Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đáy BC và AD.. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD tại Q.. BÀI GIẢI Gọi K là giao điểm của MQ và AD; H là giao điểm của PM và A
Trang 1L N
B A
E
K H
Q
N M
P
D
C B
A
E
K H
P Q
N
C B
A
NHỮNG BÀI TOÁN HAY LỚP 8 VÀ KHÓ LỚP 8
Bài 1: Cho hình vuông ABCD Gọi K là trung điểm của cạnh AB L là điểm chia đường chéo
AC theo tỉ số AL 3 Chứng minh LK LD
BÀI GIẢI
Kẻ LM AB và LN AD
Tứ giác AMLN có AM N nên nó là hình chữ nhật
AC là phân giác của DAB nên AL là phân giác của NAM
Vậy tứ giác AMLN là hình vuông
Suy ra : AM = AN , kết hợp với AB = AD nên MB = ND
LM // BC suy ra AL AM 3 Do đó : hay AB = 4MB
4
MB
AB Lại có AB = 2KB nên KB = 2MB Vậy MB = MK nên MK = DN
Từ đó ΔLND = ΔLMK Suy ra : NLD KLM nhưng 0 nên
90
90
KLNNLD Vậy LK LD (đpcm).
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đáy
BC và AD Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD tại Q
Chứng minh MN là tia phân giác của góc PMQ·
BÀI GIẢI Gọi K là giao điểm của MQ và AD; H là giao điểm của
PM và AD; E là giao điểm của PQ và BC
Do MN là trục đối xứng của hình thang cân nên MN AD
Ta cần chứng minh KN = NH
NK // ME NK NQ (hệ quả định lý Ta-lét cho ΔNQK )
ME QE
DN // BE NQ DN (hệ quả định lý Ta-lét cho ΔNQD )
QE BE
Do đó: NK DN (1)
ME BE
Chứng minh tương tự ta được: NH AN ( cùng bằng tỉ số ) (2)
PE
Từ (1) & (2) kết hợp với giả thiết NA = ND suy ra : NK = NH
Tam giác HMK có NH = NK và MN HK nên ΔHMK cân tại M
Do đó MN là tia phân giác của HMK (đpcm)
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC.Trên tia đối
Của tia DC lấy điểm P Gọi Q là giao điểm của PM và AC
Chứng minh rằng : QNM MNP
BÀI GIẢI Gọi H là giao điểm của NQ và AD, K là giao điểm của NP và AD, E là
giao điểm của PQ và BC
(hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔAQM)
(hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔPCE)
Trang 2d1
K Q
T
L I
O F
E
D
C B
A
K H
P Q
N
C
A
=
=
=
=
O
E P
Q
N M
B A
Mà AM = MD ( M là trung điểm AD) Nên AM DM Do đó: (1)
QE PE
Lập luân tương tự: MH//EN MH MQ (2)
MK//EN MK PM (3)
Từ (1); (2) ; (3) suy ra: MH MK MH MK
Hình chữ nhật ABCD có M, N là trung điểm AD và BC nên MN AD ΔHNK có NM vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên ΔHNK cân ở N
Do đó NM là phân giác HNK Vậy QNM MNP (đpcm)
Cách 2: Gọi O là giao điểm MN và AC, E là giao
điểm của QN và DC
AM // CN và AM = CN (do AD// BC, AD = BC,
và M , N là trung điểm AD; BC) nên tứ giác
AMCN là hình bình hành Suy ra: OM = ON
ΔQPC có MO // PC nên MO QO
PC QC
ΔQCE có NO // EC nên NO QO
CE QC
Do đó: MO NO Mà OM = ON nên PC = EC
PC CE
ΔNPE có NCPE PC; CE nên cân ở N NPENEP
Mặt khác QNM QEP MNP ; NPE (do MN // CD)
Do đó : QNM MNP (đpcm)
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm E, dựng điểm F đối xứng
với C qua E Đường thẳng d1đi qua F song song với AD cắt AB tại I.Đường thẳng d2
đi qua F song song với AB cắt AD tại K
Chứng minh ba điểm I , K , E thẳng hàng
BÀI GIẢI
Gọi O là giao điểm của AC và BD
L là giao điểm của d1 và AC
Q là giao điểm của AF và KI
T là giao điểm của AF và BC
Tam giác ACF có EO là đường nên EO // AT
Tứ giác ADBT có AD// BT & BT// AD
Suy ra BT = BC ( cùng bằng AD)
Do FI // BT và IL // BC ta suy ra:
(cùng bằng ) , nhưng BT = BC
AB
Nên FI = IL
Tam giác CLF có EI là đường trung bình nên IE//AC (1)
Trang 3K
H
N
M E
C B
A
Tứ giác AKFI có AK // FI & KF // AI nên nó là hình bình hành suy ra Q là trung điểm của AF Từ đó EQ là đường trung bình của tam giác AFC nên QE // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm Q ; I ; E thẳng hàng (Tiên đề Ơclit)
Điểm K thuộc đường thẳng QI nên ba điểm I ; K ; E thẳng hàng
Bài 5: Cho tam giác ABC và điểm E nằm giữa A và C Gọi Bx là tia nằm giữa hai tia BA và
BC Các đường thẳng kẻ qua E song song BC và AB cắt tia Bx lần lượt tại N và M
Hướng dẫn: Đã có BC // EN Muốn MC // AN
cần chứng minh KCM ANE
Do đó cần chứng minh hai tam giác CMK & NEA
đồng dạng
BÀI GIẢI:
Gọi H là giao điểm của NE và AB, K là giao điểm
của EM và BC
Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác NHB có EM // HB ta được:
NH BH NH NE (1) Tương tự HE // BC nên : (2)
HA AE
Từ (1) & (2) suy ra: NH HB. NE CE. Do đó: (3)
HA ME AE
Nhưng NE BK &CE CK ( do EN // BK & EK // AB) nên (4)
ME AE MK BK MK
Từ (3) & (4) suy ra: NH CK , mà ( cùng bằng góc ABC)
HA MK AHN MKC
Vậy tam giác ANH & tam giác MKC đồng dạng
Suy ra: ANH MCK ; kết hợp với NH // BC ta được CM //AN (đpcm)
