Lập bảng biến thiên và vẽ hai parabol lên cùng một hệ trục toạ độ.. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.
Trang 1Sở GD & ĐT Hải phòng
NĂM HỌC: 2012-2013
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3đ)
Cho hai parabol y = -x2 + 2x + 3 (1)
y = x2 – 4x + 3 (2)
2 1
1 Lập bảng biến thiên và vẽ hai parabol lên cùng một hệ trục toạ độ.
2 Tìm m để đường thẳng y = m cắt parabol (1) tại 2 điểm A,B và cắt parabol (2) tại 2 điểm C,D sao cho AB = CD.
Bài 2: (3đ)
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x y x
y y x x
2 Giải phương trình : 2 2x44 2x 9x2 16
Bài 3: (2đ)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn CD, đường thẳng AD có phương trình 3x - y = 0 , đường thẳng BD có phương trình x - 2y = 0; góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 450 Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.
Bài 4: (1đ)
Cho tam giác ABC có diện tích S thoả mãn: S =( c + a - b )(b + c - a )
Tính tanC.
Bài 5 : (1đ)
Cho a, b, c là các số dương thoả mãn Chứng minh rằng
b c a
2 1 1
2
b c
b c b a
b a
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOÁN 10
Bài1
(3đ) 1.Lập được 2 bảng biến thiên vẽ đúng 2đồ thị
2 đường thẳng y = m cắt mỗi đồ thị tại hai điểm phân biệt khi
-5<m<4
A,B có hoành độ lần lượt là x1 ;x2 là 2 nghiệm của pt:
-x 2 +2x + 3 - m = 0
Khi đó AB = (x2 x1)2 2 4m
C,D có hoành độ lần lượt là x3; x4 là 2 nghiệm của pt:
0 3
4 2
1 2
x m x
Khi đó CD = (x3 x4)2 2 102m
AB = CD <=> 4m 102m m2 (tmđk)
1đ 1đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ
Bài 2
(3đ) 1 hệ phương trình
0 22 2
4 ) 3 ( ) 2 (
2 2
2 2
2
y x y x
y x
3
2
2
y b
x a
8 ) ( 4
4
2 2
b a ab
b a
Giải hệ được hoặc
0
2
b
a
2
0
b a
Trở lại ẩn cũ được
5
2
; 5
2
; 3
2
; 3
2
y
x y
x y
x y
x
0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ
2 đk 2x2
bình phương 2 vế được pt 9x2 8x3216 82x2 0
Đặt t = 82x2 ( t 0) pt có dạng 4t 2 + 16t - x 2 - 8x = 0
4 2
2
x t
x t
0 4
2
x
2
x
t
2 2
8 x2 x
3
2 4
x
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
Bài3
0 2
0 3
y x
y x
) 0
; 0 (
D
Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng AD, BD lần lượt là
.
) 2
; 1 ( );
1
; 3 ( 2
n
0,25đ
Trang 3
2
1 )
; cos(
AD BD
vuông cân tại A
0
45
ˆ
A D B ADB
AD =AB và
45
ˆC
D B
Vì góc giữa 2 đường thẳng BC và AB bằng 45 0 B ˆ C D = 45 0
BCD vuông cân tại B DC = 2AB.
AB = 4 BD = 4
24 2
3 )
( 2
AB DC AD AB
Gọi B ( 2b ; b) (b > 0 )
2 4
5 2
b
5
10 4
5
10 4
; 5
10 8
Vì đường thẳng BC vuông góc với đường thẳng BD nên đường
thẳng BC có vectơ pháp tuyến là n(2;1)
pt của đường thẳng BC là : 2x + y - 4 = 0
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài4
16
) )(
)(
)(
(
a c b b a c a c b b c a c b a c b
(a+b+c)(a+b-c) = 16(c+a-b)(b+c-a)
Khai triển và thay c 2 = a 2 + b 2 - 2abcosC tính được cosC =
17 15
C
2
cos
1 tan
1
15 8
tanC cùng dấu cosC )
0,25đ 0,5đ 0,25đ
Bài 5
2
2 2
1 2 1
c b
a b c
b c bc
b c b c
b c bc
b c c b
2a b c a b
b a
Khi đó
a
c c
a c a c a a
c c
a c a b b c
b c b a
b a
) )(
1 1 ( 2
1 )
( 1 2
2
Áp dụng BĐT Côsi ta có
2
4 ) )(
1 1
(
a
c c
a
c a c a
đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Học sinh trình bày cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
