Đề kiểm tra tổng hợp đại số lớp 10
Thang điểm :20
thời gian làm bài :90 phút
Bài 1 : (5Đ )
A/ Gỉai các bất phương trình sau :
1/ 2/
1
2
x
B/ Giải và biện luận các bất phương trình ( m là tham số ) 1/ m mx ( 1) x 1 2/( )( 1) 0
2
x m x m
Bài 2 : ( 8Đ ) Gỉai các phương trình và bất phương trình : 1/ x 2 10 x 3 x 2
2/ x2 2 x 6 2 x 3
3/
6
4/ x 4 x 4 x 3 16 x 16 x 4
5/ x 2 x 3 x 3 3 x 2
Bài 3 :(3Đ) Gỉai các hệ bất phương trình sau :
1/ 2/
6
2 2
Bài 4 : /(3Đ) Định m để bất phương trình :mx2- (m-6)x+2m ≥0 1/ Có nghiệm 2 Có nghiệm là 1 đoạn có độ dài là 1 Bài 5 :(3Đ) Cho hệ bất phương trình :
2 2
Trang 21/ Gỉai hệ với m=4
2/ Định m để hệ đã cho vô nghiệm
Bài 6 : (1Đ )Tìm m để BPT : 2 x 1 x m có nghiệm
ĐÁP ÁN
Câu 1
1
(2 7)( 1) ( 5)( 1)
0 ( 1)( 1)
0 ( 1)( 1)
2
12
0 ( 1)( 1)
x x
( 4)( 3) 0 Đặt f (x) =
( 1)( 1)
( 4)( 3) ( 1)( 1)
F(x) =0 => x-4=0 x=4 x+3=0 x= -3
x-1=0 x=1 x+1=0 x=-1
- -3 -1 1 4 +
x-4 - - - - 0 +
x+3 - 0 + + + +
x-1 - - - 0 + +
x+1 - - 0 + + +
F(x) + 0 - | | + | | - 0 +
Tập nghiệm S =[ 3;1} {1; 4]
2
2 1
3 2
x
Gỉai BPT :
2
2 1
3 2
x
2 2( 2 ) 3
0 2( 3)
x
(2 1)( 3)
0 3
x
Trang 3Đặt f(x) =(2 1)( 3)
3
x
F(x) =0 =>2x+1 = 0 x= 1 x-3=0 x=3
2
X+3 =0 x= -3
- -3 1 3 +
2
2x-1 - - 0 + +
x+3 - 0 + + +
x-3 - - - 0 +
F(x) - | | + 0 - 0 +
Tập nghiệm 1
1 { 3; ] [3; }
2
S
Gỉai bất phương trình :
2
3 2
x
2 2( 2 ) 3
0 2( 3)
x
Dễ thấy rằng : 2x 2 -3x+3 >0 với mọi x vậy BPT tương đương với X+3<0 x <-3 Vậy tập nghiệm S2 { ; 3}
Tập nghiệm bất phương trình : 1 2
1 { ; ] [3; } \ 3
2
Câu 2 :
1/ m (mx-1) >x+1 x (m 2 -1) > m+1
TH1 : nêu m 2 -1= 0 m=1 và m= -1
*Với m=1 ,BPT trở thành 0x> 2 ( vô nghiệm )
*Với m= -1,BPT trở thành 0x>0 ( vô nghiệm )
TH2 : Nếu m 2 -1>0 m>1 và m < -1
BPT có nghiệm 2
1 1
m x
TH3 : nếu m 2 -1 < 0 -1<m< 1
BPT có nghiệm 2
1 1
m x
Kết luận m = 1, S { }
Trang 4m>1 và m < -1 ,S= 1
{ ; } 1
-1<m<1 ,S = 1
{ ; }
1
m
2/ ( )( 1)
0 2
m
Nếu m =2 thì BPT đã cho không xác định
Nếu m >2 thì BPT đã cho tương đương với (x-m)(x-1) >0
x x1mx x1m Vì m > 2 nên BPT có nghiệm x >m và x <1
Nếu m <2 thì BPT đã cho tương dương với (x-m)(x-1) <0
*Nếu m=1 thì BPT trở thành x x11x x11 ( vô nghiệm )
*Nếu m <1 thì (1) có nghiệm m< x <1 (2) vô nghiệm
* Nếu 1<m<2 thì (1) vô nghiệm , (2) có nghiệm 1 <x <m
Kết luận m <1 ,S = { ;1} m m=2 ,BPT không xác định
m =1 ,S = { } m>2 ,S={ ;1} { ; m }
1 <m<2 ,S= {1;m}
Bài 3 :
1/ x 2 10 x 3 x 2
ĐK :
3
x
x
PT đã cho tương đương với : ( x 2 10 x )2 ( 3 x 2)2
x-2 +10-x + 2 ( x 2)(10 x ) =3x-2 <=>
(1)
2
2 12 x x 20 3 x 10
Trang 5ĐK : 3x -10 ≥0 x ≥ Kết hợp ta có ĐK của x là 10
3
10
10 3
x
Ta có : (1) 4 ( 12x –x 2 -20 ) = (3x-10 ) 2 48x- 4x 2 -80=9x 2 -60x+100
13x 2 -108x+180=0 Đối chiếu với ĐK nhận x=6
6 30 13
x x
2/ x2 2 x 6 2 x 3 (1)
Để ý rằng : x 2 -2x +6 >0 với mọi x nên (1)
2 3 0
2 3 0
2 6 (2 3)
x
x
3 2 3 2
2 6 4 12 9
x
x
2
3
2
3
2
3 10 3 0
x
x
3 2 3 2 1
3 3
x
x
x
3 2 3
3 2
x
x
3/ 2 6 25 50
| 3 | | 3 |
| 3 | | 3 |
Đặt t = 2 ( t≥0) ,BPT trở thành t 2 -5t+6≤0 2≤t≤3
| 3 |
x
x
Gỉai BPT : |x x23 | ≥ 2
Trang 6
3 0
2
0 3
2
4 3
3 0
2
0 3
2
4 3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2 4 12
0 3
3
2 12 4
0 3
x
x
x x
x
3
3 14
0 3
5 10
0 3
x x x x x x
2 ≤x<3
3
14 3
3
x
x
x
x
Gỉai BPT : 2 ≤3
| 3 |
x x
3 0
2
0 3
2
9 3
3 0
2
0 3
2
9 3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2 9 27
0 3
3
2 27 9
0 3
x
x
x x
x
3
8 29
0 3
10 25
0 3
x x x x x x
Trang 7
3
29 3
8
5
3 2
x
x
29 8 5
3 2
x
x
Tập nghiệm BPT : S=
29 5
3
8 2
x
5
3 2
x
4/ x 4 x 4 x 3 16 x 16 x 4
( x 1 1)2 ( x 1 2)2 x 4
| x 1 1| | x 1 2 | x 4 (1)
(1) 1 x 1 2 x 1 x 4 2 x 1 7 x
ĐK : 7-x ≤0 x≤ 7 ĐK chung nghiệm x : 1≤x<2
4 (x-1)=(7-x) 2 4x-4=49-14x+x 2 x 2 -18x+53=0
2 x 1 8 x
9 23 ( cả 2 nghiệm đều loại )
9 23
x
x
TH2 : Nếu 1 x 1 2 1≤x<5
1 1
x x x x
1 1 5
x x x
(1) x 1 1 2 x 1 x 4 x-4 =1 x=5 ( nhận ) TH3 : Nếu x 1 2 1 0 1 x≥4
Trang 8(1) x 1 1 x 1 2 x 4 2 x 1 x 1
ĐK :x-1≥0 x≥1 kết hợp với ĐK trên ta có : x≥4
2 x 1 x 1 4(x-1) =(x-1) 2 4x-4=x 2 -2x+1 x 2 -6x+5=0
Đối chiếu với ĐK nhận x=5
1
5
x
x
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất x=5
5/ x 2 x 3 x 3 3 x 2
Gỉai (1) x 2 x 3 0 x 3 2 x
2
3 0
3 0
3 (2 )
x
x
x
x
3 2 3 2
3 4 4
x x
x x
2
2
5 7 0
x
x
x >2
Gỉai (2)x 3 3 x 2 0 3 x 2 3 x
2
3 2 0
3 2 0
3 2 (3 )
x
x
x
x
2 3 3 2 3 3
3 2 9 6
x
x
x
x
2
3 2
3
9 11 0
x
x x
Trang 9
3
2
3 3
x
x
x
3
9 37
3 2
x
x
9 37 2
x
Gỉai (3)x 2 x 3 x 3 3 x 2 1 x 3 3 x 2
2
3 0
3 2 0
(1 3) 3 2
x
x
3 2 3
x x
2
3
x
2 3
2 6 0
x x
2
2 3 3
3 ( 3)
x
x
3
x
3
7 12 0
x
3
x x
Vậy tập nghiệm BPT là 3≤x≤4
2
9 37 2
x
x x
Bài 3 :
| 3 | | 2 | 3
6
Gỉai BPT : |x-3|+|x-2|≥3
*Nếu x<2 thì BPT trở thành 3-x +2-x ≥3 2x≤ 2 x≤1
Đối chiếu với ĐK ta nhận x≤1
*Nếu 2≤x< 3 thì BPT trở thành 3-x +x-2 ≥3 1≥3 ( vô nghiệm )
*Nếu x>3 thì BPT trở thành x-3+x-2>3 2x>8 x>4
Đối chiếu với ĐK ta nhận x>4
Vậy BPT này có nghiệm x≤1 và x>4
Trang 10Gỉai BPT : 3 2 5(x+3)+ 2(x-2) >60
6
5x+15+2x-4 >60 7x>49 x>7
Vậy nghiệm của hệ BPT là : x >7
7
x
2 2
( 1)( 4 3) 0
6 5 0
2 ( 1) ( 3) 0
x=1 và x≥5
2
( 1) 0
3 0
x
x
Bài 4 :mx 2 - (m-6)x+2m≥0
1/Để BPT có nghiệm ta tìm các giá trị của m để BPT vô nghiệm và lấy phần bù của m
Để BPT vô nghiệm => mx 2 - (m-6)x+2m<0
0
0
m
0 ( 6) 4 .2 0
m
0
12 36 8 0
m
0
7 12 36 0
m
0
6 72 7 6 72 7
m
m< 6 72 7 .Vậy để BPT có nghiệm thì x≥
7
7
2/ Để bất phương trình có nghiệm là 1 đoạn có độ dài là 1 thì
Đặt f(x) = mx 2 - (m-6)x+2m có 2 nghiệm và và nghiệm nằm giữa x1
2
x
và
1
x
2
x
Theo yêu cầu bài toán : 1 2
0
0
m
x x
2
1 2 2
0
7 12 36 0
m
x x
Trang 11
2
0
6 72 7 6 72 7
m
x
2
6 72 7
0 7
4 1
x
6 72 7
0 7
6
9
x
m
m
6 72 7
0 7
x
6 72 7
0 7
x
0 7
3 3
2
x
3 2
Bài 4 :
2 2
1/Với m=4 hệ BPT trở thành :
2 2
x x
2
2
5 3 9 5
x
x
2 9 3 5 3 5
x x x
2/
Xét m-1 =0 m=1 hệ BPT trở thành : ( hệ này có nghiệm)
2 2
x
x
Vậy không nhận m=1
Xét m +1=0 m=-1 hệ BPT trở thành: ( hệ vô nghiệm )
2 2
x
x
Vậy nhận giá trị m= -1
Để hệ BPT vô nghiệm thì 1 trong 2 BPT vô nghiệm
*BPT (m-1)x 2 ≥ m+1 vô nghiệm
Nếu m-1 >0 thì BPT luôn có nghiệm
Trang 12Vậy ĐK là : -1<m<1
1 0 1 0 1
m m m
1
m m
*BPT : (m+1)x 2 ≥m+5 vô nghiệm
ĐK :
1 0
1
5
0 1
m
m
m m
m m
Xét trường hợp m+1 và m-1 cùng dương thì BPT luôn có nghiệm Nếu m+1 và m-1 cùng âm thì hệ BPT trở thành
2
2
1 1 5 1
m x m m x m
Nếu 1 hoặc âm thì đã xét ở trường hợp trên
1
m
m
5 1
m m
Nếu cả 2 giá trị cùng dương thì hệ BPT luôn có nghiệm
*Xét trường hợp m+1 và m-1 trái dấu chỉ có 1 trường hợp-1<m<1 Khi đó hệ có nghiệm 5 2 1
x
Để hệ vô nghiệm thì 5 1
2 ( 5)( 1) ( 1)
0 ( 1)( 1)
0 ( 1)( 1)
3 6
0 ( 1)( 1)
m
Gỉai bất phương trình này được nghiệm là -1<m<1 và m>2
Hợp tất cả các giá trị của m ta được kết quả là -5<m<1 và m>2
Trang 13Bài 5 : 2 x 1 x m
2
2 1 0
0
2 1 0
0
x
x m
x
m x
1
2
1
2
x
x m
x
x m
1 (1) 2
1 2
(2)
x
x
Để BPT có nghiệm thì :
(1) hoặc (2) có nghiệm
Để (1) có nghiệm thì m> 1
2
Xét hệ
1 (1) 2 (2) (2 2) 1 0(3)
x
Nếu m= thì hệ trở thành :1 ( hệ có nghiệm )
1 2 3
4
x
Vậy nhận m= 1
2
Trang 14Nếu m< thì hệ trở thành 12
1 2 (2 2) 1 0
x
Xét BPT :x 2 -(2m+2)x+m 2 -1≤0
∆= (2m+2) 2 -4.1.(m 2 +1)=4m 2 +8m+4-4m 2 -4=8m
Để BPT có nghiệm thì ∆≥0
Nếu ∆ =0 => m=0 hệ BPT trở thành : (hệ có nghiệm)
2
1 2
2 1 0
x
Vậy nhận m=0
Nếu ∆>0 => m>0 và 0<m< thì BPT có 2 nghiệm 1
2
1
2
x
2
2
x
Vì 0<m<12 nên bất phương trình có nghiệm [ ; x1 x2]
Để hệ BPT có nghiệm thì 2 2 8 1
m m
2 m 2 8 m 1 8 m 1 2 m
Vì 0<m<1 => 1-2m≥0 như vậy BPT 8m ≥ (1-2m) 2
2
8m≥ 1-4m+4m 2 4m 2 -12m+1≤0 3 2 2 3 2 2
m
Kết hợp với ĐK : 0<m< ta có giá trị của m là12
3 2 2 1 3 2 2
0
Nếu m> thì hệ trở thành 1
Tương tự để hệ BPT có nghiệm =>2 2 8
2
m
Trang 152 m 2 8 m 2 m 0 2+ 8 m 0 ( luôn đúng ) Vậy nhận giá trị m>1
2
Hợp tất cả giá trị của m để BPT có nghiệm thì
3 2 2 1
0