Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước thì sau 12 giờ sẽ đầy bể.. Vẽ đường thẳng d không đi qua O .Trên đường thẳng d lấy 2014 điểm phân biệt .Tính số các góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH CAO ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 6
Năm học : 2013- 2014
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
1. a.Tìm các số tự nhiên a, b, c để số 356��� chia hết cho 5; 7 và 9
b Cho S = 5 + 52+ 53+ + 52013
Chứng tỏ rằng S chia hết cho 31
2. Tìm các cặp số nguyên x; y biết :
2�2� ‒ �2‒ 2� ‒ 2 = 0
3. Biết : n! = 1.2.3….n (n ∈ �∗ ; n≥ 2)
Chứng tỏ rằng : A= 1
2!+
2 3!+ +
2013 2014! < 1
4. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước thì sau 12 giờ sẽ đầy bể Nếu 2 vòi cùng chảy trong 4 giờ rồi đóng vòi 1 sau đó cho vòi 2 chảy thêm 5 giờ nữa thì được bể Hỏi nếu chỉ chảy 1 mình mỗi vòi phải chảy hết mấy giờ 7
12
mới đầy bể
5 Cho �0� �0� và là 2 góc kề bù Om là tia phân giác của �0� ; On là tia phân giác của �0�
a Tính �0�
b Kẻ tia Om’ là tia đối của tia Om Nếu �0�' 30= 0 thì �'0� có số đo bằng bao nhiêu độ
c Vẽ đường thẳng d không đi qua O Trên đường thẳng d lấy 2014 điểm phân biệt Tính số các góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d
Trang 2ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
a.Vì 356��� ⋮ 5; 7 và 9 => 356��� ∈ BC( 5, 7, 9)
BCNN(5, 7, 9) = 315 => 356��� = 315.k (k ∈ �∗)
Vì a, b, c là các chữ số
=>356000 ≤ 315.k ≤356999
=> k ∈{ 1131; 1132; 1133}
=> 356��� ∈ { 356265; 356580; 356895}
Vậy ta được các bộ 3 số (a; b; c) là :
(2; 6; 5) ; (5; 8; 0) ; (8; 9; 5)
(3đ)
Câu 1
(5đ)
b.S=(5 + 52+ 53)+(54+ 55+ 56)+ +(52011+ 52012+ 52013) ( có 671 nhóm)
S=5(1 + 5 + 52)+ 54(1 + 5 + 52) + + 52011(1 + 5 + 52)
S= (5 + 54+ + 52011) 31 31⋮
Vậy S 31⋮
(2đ)
Câu 2
(4đ)
2�2� ‒ �2‒ 2� ‒ 2 = 0
2y-1) = 3
�2(2� ‒ 1) ‒ (
= 3 (2� ‒ 1)(�2‒ 1)
là các ước của 3
=> (2� ‒ 1)�à (�2‒ 1)
Ta có bảng sau :
Vậy các cặp số (x; y) thỏa mãn đề bài là (0; -1) ; (2; 1) ; (-2 ; 1)
(4đ)
Câu 3
(2đ)
2!+
2 3!+
3 4! +
2013 2014!
A=2‒ 1
2! +
3‒ 1 3! +
4‒ 1 4! + +
2014‒ 1 2014!
A= 2
2! ‒
1 2!+
3 3! ‒
1 3!+
4 4! ‒
1 4!+ +
2014 2014! ‒
1 2014!
A=
1‒1.21 + 3
1.2.3 ‒
1 1.2.3+
4 1.2.3.4 ‒
1 1.2.3.4+ +
2014 1.2….2014 ‒
1 1.2.3…2014
(2đ)
Trang 3A= 1‒12+1
2 ‒
1 1.2.3+
1 1.2.3 ‒
1 2.3.4+ +
1 1.2…2013 ‒
1 2014!
A= 1‒2014!1 < 1
Vậy A< 1
Câu 4
(4đ)
1 giờ 2 vòi chảy được ( bể nước)1
12
4 giờ 2 vòi chảy được 4 ( bể nước)
12=
1 3
5 giờ vòi thứ 2 chảy được 7 ( bể nước)
12 ‒
4
12=
1 4 Vòi số 2 chảy đầy bể hết : 5: = 20 (giờ)1
4
1 giờ vòi 2 chảy : (bể )1
20
1 giờ vòi 1 chảy : 1 ( bể nước)
12 ‒
1
20=
1 30 Vòi 1 chảy đầy bể hết : 1: 1 ( giờ)
30= 30
(4đ)
(0,5đ)
a.Om là tia phân giác �0� 0=> 2=1
2�0�
On là tia phân giác �0� => 03=1
2�0�
=>��� = �2+�3 = ) = =
1
2(��� + ��� 180
0
0
(1,5đ)
Câu 5
(5đ)
b.+) Om và Om’ là hai tia đối nhau => ���' 180 = 0
+) �'�� ���' < => Oz nằm giữa Om và Om’
=> �'�� ��� 180 + = 0 (1)
Trang 4Mặt khác ��� ��� 180 + = 0 (2)
Từ (1) và (2) => �'�� ��� =
+) �'�� ��� 180 + = 0
Mà ��� ��� 30 = = 0 ( vì Om là tia phân giác của �0� )
150
(1,5đ)
c.Cứ 2 điểm trên đường thẳng d nối với điểm O được 1 góc
đỉnh O
=>Có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc
đỉnh O
=> Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d là :
(góc)
2014.2013
Vậy có 2027091 góc
(1,5đ)
