Đề thi bồi dưởng học sinh giỏi giải truyền thống 194 môn toán đề thi số 1 thời gian làm bài : 150 phút51530

Tia phân giác của góc BAD cắt BC tại M và cắt DC tại N.Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác NCN a Chứng minh rằng : DN = BC và CK vuông góc MN.. b Chứng minh rằng BKCD là một

Trang 1

ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4

MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 1

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 : ( 2 đ )

Cho phương trình ( có ẩn số là x )

4x 2 + 2 (3- 2m)x +-3m +2 = 0

a) Chứng tỏ rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m b) Tìm m để có tích của hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 2 : ( 2 điểm).

Giải các phương trình và các hệ phương trình :

x 2 + y 2 =2 (xy + 2)

x + y = 6

) 5 (

25 2



x

x x

Câu 3 : (2 điểm )

a) Cho a> c , b> c , c > 0 Chứng minh :

ab c

b c c

a

c(  )  (  ) 

b) Cho a> 0 , b> 0 Chứng minh :

ab

b a

ab



 2

Câu 4: (1 điểm)

Tìm số chính phương có 4 chử số biết rằng khi tăng thêm mỗi chử số một đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương

Câu 5 : ( 1,5 điểm )

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R ), gócC bằng 45 0 , Đường tròn đường kính AB cắt các cạnh AC và BC lần lượt tại M và N

a) Chứng minh MN vuông góc với OC

b) Chứng minh :

2

AB

MN 

Câu 6 : ( 1,5 điểm).

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn ( O;R) Điểm M lưu động trên cung nhỏ BC Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC.

(H thuộc đường thẳng AB , K thuộc đường thẳng AC )

a)Chứng minh 2 tam giác MBC và MHK đồng dạng với nhau

b) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất

Trang 2

HUỲNH ĐÌNH TÁM

Câu 1: ( 4 điểm)

a)Định m để hai phương trình

x 2 + x + m = 0 và x 2 + mx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm chung

b)Cho a , b , c , là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phương trình :

b 2 x 2 + ( b 2 + c 2 –a 2 ) x + c 2 = 0 vô nghiệm

Câu 2: (4 điểm )

Giải phương trình và hệ phương trình :

a) x 3 -y 3 = 3( x- y)

x + y = -1

2 3

13 2

5

3

2



x x

x

Câu 3: (4 điểm)

a) Chứng minh 2(a 4 + b 4 ) 3 3 2 2 với mọi a , b .

2 b a ab

ab  



b) Chứng minh a2 b2  abb2 a với a>b>0

2

Câu 4 : ( 2 điểm )

Tìm các số nguyên dương có 2 chữ số, biết số đó là bội của tích 2 chữ số của chính số đó

Câu 5 : ( 4 điểm )

Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, AB< AD Tia phân giác của góc BAD cắt BC tại M và cắt DC tại N.Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác NCN

a) Chứng minh rằng : DN = BC và CK vuông góc MN

b) Chứng minh rằng BKCD là một tứ giác nội tiếp

Câu 6 : ( 2 điểm )

Cho tam giác ABC có góc A = 2 góc B Chứng minh rằng :

BC 2 = AC 2 + AB AC

Trang 3

(Thời gian làm bài : 150 phút )

Câu 1 :

a) Rút gọn biểu thức sau :

2

15 8 2

15



A

b) Giải phương trình :

x 5  3 x  4

Câu 2:

Chứng minh rằng ( n3 + 17 n ) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n

Câu 3 :

Giả sử x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình x m, trong đ01 m là tham

x

x x







3 1

4 2

số Tìm m để biểu thức |x1 - x2 | đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4 :

Cho hình vuông ABCD Hai điểm I, J lần lượt thuộc hai cạnh BC và CD sao cho góc IAJ = 450 Đường chéo BD cắt AI và AJ theo tương ứng tại H và K Tính tỉ số

IJ

HK

Câu 5 :

Cho 2 đường tròn (O1;R1) ; (O2;R2) có R1>R2 tiếp xúc ngoài với nhau tại A Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O1;R1) tại M và cắt đường tròn (O2;R2) tại N ( Các đểm M, N khác A )

a) Xác định vị trí của đường thẳng d để đoạn thẳng MN lớn nhất

b) Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi đường thẳng MN khi đường thẳng d quay quanh điểm A

Trang 4

HUỲNH ĐÌNH TÁM

(Thời gian làm bài : 150 phút )

Câu 1:

a) Tìm chữ số tận cùng của số (19 6 )2005

b) Tìm tất cả các số tụ nhiên n sao cho n2 -14n -256 là số chính phương

Câu 2:

Giải hệ phương trình :

2 1









x y

y x

Câu 3 :

Tìm các số nguyên a,b, c thoả mãn

a2 + b2 c2 +2 < ab +3b +2c

Câu 4 :

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a (a > 0 ) và một điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

a) Chứng minh rằng nếu M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA + MB + MC

Câu 5 :

Cho hình vuông ABCD có AB = 14 cm

Trong hình vuông có đánh dấu 76 điểm phân biệt Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn có bán kính 2 cm chứa trong nó ít nhất 4 điểm trong các số điểm trên

Trang 5

( Thời gian làm bài : 150 phút )

Câu 1 : Giải hệ phương trình

2

3 2

2  





y x

xy y x

Câu 2 :

Giải phương trình

x 4 x 3  2 3  2x  11

Câu 3 :

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 + 17y2 +34xy + 51 ( x + y ) = 1740

Câu 4

Cho 2 đường tròn (O) , (O’) nằm ngoài nhau có tâm tương ứng là O và O’ Một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc với (O) tại A và (O’) tại B Một tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn cắt AB tại I , tiếp xúc với (O) tại C và (O’) tại D Biết rằng C nằm giữa I và D

a) hai đường thẳng OC , O’B cắt nhau tại M Chứng minh rằng OM > O’M b) Kí hiệu (S) là đường tròn điqua A,C, B và (S’) là đường tròn đi qua A,D,B Đường thẳng CD cắt (S) tại E khác C và cắt ( S’) tại F khác D Chứng minh AF vuông góc với BE

Câu 5

Giả sử x,y, z là các số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện

xy2z2 + x2z + y = 3 z2

Trang 6

HUỲNH ĐÌNH TÁM

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

) (

4

y x z

z P





Câu 1:

Giải phương trình :

2 x 2 x 4 x2  2

Câu 2 :

Giải hệ phương trình :

x3 + y3 –xy2 = 1

4x4 + y4 = 4x + y

Câu 3 :

Giả sử x ,y là những số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện x2 + y2 =1

a) Chứng minh rằng 1 ≤ x+ y ≤ 2

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

P 1  2x 1  2y

Câu 4 :

Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC

a) Giả sử góc BPC = 135 0 Chưng minh rằng 2PB2 + PC2 = PA2

b) Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và BA tương ứng tại các điểm

M và N Gọi Q là điểm đối xứng của với B qua trung điểm của đoạn MN Chứng minh khi P thay đổi trong tam giác ABC, đường thẳng PQ lu ôn đi qua D

Câu 5 :

Trang 7

a) Cho đa giác đều ( H) có 14 đỉnh Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kỳ của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của một hình thang

b) Có bao nhiêu phân số tối giản lớn hơn 1 ( m ,n là các số nguyên dương )

n m

thoả mãn m.n = 13860

Bài 1 ( 3 điểm )

1) Thực hiện phép tính :

111

999 6

2 ) 3 2

2) Cho biểu thức

x

x x

x

A







4

2 2

1 2

1

Với x≥ 0 vàx ≠ 4

Rút gọn biêủ thức A và tìm giá trị của x để A =

4 1

3) Giải phương trình và hệ phương trình sau :

a) x 2 -9x + 2 = 0

b)

1 9 4

11 6 2









y x

Bài 2 (3 điểm )

1) Tìm các giá trị của m để hàm số y = (2m +1 ) x +3 nghịch biến và đồ thị của nó đi qua điểm( 1; 2)

2) Tìm m để hệ phương trình

2 2 4

2

2 







y m x

m y x

Có nghiệm duy nhất

Trang 8

HUỲNH ĐÌNH TÁM 3) Cho phương trình x 2 –(2m + 1 ) x +m 2 + m – 6 = 0

a) Tìm các nghiệm của phương trình theo m

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm đều âm

Bài 3 : ( 3 điểm )

Cho M là 1 điểm bất kỳ trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R ( M không trùng với

A, B ) Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đường tròn đó Đường thẳng AM cắt By tại C và đường thẳng BM cắt tại D Chứng minh :

a) Tứ giác AOMN nội tiếp được trong đường tròn

b) Tam giác NOP là tam giác vuông

c) Các điểm N va P lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AD và BC

Bài 4 ( 1 điểm )

Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là đường phân giác của góc A Cho biết AB = c , AC = bvà AD = d

Chứng minh :

c b d

1 1 2





Bài 1 (1,5 điểm ) Cho biểu thức :

a

a ab a

b A

2





1) Tìm điều kiện đối với a,b để biểu thức A được xác định

2) Rút gọn biểu thức A

Bài 2 (2 điểm )

1) Giải hệ phương trình:

1 3

1 3 2

2









y x

2) Giải bất phương trình :

x +|x -1| > 5

Bài 3 (1,5 điểm) Chưng minh rằng , nếu phương trình :

x2 + 2mx + n = 0 (1)

có nghiệm, thì phương trình :

Trang 9

2 2 (  1)  (  1)2  0 (2)

k k n mx k k x

Cũng có nghiệm (m,n,k là các tham số: k ≠ 0 )

Bài 4 (1,5 điểm ) Cho hàm số y ax + b có đồ thị (D) và hàm số y = k x2 có đồ thị là (p)

a) Tìm a , b biết rằng (D ) đi qua A (-1 ;3) và B ( 2 ; 0 )

b) Tìm k ≠ 0 sao cho (p) tiếp xúc với đường thẳng (D) vừa tìm được Viết phương trình của ( P)

Bài 5 ( 3,5 điểm ).

Cho tam giác ABC không cân có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O Đường cao AI và BE cắt nhau tại H

a) Chứng minh : góc CHI = góc CBA

b) Chứng minh : EI C O 

c) Co góc ACB = 600 Chứng minh : CH = CO

Câu 1.

Giải hệ phương trình :

x2 –xy + y2 = 19

x4 + x2y2 + y4 = 931

Câu 2

Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm :

(x 2 ) x 1  2x 1

Câu 3.

Chứng minh rằng :

Trang 10

HUỲNH ĐÌNH TÁM

3 ) 2 2 3 2 2 3

Câu 4

1) Chứng minh rằng số n =(186)2004 có tính chất là tồn tại 2 số nguyên dương p và

q thoả mãn điều kiện :

0< p <q <n

(p + (p+1) + (p+2) +… +q ) chia hết cho n

2) Số n = ( 166)2004 có tính chất nói trên hay không ?

Câu 5

Cho tam giác ABC có góc ABC = 400 và điểm P trong tam giác ABC sao cho góc PAC = 100 , góc PCA = 200 , góc PAP = 300 Giả sử Q là điểm đối xứng với điểm P qua đường trung trực của đoạn AB

1) Tam giác CPQ là tam giác gì ?

2) Tính góc CPB

MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 1O

Câu 1

Cho x,y,z là 3 số dương thay đổi luôn thoả mãn điều kiện : x+ y+ z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

z y x

P 1  1  1

Câu 2 Tìm tất cả các bộ ba số dương ( x, y, z ) thoả mãn hệ phương trình :

2x2004 = y6 + z6

2y2004 = z6 + x6

2z2004 = x6 + y6

Câu 3 Giải phương trình

Trang 11

3 1

) 2 3 )(

1 3 (

) 2 )(

1 ( 4 ) 3 2 )(

2 1 (

) 3 )(

1 ( 3 ) 3 1 )(

2 1 (

) 3 )(

2 ( 2















x x

x

Câu 4

Mỗi bộ ba số nguyên dương ( x,y,z ) thoả mãn phương trình :

x2 + y2 + z2 = 3 xyz

được gọi là một nghiệm nguyên dương của phương trình này

1) Hãy chỉ ra 4 nghiệm nguyên dương khác của phương trình đã cho

2) Chứng minh rằng phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dương

Câu 5

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (C ) Một đường thẳng ( ) thay đổi 

nhưng luôn đi qua A cắt 2 tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (C ) tương ứng tại

M và N Giả sử ( ) cắt lại đường tròn ( C ) tại E ( E ≠ A ) MC cắt BN tại F 

Chứng minh rằng :

1) Tam giác CAN đồng dạng với tam giác MBA Tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN

2) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp

3) Đường thẳng EF luôn đ qua một điểm cố định ( Khi ( ) thay đổi nhung luôn 

đi qua A )

Bài 1 ( 2 đ )

Rút gọn biểu thức sau :

Với m ≥ 0 , n ≥ 0 và m ≠ n

n m

mn n

m n m

n

m

P





)

1

b a

b a ab

ab b

a

Q





2

Bài 2 ( 1đ)

Giải phương trình :

2 2

6 x x 

Bài 3 ( 3 đ )

Cho các đường thẳng : ( d1) : y = 2x+ 2 ; (d2 ) : y = - x + 2 ;

( d3) :y =mx ( m là tham số )

Trang 12

HUỲNH ĐÌNH TÁM

1) Tìm toạ độ các giao điểm A, B , C theo thứ tự của ( d1) với ( d2) ; ( d1) với trục hoành và ( d2) với trục hoành

2Tìm tất cả các giá trị của m sao cho ( d3) cắt cả 2 đường thẳng ( d1), ( d2 ) 3) Tìm tấ cả các giá trị của m sao cho ( d3 ) cắt cả AB và AC

Bài 4 ( 3 đ )

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( O ) và D là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A trên tia AD ta lấy điểm E sao cho AE = DC

1) Chứng minh tam giác ABE = tam giác CBD2

2) Xác định vị trí của D sao cho tổng DA + DB lớn nhất

Bài 5 ( 1 đ )

Tìm x , y dương thoả mản hệ

5

1 (

8

1 ) 4





xy y x

y x

Bài 1: ( 2 đ)

1) Chứng minh rằng với mọi x thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 5 , ta có :

5 x  x 1  2

2) Giải phương trình :

5 x x 1  x2  2x 1

Bài 2 ( 2 đ)

Cho x, y,z là các số dương thoả mãn

xy + yz + xz = 1

1) Chứng minh rằng : 1 + x2 = (x+ y) ( x +z)

2) Tính giá trị biểu thức :

Trang 13

2 2 2 2 2 2 2 2

1

) 1 )(

1 ( 1

) 1 )(

1 ( 1

) 1 )(

1

(

.

z

y x

z y

x z

y x

z y

x

P

y





Bài 3( 3 đ ) Cho hai đường tròn (O ) và (O’) cắt nhau tại A và B sao cho hai tâm

O và O’ nằm về hai phía khác nhau đối đường AB Đường thẳng (d) quay quanh

B , cắt các đường tròn (O) lần lượt tại C và D ( C khácA,B và D khác A,B) 1) Chứng minh rằng số đo các góc ACD , ADC và CAD không đổi

2) Xác định vị trí của (d) sao cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất

3) Các điểm M ,N ần lượt chạy trên (O ) , ngược chiều nhau sao cho các góc MOA, NO’A bằng nhau Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng

MN luôn đi qua một điểm cố định

Bài 4 ( 2 đ)

Tìm a , b để hệ sau có nghiệm duy nhất :

xyz +z = a

xy z2 + z = b

x2 + y2 + z2 = 4

Bài 5 ( 1 đ) Cho ba số a , b , c thoả mãn :

0 ≤ a ≤ 2 ; 0 ≤ b ≤ 2 0 ≤ c ≤ 2 và a+ b + c = 3

Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 ≤ 9

Bài 1 ( 2 đ )

Cho biểu thức :

2

2 2

1 1

1





































x x

x

P

1) Rút gọn P

2) Tìm x để  2

x P

Trang 14

HUỲNH ĐÌNH TÁM

Bài 2 ( 2 đ )

Cho phương trình:

x2 – ( m – 2) x – m2 + 3m -4 = 0 ( m là tham số )

1) Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giátrị của m 2) Tìm m để tỉ số giữa hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2

Bài 3 ( 2 đ )

Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình :

2kx + (k – 1) y = 2 ( k là tham số )

1)Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x 3

Khi đó hãy tính góc tạo bởi đường thẳng (d) với tia Ox

2)Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất

Bài 4 ( 4 đ )

Cho góc vuông xOy và 2 điểm A , B tên cạnh Ox ( A nằm giữa O và B ) , điểm

M bất kỳ trên cạnh Oy Đường tròn ( T ) đường kính AB cắt tia MA , MB lần lượt tại điểm thứ hai là F

1) Chứng minh 4 điểm O,A ,E ,M nằm trên một đường tròn, xác định tâm của đường tròn đó

2) Tứ giác OCFM là hình gì ? Tại sao ?

3) Chứng minh hệ thức : OE.OF +BE BM = OB2

4) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác OCFM là hình bình hành , tìm mối quan hệ giữa OA và AB để tứ giác là hình thoi

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	143,03 KB