0 1

;

( ). n ,

x x

ax bx cx P n  n





Nghi m riêng *

n

x c a ph ng trình d ng này đ c xác đ nh nh sau :

*

* 2

1 2

n

n k

n

x Q n khi

x n Q n khi





T đây tìm đ c công th c t ng quát c u xn

Thí d : Cho dãy {xn} : 0 1 2

5; 18.





Trang 8

1 2

         

Ta có     1 2 nên nghi m riêng c a pt * 2 

.3n n

x  n an b  Thay *

n

x vào công th c truy h i, rút g n và đ ng nh t h s , ta đ c *  3 2

2 3n n

x  n  n

1 2 ( ).3n ( 2 ).3 ,n n

x  c n c   n  n  ฀ n

2

5 3( ) 3 18

n

c

D ng 7: Cho dãy s đ c xác đ nh b i {xn} :

0 1

;

osn + sinn , n

x x

ax bx cx  c   



i v i ph ng trình d ng này, nghi m riêng c a nó có d ng : *

osn +Bsinn n

x  Ac   Thay *

n

x vào công th c truy h i đ xác đ nh đ c hai h s A và B

Thí d : Cho dãy {xn} : đ c xác đ nh b i :

n





Gi i:Xét ph ng trình đ c tr ng : 2

          

n

h i, ta đ c :

3 3 2 os sin

n

Phân tích v trái và rút g n ta đ c :

os sin

n

x c

     



n 2 os sin

n n

n

x  c c c   

2

n n

c

    

D ng 8: Cho dãy s d ng sau { xn} : 0 1

;

(1) ,

x x



Trong đó d ni là m t trong các d ng sau : h ng s d, d n , P nk( ), n ( ) P nk ,

Khi đó ta g i *i

n

x là nghi m riêng c a ph ng trình ax n2  bx n1  cx n  d ni

Trang 9

Nghi m riêng c a (1) đ c xác đ nh là * *

1

k i

i



 Sau đó ta thi t l p đ c công th c t ng quát nh các thí d đã cho

III- Ph ng trình sai phơn b c ba:

Lo i 1: Ph ng trình thu n nh t :

D ng 1: Cho dãy {xn} : 0 1 2

; ;

x x x

ax bx cx dx n



xnc a dãy s

0

a   b   c    d Ph ng trình có 3 nghi m phân bi t

1 ; 2 va 3

   Khi đó s h ng c a dãy đ c xác đ nh là : xn  c 1  1n c 2  2n c 3  3n

T các giá tr x 0 ; x 1 ; x 2 ta xác đ nh đ c các giá tr c 1 ; c va c 2 3

Thí d : Cho dãy s {xn} : 0 1 2

1; 5 ; 8.



Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng : 3 2

S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn   c 1 c 2 2n c 3 3n

T

1

0 1 2 3

3

11

5

2

n

c

x c c c

c

  



   







฀

D ng 2: : Cho dãy {xn} : 0 1 2

; ;

x x x



quát xnc a dãy s

0

a   b   c    d có hai nghi m phân bi t  1 va  2   3  

Khi đó s h ng t ng quát c a dãy s cho b i : xn  c 1  1nc n c 2  3 n

Thí d : Cho dãy s {xn} : 0 1 2

5; 11 ; 16



Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng 3 2

              

S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  c 1 7nc n c 2  3.2n

T

1

0 1 3

3

6 35 5

181 35

n

c

x c c

c

  



  

฀

D ng 3: Cho dãy {xn} : 0 1 2

; ;

x x x



xnc a dãy s

0

a   b   c    d có 1 nghi m kép   1  2   3   Khi đó

1 2 3 n n

x  c n  c n c  

Trang 10

Thí d :Cho dãy s {xn} : 0 1 2

3 ; 2 ; 8



quát c a dãy

Gi i:Xét ph ng trình đ c tr ng : 3 2

1 2 3

             

n

x  c n  c n c 

T

1

0 3

2

3

7 2 3

3

n

c

x c

c

 





฀

D ng 4: Cho dãy {xn} : 0 1 2

; ;

x x x



xnc a dãy s

0

a   b   c    d có 1 nghi m th c  và hai nghi m ph c Khi đó s h ng t ng quát c a ph ng trình có d ng : xn  c 1 n c c 2 osn +c sin  3 n 

Thí d : Cho dãy s {xn} : 0 1 2

3; 4 3 ; 8 3





Gi i:Xét ph ng trình đ c tr ng 3 2    2 

              

 

2

3







2 16 0

th c nên theo thí d trong d ng 2 c a ph ng trình sai phân b c hai ta có s h ng t ng

quát là '

n os sin

n

n 3 os sin

n n

n

x c c c  c 

T

0 1 2

1 3

2

3 3

2

2 1

3

1

2 3

n n

x c c

c c

c



  











฀

Lo i 2: Ph ng trình không thu n nh t

Cho dãy s d ng {xn} : 0 1 2

; ;

x x x

ax bx cx dx d n



Trong đó d n có th là h ng s , n

m  , đa th c b c k theo n P nk( ),

Ta ti n hành tìm nghi m riêng nh d ng đ i v i ph ng trình b c 2 đã trình bày trên

IV- Ph ng trình sai phơn b c cao

D ng 1: Ph ng trình thu n nh t : a x 0 n k  a x 1 n k 1   a xk n  0

0 k 1 k k 0

a   a     a 

TH1: có k nghi m th c phân bi t, khi đó s h ng t ng quát c a dãy s có d ng :

Trang 11

1 1 2 2 3 3

1

k

i



TH2: Có s nghi m b ng nhau , (k – s) nghi m khác nhau và khác v i s nghi m trên Khi

x  c  n  c 

TH3: N u ph ng trình đ c tr ng có nghi m ph c : xj   A Bi  r c os +isin   trong đó

2 2

r  A  B ; arctanB

A

  và k – 2 nghi m th c khác nhau thì s h ng t ng quát c a dãy

1

k

n n

i

x  c  r c c n  n 



D ng 2:Ph ng trình không thu n nh t: a x 0 n k  a x 1 n k 1   a xk n  bn.

Ta xét thêm nghi m riêng *

n

x tu theo d ng c a bnvà các h s ai Thi t l p công th c

t ng quát c a xnt các gi thi t c a bài

V- M t s d ng đ c bi t khác th ng g p c a dƣy s trong các kì thi

D ng 1: Ph ng trình sai phân d ng " H ph ng trình sai phân tuy n tính c p m t" Cho dãy s {xn} , {yn} đ c xác đ nh nh sau : 1

1

x ax by

y cx dy





Tìm s h ng t ng quát xn và yn

a h v ph ng trình sai phân tuy n tính c p 2 c a t ng dãy {xn} và {yn} :

x  ax  by  ax  b cx  dy  ax  bcx  d x  ax  a  d x  bc ad x 

y  cx  dy  c ax  by  dy  dy  bcy  a y  dy  a  d y  bc ad y 

a đ c h v d ng ph ng trình c b n, t đây ta d dàng tìm đ c CTTQ c a s h ng

t ng dãy đã cho

Thí d :Tìm CTTQ c a dãy s {xn} và {yn} : 0 1

.

n





 

Gi i: Ta có : un2  ( a  d u ) n1 ( bc ad u  ) n  4 un1 3 un và u1 5

T đây, ta có :

1



D ng 2:Ph ng trình sai phân d ng phân th c tuy n tính:

n

ax b

cx d

k

y

z

1

.

n

y

n

z



฀

T công th c t ng quát c a {yn} và {zn} ta suy ra CTTQ c a {xn}

Cách 2: t x n  u n  t, thay vào công th c truy h i c a dãy ta có :

2 1

(*).

n

au at b a ct x ct a d t b



Trang 12

Ta ch n t sao cho 2

ct  d  a t b   Khi đó ta chuy n (*) v d ng :

1

.

u  u  

T đây ta tìm đ c 1

n

u , suy ra un.

Thí d :Tìm CTTQ c a dãy s {un} :

1

1 1

2

2.

n n

n

u









n n

x u y

 , thay vào công th c truy h i ta đ c :

1

.

n

x

n

y





฀

42 2

23

2 ; 42

1 ; 23



11.3 10 11.3 10

n

n n

x

y





Cách 2: t u n  x n  t, thay vào công th c truy h i ta đ c :

2 1 1



Ta ch n t : 2

1

5 t  22 t  24       0 t 2 x 4.

1

n

x



D ng 3:H ph ng trình tuy n tính b c 2

;

a







 



1

1 1

.

1

2

1

2

n

u u a v

a v a u v

a



 





 



Thí d : Xác đ nh CTTQ c a hai dãy s {un} và {vn} tho :

1

2

1

u

v





 

1 1

2

2.

2

n

 







Gi i:

2

1 1

2





Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	736,53 KB