Điều kiện xác định của phương trình - Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu thì điều kiện xác định ĐKXĐ của phương trình là cho mẫu thức khác 0 hoặc các mẫu thức đều khác 0.. ĐKXĐ của phươn
Trang 1CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Vấn đề 1 Điều kiện xác định của phương trình
- Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu thì điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là cho mẫu thức khác 0 (hoặc các mẫu thức đều khác 0).
ĐKXĐ của phương trình có chứa ( ) là
( )
P x
Q x Q x( )¹ 0
- Đối với phương trình có chứa ẩn trong căn bậc hai thì ĐKXĐ của phương trình là biểu thức trong căn bậc hai lớn hơn hoặc bằng 0.
ĐKXĐ của phương trình có chứa P x( ) là P x( )³ 0
- Đối với phương trình có chứa ẩn trong căn bậc hai ở dưới mẫu thì ĐKXĐ của phương trình là biểu thức đó lớn hơn không.
ĐKXĐ của phương trình có chứa ( ) là
( )
P x
Q x Q x( )> 0
- Ngoài ra trong một phương trình có thể kết hợp vừa chứa ẩn ở mẫu vừa chứa ẩn trong căn bậc hai, khi đó ĐKXĐ của phương trình là sự kết hợp của các điều kiện đã nêu ở trên.
Bài tập áp dụng
Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
x
x
x
+
5
x
-Vấn đề 2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp cơ bản giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Tìm điều kiện xác của phương trình.
- Quy đồng mẫu thức và khử mẫu đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai.
- Giải phương trình tìm giá trị của x
- Đối chiếu với điều kiện ban đầu để nhận, loại giá trị của Kết luận nghiệm của phương trình.x
Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau:
2
2 10 2
x
+
-= +
4
+
Trang 2-2) 2 2 2 5)
1
x x
x
Vấn đề 3 Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
- Phương trình dạng:
B 02
ìï ³ ïï
ï = ïïỵ
- Phương trình dạng:
A 0 ( hoặc B 0)
ï
ï = ïỵ
- Phương trình dạng:
A + B = C
+ Đặt điều kiện;
+ Bình phương cả hai vế đưa về dạng phương trình ở trên.
- Ngồi ra ta cĩ thể đặt ẩn phụ để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai Lưu ý khi đặt
ẩn phụ phải kèm theo điều kiện của ẩn phụ (điều kiện của ẩn phụ là lớn hơn hoặc bằng 0).
- Các hằng đẳng thức cần nhớ:
(a+ b)2 = a2+ 2ab+ b2
(a- b)2 = a2- 2ab+ b2
a2- b2 = (a- b a)( + b)
Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau:
3) x2 + x- 12= 8- x 10) 3x2+ 5x+ 8- 3x2 + 5x+ 1= 1
4) 3x2- 9x+ 1= x- 2 11) 2x2 + 5x+ 2- 2 2x2 + 5x- 6 = 1
5) x2 + 2x + 4= 2- x 12) x2+ 2 x2- 3x+ 11= 3x+ 4
6) x2 + 6x+ 9= 2x- 1 13) 2x- x2 + 6x2- 12x+ 7 = 0
7) 2x+ 1= 2+ x- 3 14) x+ 3+ 6- x = 3+ (x+ 3)(6- x)
Vấn đề 4 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
- Phương trình dạng:
Trang 3
0 B
ìï ³ ïï
ï é =
= Û í ê
ïï ê =
-ï ê
ï ë î
- Phương trình dạng:
A B
é = ê
-ê
* Chú ý: Ta có thể giải các phương trình này bằng định nghĩa của giá trị tuyệt đối.
Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau:
2) 2x+ 3 = 3+ 2x 6) x2- 2x = x2- 5x+ 6
3) x2- 4x- 5 = 4x- 17 7) x + x+ 1= 3x- 6
4) 4x- 17 = x2- 4x- 5 8) 2x+ 2- x- 1+ x = 0
Vấn đề 5 Phương trình trùng phương
- Dạng: 4 2
ax + bx + c = a¹
- Cách giải: Đặt ẩn phụ t = x2 (t ³ 0) đưa phương trình đã cho về dạng at2 + bt + c = 0.
Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau:
1) x4 - 3x2- 4= 0 4) 3x4 + 5x2- 2= 0
2) x4 - 5x2 + 4= 0 5) x4 + x2- 30= 0
3) x4 + 5x2 + 6= 0 6) x4 + 7x2- 8= 0
Vấn đề 6 Phương trình bậc hai - Định lý Viet
Phương trình bậc hai ax2+ bx+ c= 0(a ¹ 0) (* ) có D = b2- 4ac
- Nếu D > 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
2
b x
a
=
- Nếu D = 0 thì phương trình (*) có nghiệm kép
2
b x
a
=
Nếu D < 0 thì phương trình (*) vô nghiệm.
Định lý Viet
Trang 4Hai số x x1, 2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2+ bx+ c= 0(a ¹ 0) khi và chỉ khi chúng
thoả mãn các hệ thức 1 2
1 2
b
a c
P x x
a
ìï
-ïïï í
ïïïî
Các trường hợp về dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai ax2+ bx+ c= 0(a ¹ 0) (* )
(*) có hai nghiệm trái dấu Û P < 0
(*) có hai nghiệm cùng dấu 0
0 P
ìï D ³ ï
Û í
ï >
ïî
(*) có hai nghiệm dương
0 0 0
P S
ìï D ³ ïï ï
Û í >
ïï >
ïïî
(*) có hai nghiệm âm
0 0 0
P S
ìï D ³ ïï ï
Û í >
ïï <
ïïî
Biểu thức đối xứng của nghiệm số của phương trình bậc hai
x12+ x22 = (x1+ x2)2- 2x x1 2 = S2- 2P
x13x23 (x1x2) ( x1x2)23x x1 2 S S( 2 3 )P
x x P
2
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho phương trình (m 1)x2 2(m 1)x m 2 0 (1) Xác định để:m
a) (1) có nghiệm
b) (1) có một nghiệm bằng Tính nghiệm còn lại.2
c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2
Bài 2. Cho phương trình x2 2(2m 1)x 3 4m 0 (2)
a) Tính theo m, biểu thức A x13 x23
b) Tìm m để (2) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia
Bài 3. Cho phương trình x2 2(m 1)x m2 3m 0 (3)
a) Tìm m để (3) có nghiệm x 0 Tính nghiệm còn lại
b) Tìm m để (3) có hai nghiệm x x1, 2
Trang 5Bài 4. Cho phương trình mx2(2m 3)x m 4 0 (4)
a) Tìm m để (4) có hai nghiệm x x1, 2
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x x1, 2 không phụ thuộc vào m
Bài 5. Cho phương trình mx2(2m1)xm 2 0 (5) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x x1, 2 của (5) không phụ thuộc vào tham số m
Bài 6. Cho phương trình x2 2mx 1 0
a) Chứng minh phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình trên Tìm để m x12 x22x x1 2 7
Bài 7. Tìm m để phương trình x2 (4m1)x 2(m 4) 0 có hai nghiệm x x1, 2 thoả x1x2 17
Bài 8. Tìm m để phương trình (m 1)x22(m2)x m 3 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thoả mãn (4x11)(4x21) 18
Bài 9. Cho phương trình x22(m1)xm 3 0 Tính giá trị nhỏ nhất của 2 2 (với
P x x x x1, 2
là nghiệm của phương trình đã cho)
Bài 10 Xác định để phương trình m x2 2(m 1)x m2 0
a) Có hai nghiệm dương phân biệt
b) Có hai nghiệm âm phân biêt
Bài 11. Tìm các giá trị của để phương trình m 3x2 4x 2(m1) 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2
Bài 12. Tìm các giá trị của để phương trình m x2 mx 1 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2
Vấn đề 7 Hệ phương trình
- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 1 1 1 giải bằng phương pháp thế hoặc phương pháp
a x b y c
a x b y c
cộng đại số (đã học ở lớp 9)
- Ta thể dùng các ẩn phụ để đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình mới đơn giản để giải (lưu ý các phương trình của hệ ban đầu phải xác định).
- Đối với hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất, một phương trình bậc hai thì cách giải thông dụng nhất là dùng phương pháp thế Tức là chọn phương trình bậc nhất biểu diễn ẩn này qua ẩn còn lại rồi tiến hành thế vào phương trình bậc hai.
- Đối với hệ phương trình đối xứng loại I, ta sử dụng cách đặt S x y để đưa hệ phương trình đã
P xy
cho về hệ phương trình với các ẩn là và S P
Bài tập áp dụng
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
Trang 6a) b)
18
51
x y
x y
1
2
c)
7
1
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
x y
x y
xy x y
x xy
x y
x y
x y
x y
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
7
x y xy
7
8
2
xy x y