Hệ thống bài tập ôn thi học kỳ II Toán 1151721

Tìm công thức số hạng tổng quát của các dãy số sau: a... Chứng tỏ mội số hạng của dãy số đều là số nguyên b.. Tìm 4 số nguyên khác nhau biết chúng lập thành 1 CSC và số hạng đầu bằng tổ

CHỨNG MINH QUY NẠP

1 Chứng minh rằng   ฀n * ta có:

1 2 3

2

n n

    

1 2 3

6

1 3 5     2n 1 n

3

1 3 5

4

f

n

h 1 1 1 1 1 12 1

n



       

i 2 2.3 3.4  1  1 2

3

2 Chứng minh rằng   ฀n * ta có:

2 2.5 3.8    n 3n 1 n n1

b

n

4 2.7 3.10    n 3n 1 n n1

1 4 7 3 1

2

e 2 5 8 3 1 3 1

2

n



1 3 6

i

3

n n



3 Chứng minh rằng:

a n3n6, n 1

b n311 6,n  n 1

c 42n21 15,  n 0

d 2n2 2n5

2

e n33n25 3,n  n 0

f 4 n15n1 9,  n 0

g 3n1   n, n 1

h 3 n 3n1

2

n

n

 

j 11n1122n1133, n 1

4 Chứng minh rằng:

a 5.23n233n119, n 0

b 2n33n2n6, n 0

c 3n n24n5

f 1 3 5 .2 1 1

n

 



2n

n







6 Chứng minh rằng:

a 1an  1 na với a 1 và n ฀

2

n

a



2

7* Cho n số thực không âm a a1, 2, ,a n Chứng minh rằng  n ฀,n2 ta có:

1 2

1 2

n n

n

n



8 Chứng minh rằng:

a

sin sin

sin sin 2 sin 3 sin

sin 2

nx

x



b

cos sin

1 cos cos 2 cos 3 cos

sin 2

nx

x



cos cos 2 cos 3 cos

n

x



9 Cho n số thực dương x x1, 2, ,x n thoả mãn điều kiện x x1 2 x n 1 Chứng minh rằng:

1 2 n

10 Cho n số thực x x1, 2, ,x n 0;1 ,n2 Chứng minh rằng:

1x11x2  1x n    1 x1 x2 x n

1 Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số sau:

n

u

n





1

n

n

u

n







1

n n

u

n

 





1

n

u



 

e

2

n

n



n n

u

n

  

h

2

1

1

n

n

u

n







2 Cho dãy số  u n với 3 1

n

n u n







a Xác định 5 số hạng đầu tiên

b Số 17 là số hạng thứ mấy của dãy số

15

c Số 32 là số hạng thứ mấy của dãy số

7

3 Cho dãy số  u n với 5.4n 1 3 Chứng minh rằng:

n

u    u n14u n  9, n 1

4 Tìm công thức số hạng tổng quát của các dãy số sau:

a u1 3;u n1u n4

b u1 4;u n1 3u n 2

4

2

d u1  2;u n1 2u n

n n

n

u

u







1

n n

n

u

u







3

2

n

   

1 0; 2 1; 2

2

n

1 1 2

b Xác định công thức tính Từ đó chứng minh rằng dãy số u n  v n với 2 có công thức số hạng

3

tổng quát là

1

n n

v



  

1 2; 2 1;

2

n

1

2u nu n 4

2 1

1 3

2

n

n n



7 Tìm số hạng thứ 2009 của dãy số:

a u1 1;u2  2;u n 3u n12u n2

b u1 1;u2 2;u n 4u n13u n2

8 Cho dãy số  u n xác định bởi u1 7;u n1 u n   7, n 1

a Tính u u u2, 4, 6

b Chứng minh rằng: u n 7n  6, n 1

u  u    u  u   n

a Tính u u u2, 3, 4

b Chứng minh rằng: u n u n3, n 1

10 Cho dãy số  u n xác định bởi u1 2;u n1 5 ,u n  n 1

a Tính u u u2, 4, 6

2.5n

n

11 Cho dãy số  u n xác định bởi u1 2;u n1 3u n2n  1, n 1 Chứng minh rằng: u n 3n  n, n 1

2

4

4

n n

u

đổi

13 Cho dãy số  u n xác định bởi 1 1 và

3

u  u n14u n  7, n 1

a Tính u u u2, 3, 4

3

n n

u

 



14 Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:

1

n

u

n





2

2

1

n

u

n

 





c u n  n n1

n

 



15 Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:

n





b u n n25

2

n

n

u

n





d u n   1 n n

n

4

n

1

n

n

u

n







n





i u n  n cos2n

j u n  1 n1

16 Xét tính đơn điệu của các dẫy số sau:

a

2

2

1

n

n

u

n





n

c

4

n

d u n  n 1 n

n

f u n 2n cos1

n

n

 

6

1

n

n

u

n







i u n   1n2n 1

n

n

u

n







5

3

n

n

17 Cho dãy số  u n xác định bởi Xác định a để:

2 2

1

n

an u n







a  u n là dãy số tăng

b  u n là dãy số giảm

18 Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

n





n

n

u

n







c

2

1

1

n

n

u

n







d

2

2

1

n

n

u

n





e

2

2

2

1

n

n

u

n





f

2

2

4

n

u



 

n

19 Chứng minh rằng dãy số sau tăng và bị chặn trên: u n 1.21 2.31 3.41   n n 1 1



1

n

n u n







21 Cho dãy số  u n xác định bởi công thức: u1 0 và 1 1 4

2

a Chứng minh rằng u n 8

b Chứng minh rằng dãy  u n tăng và bị chặn

22 Cho dãy số  u n xác định bởi công thức: u1 1 và 1 2

1

n n n

u u u









a Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số

2

n

u

23 Cho dãy số  u n xác định bởi công thức: u1  6 và u n1 6u n Chứng minh rằng: u n 3

24 Cho dãy số  u n xác định bởi  1

n n

n u

n

 





a Tìm 5 số hạng đầu tiên

b Chứng minh rằng:  u n bị chặn

n n

u

26 Chứng minh rằng các dãy số sau:

n

u

n

u

n

c u1  2;u n1 2u n tăng và bị chặn trên bởi 2

1

n n

n

u

u







3 2

27 Tìm số hạng lớn nhất của dãy số  u n với 2 1

7

n

n u





 

2

4

4

n n

u

không đổi





*

5 , 2

n n

 

,



với là các hằng số phụ thuộc a, b và r là nghiệm kép của phương trình

n n

2

0

x   cx d





3n 2 3n ,

n

a   n    ฀n

,



với là các hằng số phụ thuộc a, b và là hai nghiệm phân biệt của phương trình

1 1 2 2

n

2

0

x   cx d

1





*

,

5

n

      

      

฀

32 Cho dãy số  u n với u n 21 và dãy số xác định như sau:









a Xét tính đơn điệu của các dãy số:    u n , S n

b Xác định công thức tính theo n S n

8

2 2

2

n

u





   P n P n u u1 .2 u n

a Xét tính đơn điệu của các dãy số:  u n ,  P n

b Xác định công thức tính theo n P n

34 Cho dãy số  u n xác định bởi: 1

2 1

0

u









a Chứng tỏ mội số hạng của dãy số đều là số nguyên

b Tìm công thức số hạng tổng quát

CẤP SỐ CỘNG

1 Cho CSC thoả mãn a1015,a5 5 Tính a7

2 6

10 8



  

2 7

8

a a



4 Tìm CSC biết:

4 6

10 26



  



2 2

4 12

60 1170





1

1 2

5 45

n

n

u u





 



    



6 Cho 3 số a, b, c tạo thành CSC Chứng minh rằng:

a a22bcc22ab

a ab b a ac c b bc c

7 Bốn số a, b, c, d tạo thành 1 CSC có tổng bằng 100, tích bằng -56 Tìm 4 số đó

8 Năm số a, b, c, d, e tạo thành 1 CSC có tổng bằng 10, tích bằng 320 Tìm 5 số đó

9 Ba số a, b, c tạo thành 1 CSC có tổng bằng 27 và tổng các bình phương là 293 Tìm 3 số đó

10 Ba số a, b, c lập thành 1 CSC có số hạng đầu là 5 và tích của chùng là 1140 Tìm 3 số đó

11 Ba số a, b, c tạo thành 1 CSC có tổng bằng 12, tổng nghịch đảo của chúng bằng 39 Tìm ba số đó

28

13 Bốn số a, b, c, d tạo thành 1 CSC có tổng bằng 8, tổng nghịch đảo của chúng bằng 8 Tìm 3 số đó

15

14 Giữa hai số 7 và 35 hãy thêm 6 số nữa để được 1 CSC

15 Cho các số a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

a Các số 2 2 2 lập thành 1 CSC thì các số cũng lập thành 1 CSC

, ,

b c c a a b

16 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng 3 cạnh a, b, c lập thành 1 CSC thì tan tan 1

17 Chứng minh rằng nếu cot , cot , cot tạo thành 1 CSC thì 3 cạnh a, b, c cũng tạo thành 1 CSC

theo thứ tự đó

18 Một đa giác có chu vi là 158 cm, độ dài các cạnh của đa giác lập thành 1 CSC với công sai d = 3 Biết cạnh lớn nhất là 44 cm Tính số cạnh của đa giác

19 Một đa giác lồi có 9 cạnh và các góc lập thành 1 CSC có công sai 0 Tính các góc của đa giác

3

d 

đó

20 Tìm 4 số nguyên khác nhau biết chúng lập thành 1 CSC và số hạng đầu bằng tổng các bình phương của 3 số còn lại

21 Cho CSC  u n Chứng minh rằng:

a

n



b

n



23 Cho 2 CSC  u n : 4, 7, 10, 13, 16, ;  v n : 1, 6, 11, 16, 21, Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi CSC đó có bao nhiêu số hạng chung

24 Một xe máy xuất phát từ A với vận tốc 24 km/giờ Sau hai giờ một xe máy khác đuổi theo với vận tốc trong giờ đầu là 30 km/giờ và cứ mỗi giờ sau tăng vận tốc lên 4 km/giờ Hỏi sau mấy giờ thì hai người gặp nhau và khi đó cách A bao nhiêu km

25 Cho dãy số  u n mà tổng của n số hạng đầu tiên của nó được xác định theo công thức sau:

2

n



a Hãy tính u u u1, 2, 3

b Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n

c Chứng minh rằng:  u n là 1 CSC, xác định công sai của CSC

26 Cho dãy số  u n xác định bởi: 1

2 1

1

2, 1

u









a Chứng minh rằng: dãy số  v n xác định bởi v n u n2, n 1 là 1 CSC Xác định CSC đó

b Hãy tính số hạng tổng quát của dãy số  u n

1 2 100

1

1

u





a Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương k, tổng của k số hạng đầu tiên của dãy số  v n bằng

1 1

k

u  u

10

b Chứng minh rằng: dãy số  v n là 1 CSC, xác định CSC đó

1

1

u





v u  u  n

a Chứng minh rằng: dãy số  v n là 1 CSC, xác định CSC đó

b Cho số nguyên dương k, hãy tính tổng của k số hạng đầu tiên của dãy số  v n theo k Từ đó suy ra số hạng tổng quát của  u n

29 Cho dãy số  u n xác định bởi:

1

1

2

1

n n

n

u

u

u



 







0,

n

u    ฀n

n

n

u v

u



30 Cho hai CSC  u n và  v n lần lượt có tổng của n số hạng đầu tiên là S n 7n1 và '

n

Tính tỉ số 11

11

u

v

n

S  n    ฀n

32 Cho CSC  u n biết S p q và S q  p Hãy tính S p q

33 Cho CSC  u n biết u p q u, q  p Hãy tính u n

34 Cho CSC  u n biết S n 2n3n2 Tìm u p

35 Cho CSC  u n biết S n n S2, m m2 Chứng minh rằng: u m 2m1,u n 2n1

36 Cho CSC  u n biết S n n5n3 Tình số hạng u p

37 Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 CSC biết:

a Tổng của chúng bẳng 15 và u2 5

b Tổng của chúng bằng 15 và tổng các bình phương bằng 125

c Tổng các bình phương bằng 35 và số hạng thứ nhất là nghiệm của phương trình 2

d Tổng của chúng bằng 6 và tích của chúng bằng 6

38 Cho 1 CSC có 7 số hạng, d > 0, u4 11 Tìm các số hạng còn lại của CSC biết u5u3 6

2 2

17 20

9 153







2 2

31 32

0 11 101

d

 





41 Cho CSC  u n và các số nguyên dương m, k với m < k Chứng minh rằng:

2

k m k m k



42 Cho CSC  u n có u5u1920 Tính tổng 23 số hạng đầu tiên của CSC

4 9

42 66



  



44 Cho CSC tăng  u n có u13u153 302094 và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585 Xác định CSC đó

45 Cho  a n là 1 CSC Chứng minh rằng:

a a1a n a k a n k 1,1 k n

b q r a  p  r p a qp q a  r 0

46 Tìm x để ba số sau lập thành 1 CSC

a x2 x 1,x2,1 2 x

b x3x21,x21,x2 x 1

0

đó lập thành CSC khi và chỉ khi 3

2a 9ab27c0

48 Xác định m để các phương trình sau có nghiệm lập thành 1 CSC

a x33x2mx 2 0

b 2x4mx2 2 0

c x42m1x22m 1 0

d mx42m1x2  m 1 0

4 6

10 26



  



2 7

8 75

u u





51 Tìm 4 số hạng liên tiếp của 1 CSC, biết của của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120

52 Tìm 5 số hạng liên tiếp của 1 CSC, biết tổng của hcúng bằng 25 và tổng các bình phương của chúng bằng 165

53 Tính các tổng sau:

a S 55 60 65 855   

b S 999 996 993 3   

c S 2002199219821972  221

54 Số đo 3 góc A, B, C của tam giác ABC theo thứ tự lập thành 1 CSC và thoả mãn đẳng thức:

sin sin sin

2

a Tính các góc A, B, C

b Biết nửa chu vi của tam giác bằng 50 Tính các cạnh của tam giác

55 Độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC theo thứ tự lập thành 1 CSC với công sai bằng d Chứng

56 Cho các số khác không a a1, 2, ,a n lập thành 1 CSC Chứng minh rằng:

lập thành 1 CSC 6, ,x x1 2

tại ba điểm cách đều nhau

12

CẤP SỐ NHÂN

5

8 64

u u

 



 

2 Cho CSN thoả:

5 3

60

180



  

1 3 5

728

91

 



   

1 3

1460

20

 



  

1 3 5

325

65

 



   

2 2

3 6

63





2 1

2

u







5 Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 CSN có q = 2 Tìm 4 góc ấy

1 9 2187 3

n

u u q





 



 



, n

n S

7 Tìm CSN có 6 số hạng biết tổng của 5 số hạng đầu bằng 31 và tổng của 5 số hạng sau bằng 62

8 Tìm CSN có 4 số hạng biết tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72

9 Trong 1 hồ sen có số lá sen ngày sau bằng 3 lần số lá sen ngày trước Biết rằng nếu ngày đầu tiên có 1

lá sen thì tới ngày thứ 10 thì hồ đầy lá sen.

a Khi đầy hồ thì có bao nhiêu lá sen

b Nếu ngày đầu tiên có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy thì đầy hồ

10 Cho 3 số a, b, c lập thành 1 CSN Chứng minh rằng:

a b c  a b c  a b c

ab ac bc  abc a b c 

1

11 Tìm x để ba số x1,x4, 5x2 lập thành 1 CSN

12 Cho 3 số lập thành 1 CSN Nếu thêm 4 vào số hạng thứ 2 ta được 1 CSC Nếu thêm 32 vào số hạng thứ 3 ta được 1 CSC Tìm 3 số hạng đó

13 Tìm CSN a, b, c biết:

a 14

64

a b c

abc

  





3375

a b c

abc

  





14 Biết rằng 3 số a, b, c lập thành 1 CSN và 3 số a, 2b, 3c lập thành 1 CSC Tìm công bội của CSN

15 Tìm CSN a, b, c biết a b c  26, đồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của 1 CSC

16 Tìm CSN a, b, c biết a b c  21, đồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ tư của

1 CSC

17 Tính các góc của 1 tam giác vông có độ dài ba cạnh lập thành 1 CSN

18 Cho 2 số a b, 0 Giữa các số a2 , b2 hãy thêm 5 số nữa để được 1 CSN

19 Hãy xác định 1 CSN có 6 số hạng, biết rằng tổng 3 số hạng đầu bằng 168, tổng 3 số hạng sau bằng 21

20 Khoảng cách giữa 1 người đi xe máy với 1 người đi bộ là 10 km Vận tốc xe máy bằng 10 lần vận tốc của người đi bộ Hỏi xe máy cần vượt một quảng đường dài bao nhiêu để đuổi kịp người đi bộ

21 Tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4 Trung điểm của các cạnh của tam giác ABC lập thành tam giác A B C1 1 1, , trung điểm các cạnh của tam giác A B C n1 n1 n1 lập thành tam giác A B C n n n Tính tổng chu

vi của các tam giác ABC A B C, 1 1 1, ,A B C n n n

22 Các cạnh của tam giác ABC lập thành 1 CSN Chứng minh rằng tam giác ấy không thể có 2 góc lớn

60

23 Cho tam giác ABC có 3 góc A, B, C lập thành 1 CSN có q2 Chứng minh rằng:

b c a

4

24 Hãy xác định a, b sao cho 1, a, b lập thành 1 CSC và 2 2 lập thành 1 CSN

1,a b,

25 Ba số dương lập thành 1 CSC có tổng bằng 15 Nếu thêm 1 vào số thứ nhất và số thứ hai, thêm 4 vào

số thứ ba thì được 3 số mới lập thành 1 CSN Tìm các số đó

26 Ba số lập thành 1 CSC có tổng bằng 15 Nếu thêm 1 vào số thứ nhất, thêm 4 vào số thứ hai, thêm 19 vào số thứ ba thì được 3 số mới lập thành 1 CSN Tìm các số đó

27 Bốn số lập thành 1 CSC Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta được 1 CSN Tìm 4 số đó

28 Ba số khác nhau tạo thành 1 CSN có tổng bằng 15 đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư, thứ hai mươi lăm của 1 CSC Tìm các số đó

29 Cho CSN a, b, c, d Chứng minh rằng:

0

30 Một CSC và 1 CSN có cùng số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của CSC lớn hơn số hạng thứ hai của CSN là 10, còn các số hạng thứ ba thì bằng nhau Tìm CSC, CSN đó

31 Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành 1 CSN với công bội q1, đồng thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành 1 CSC với công sai d 0 Tìm q

32 Ba số x6 , 5y x2 ,8y xy theo thứ tự lập thành 1 CSC, đồng thời các số x1,y2,x3y theo thứ

tự lập thành 1 CSN Tìm x, y

14

33 Ba số x6 , 5y x2 ,8y xy theo thứ tự lập thành 1 CSC, đồng thời các số 5, 1, 2 3 theo

3

thứ tự lập thành 1 CSN Tìm x, y

34 Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành 1 CSN, đồng thời ba số x y, 4,z theo thứ tự lập thành 1 CSN và ba

số x y, 4,z9 theo thứ tự lập thành 1 CSC Tìm x, y, z

35 Các số x5 , 5y x2 ,8y xy theo thứ tự lập thành 1 CSC, đồng thời các số  2  2

theo thứ tự lập thành 1 CSN TÌm x, y

36 Tính các tổng:

n

S      

n

    

1

1

1 8 5

n n

u u

u 









rằng:  v n là 1 CSN Tính u n theo n

38 Tìm ba số hạng liên tiếp của 1 CSN biết:

a Tổng của chúng bằng 13 và u3 9

b Tổng các bình phương bằng 21 và là nghiệm của phương trình u1  x2 2x 1 0

c Tổng của chúng bằng 14 và tích của chúng bằng 64

d Tổng của chúng bằng 7 và nếu lấy số hạng thứ nhất trừ 1, số hạng thứ hai cộng 1, số hạng thứ ba cộng

2 thì theo thứ tự đó lập thành 1 CSC

39 Cho 1 CSN có 7 số hạng, số hạng thứ 4 bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ 2 Hãy tìm các số hạng còn lại của CSN

3 5

8 272





  







42 Cho CSN  u n và cho các số nguyên dương m, k với m < k Chứng minh rằng: u k  u k m u k m

3 3

1 3

189







44 Cho CSN  u n với q 0;1 Hãy tính tổng 25 số hạng đầu tiên của CSN đó biết 1 3

2 2

1 3

3 5







2 1

2

u







CSN

1 3

49

35

  



1

u