Đề thi học sinh giỏi lớp 7 năm học: 2012 2013. môn thi: Toán51461

Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất.

PHÒNG GD- Đ T PHÙ MỸ

TRƯỜNG THCS TT PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7Năm học: 2012-2013

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút.

Câu 1(3,0đ)

Chứng minh rằng :

12 12 12 12 1

5 6 7  100  4

Câu 2: (3,0đ)

Cho hàm số f(x) thỏa mãn : 2.f(x) – x f (-x) = x + 10 với mọi giá trị của x

Tính f (2)

Câu 3: (3,0đ)

Chứng minh rằng: 102006 53 là một số tự nhiên

9



Câu 4: (3,0đ)

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74

Câu 5:(3,0đ)

Cho Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất

3 ) 1 ( 2

1

2 





n B

Câu 6: (5,0đ)

Tam giác ABC có AB > AC Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB,AC lần lượt tại E và F

Chứng minh rằng a/ BE = CF

b/ AE =

2

; 2

AC AB BE AC





c/ ฀BME =

2

ˆ

ˆB B

C

PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ HƯỚNG DẪN CHẤM

TRƯỜNG THCS TT PHÙ MỸ ĐỀ THI HSG LỚP 7

Năm học 2012 – 2013 - Môn : Toán

1

(3điểm)

Đặt : A = 12 12 12 12

5 6 7  100

Ta có :A < 1 1 1 1

4.55.66.7 99.100

= 1 1 1 1 1 1

4   5 5 6 99100

4100 4

1,0đ 1,0đ 1,0đ

2

(3 điểm)

ta có :

2 f(2) – 2 f(-2) = 12

2 f(-2) + 2 f(2) = 8 Suy ra : 4 f(2) = 20 f(2) = 5



1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ

3

(3 điểm)

Để là số tự nhiên  102006 + 53 9

2006

10 53 9





Để 102006 + 53 9  10 2006 + 53 có tổng các chữ số chia hết cho 9

mà 102006 + 53 = 1+ 0 +0 + + 0 + 5+3 = 9 9

 102006 + 53 9 hay  là số tự nhiên

2006

10 53 9



1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ

4

(3 điểm)

Từ 6x2 + 5y2 = 74 => 6x2 74 => x 2  74

6

mà x nguyên => x2  0;1; 4;9

Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 5 => x 2 = 4 hoặc x2 = 9 Nếu x2 = 4 => y2 = 10 (loại vì y nguyên)

Nếu x2 = 9 => y2 = 4 => (x, y)  (3, 2); (3, 2); ( 3, 2); ( 3, 2)    

0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ

5

(3 điểm)

lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất 3

) 1 ( 2

1

2 





n

2 n1 3

Vì n12 02n12 33

Vì vậy  2 đạt giá trị nhỏ nhất khi bằng 3

2 n1 3 Dấu bằng xảy ra khi n 1  0 n 1 vậy B lớn nhất và

3

1



 B n 1

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ

Câu Nội dung Điểm

6

(5 điểm)

Vẽ hình đúng

H D

E

F

M

C B

A

a/ Kẻ CD // AB Xét BEM và CDM ta có

(slt)

฀ ฀

BM = CM(gt)

(đ đ)

= (g-c-g) =>BE=CD (cặp góc tương ứng

BEM

* AEFcó AH vừa là đường phân giác vừa là đường cao , nên AEFcân tại A ฀AEF AFE฀ (1)

Mà ฀AEF CDF฀ (đồng vị, AB//CD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra CDF฀ CFD฀

Do đó CDF cân tại C => CF = CD

Mà CD = BE

=> CF = BE b/ Ta có AE = AB - BE

Mà AE = AF= AC+CF => 2AE=AB+AC

=> AE=

2

AC

AB Tương tự : BE = AB – AE

CF = AF –AC 2BE = AB-AC => BE =

2

AC

AB

c/ Ta có :

(góc ngoài )

฀ ACB-Fˆ ˆ

( góc ngoài của )

฀

BME  AEF-B BEM

ˆ ˆ ACB-B ˆ

2BME ACB-B BME

2

1,0đ

0,5đ

0,5đ

1,0đ

1,0đ

0,5đ

0,5đ

Ghi chú:- Mọi cách giải khác, đúng, phù hợp vẫn ghi điểm tối đa

- Đối với bài toán hình học, nếu hình vẽ sai mà phần chứng minh đúng thì không chấm bài hình.