các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh của tam giác tại D, E, F.. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = AM BM CM.. PHẠM MINH HIỀN Trường THCS Lương Văn Chánh.
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2008-2009 Thời gian : 150 phút
Bài 1:
s
Bài 2:
Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 là lập phương của một số tgự nhiên
Bài: 3
Chứng minh rằng :
6
Bài 4:
Cho đa thức p(x) = ( x27 +x7-1)2008
Tìm tổng các hệ số của các lũy thừa bậc lẻ của đa thức trên sau khi khai triển, bỏ
ngoặc,rút gọn các số hạng đồng dạng
Bài 5:
a) Chứng minh :
vlới mọi a,b
2 2
2
a b
b) Cho tam giác ABC , gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác các đường thẳng AM,
BM, CM lần lượt cắt các cạnh của tam giác tại D, E, F
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = AM BM CM
Họ và tên :
PHẠM MINH HIỀN
Trường THCS Lương Văn Chánh
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI Bài 1:
Ta có:
Tổng các hệ số của đa thức S = p(1) = ( 1+1-1)2008 = 1
Ta có p(-1) = 32008
Tổng các hệ số bậc lẻ của đa thức S1= [p(1) -p(-1) ]:2=[ 1 - 32008] : 2
Bài 2:
Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 là lập phương của một số tgự nhiên
Ta có 2p+1 = n3 suy ra n là số tự nhiên lẻ
Đặt n = 2k+1
Ta có 2p +1 = (2k +1)3 suy ra 2p = 2n(4k2 + 6k +3)
Suy ra p = n(4k2 + 6k +3)
Vì p nguyên tố nên m = 1
Vậy p = 13
Bài: 3
Chứng minh rằng :
6
3 2 2 3 2 2
Suy ra x3 = 6+3x = 3.(2+x)=3.(1+1+x)
x3 3.3 1.1.3 x 3.33 x ( vì x1)
9 6
3
Vậy x8 > 36
Bài 4:
s
So sánh S và 2.2008
2009
Ta chứng minh: 1 2
a b
Aùp dụng bđt trên ta có:
Bài 5:
a) Biến đổi tương đương
b) Đặt SBMC = x2, SAMB = y2, SAMC = z2
MBC
S
Suy ra AM 1
x
MD y2 2z2
x
Trang 3Tương tgự ta có :BM ,
ME y2 2x2
z
MF x2 2z2
y
Do đó p = y2 z2 y2 x2 x2 z2
Aùp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có : p 3 2