Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB là AB2 = 4 AC... BD 1 thì CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB - Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng
Trang 1UBND HUYỆN THUỶ NGUYấN
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS LẬP LỄ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2014 - 2015
MễN THI: TOÁN 9
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 đ )Rỳt gọn biểu thức
a / A = 4 10 2 5 4 10 2 5
Bài 2: (1,5 đ )
a/Cho số thực x>2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2019
2
1 5
x x x
b/ Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 2 2
x y xy
Bài 3: (2 đ)
a/Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n sao cho số 2 8 + 2 11 + 2 n là số chớnh phương
b/Chứng minh rằng, n Z+ , ta cú : 1 1 1 1 2
2 3 2 4 3 (n 1) n
Bài 4: (1 đ )Trong mặt phẳng tọa độ O xy cho các điểm A (2;2), B (-2;1) và C(4;-3)
.Tìm phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC
Bài 5: (1,0 đ )Cho tam giỏc ABC, BC= a, AC=b, AB=c Chứng minh sinÂ
2
a
b c
Bài 6: ( 3,0 đ ) Trên đường thẳng d lấy hai điểm A, B trong cùng nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng d ta dựng hai tia A x , By cùng vuông góc với d và trên A x lấy một
điểm C , trên By lấy một điểm D
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB
là AB2 = 4 AC BD
Hết
Người ra đề
(Kớ tờn, đúng dấu)
Đinh Thị Thanh Mây
Kớ hiệu mó đề:
Trang 2UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS LẬP LỄ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 9
NĂM HỌC 2014 - 2015
1 a/ NhËn xÐt : A > 0
Ta cã
A2 = 4+ 10 2 5 + 2 4 10 2 5 4 10 2 5 +4 - 10 2 5
= 8 + 2 6 2 5 = 8 + 2 2 = 8 + 2 ( - 1) = 6 + 2
1
V× A > 0
Nªn : A = 6 2 5 = 2 = + 1 ( + 1 > 0 )
1
10 (n 1) n n n 1 n n 1
0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,75 ®
2 a / A = 2019 = x2 – 6x + 9 + x – 2 + + 2012
2
1 5
x x x
2
1
x
= ( x – 3 ) 2+ x – 2 + + 2012
2
1
x
Ta cã : ( x – 3 ) 2 0 víi mäi x thuéc R
x – 2 + 2 víi mäi x > 2
2
1
x
suy ra : A = ( x – 3 ) 2 + x – 2 + + 2012 2014
2
1
DÊu “ = “” x¶y ra khi vµ chØ khi x- 2 =
2
1
x
( x – 2 )2 = 1 x- 2 = 1 hoÆc x- 2 = -1
x= 3 tho¶ m·n x >2
hoÆc x= 1 kh«ng tho¶ m·n x >2
VËy : gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 2014 x= 3
b/Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
x y xy
Ta có:
x x y y y x x y x y
Từ (3) ta suy ra: (x-y) là ước của 5, hay x y 1; 5
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
Kí hiệu mã HDC:
Trang 3được cỏc nghiệm sau: (-1;1); (1;2); (3;-2); (-7;-2).
3 a/ Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n sao cho số 2 8 + 2 11 + 2 n là số chớnh
phương
Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thỡ
2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48)
2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n và p > q
a+48 = 2p 2p – 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3
a - 48 = 2q q = 5 và p-q = 2 p = 7
n = 5+7 = 12
Thử lại ta cú: 28 + 211 + 2n = 802
b/ Ta cú :
2
Vậy :
= 2 1 1 2 (Điều phải chứng minh )
n 1
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
0, 25 đ
0,5 đ 0,25 đ
4
Toạ độ trung điểm M của BC là ( 1; -1 )
Gọi phương trình đường trung tuyến AM có dạng : y = a x + b
- Vì đường trung tuyến AM đi qua A ( 2 ; 2 )
Nên ta có : 2 = 2 a + b ( 1 )
Vì đường trung tuyến AM đi qua M
- Nên ta có : - 1 = a + b ( 2)
- Từ (1) và ( 2 ) ta có hệ phương trình
4
3 1
2 2
b
a b
a
b a
Vậy : Phương trình đường trung tuyến AM là : y = 3x- 4
0.25 đ
0,5 đ 0,25 đ
Trang 4I
D
C A
Vẽ đường phõn giỏc AD của tam giỏc ABC
AB AC BD DC
AB AC BD DC CB a
AB AC AB AC b c
Vẽ BI AD BI BD
2
BI AB
2
BD
AB AC
 sin 2
a
b c
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25đ
Chứng minh hai mệnh đề :
a/ giả sử ta có AB2 = 4 AC BD (1) thì CD tiếp xúc với đường
tròn đường kính AB
- Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB
Từ O kẻ OI CD
Do OA = 1/2 AB nên (1) có thể viết
1 2
1 2
1 d
y x
D C
I
O B A
- AC BD = OA 2 AC : OA = OA : BD
AC : OA = OB : BD
Δ AOC ~ ΔBDO , Cho ta : O1 = C 1 ; O2 = D1
mà C1 = C2 , D1 = D2 COD = 900
- Trong tam giác vuông COD thì COI = D2
- Vậy O2 = COI
Suy ra : ΔCOI = ΔCAO OI = OA =OB
Vậy : điểm I nằm trên đường tròn đường kính AB
Hay: CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB
b/ Giả sử CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB thì hệ thức
AB 2= 4 AC BD được thỏa mãn
- Gọi I là tiếp điểm thì OI = AB / 2
- Dựa vào tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chứng minh được
0,25 đ
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Trang 5AC BD = OI 2 = AC BD = AB 2/ 2 AB2 = 4 AC BD
2
Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho diểm tối đa
Người ra đề
(Kớ tờn, đúng dấu)
Đinh Thị Thanh Mây