Viết phương trình các cạnh và tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Trang 1Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Trường Môn Toán Lớp 10
Nămhọc 2008-2009
Thời gian : 150 phút(Không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm 01 trang, 05 câu)
Câu I (4 điểm)
Cho hàm s : yx24x3
1 Kho sát s bin thiên và v đ th hàm s trên
2 Tìm m để phương trình x24x3 m24m3 có 4 nghiệm phân biệt?
Câu II (3 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
8 x 2 2y 2 x
12 ) 1 2y)(x x(x
Câu III (4 điểm)
1 Giải phương trình sau : 5
x 2
1 x 2 x 2
5 x
2 Giải bất phương trình sau : x2(3 x22)x 12 x22
Câu IV (7 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-2;3).Đường cao CH nằm trên đường thẳng: 2x+y-7=0 và đường trung tuyến BM nằm trên đường thẳng : 2x-y+1=0
1 Viết phương trình các cạnh và tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
2 Tìm vị trí của điểm H trên trục Ox sao cho : HA + HB + HC nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Câu V (2 điểm)
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện : 3
3c
1 2b
1 a
1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
3 3
3 3
3
3
27c a
3ca c
27 8b
6bc b
8
a
2ab
F
Hết
Trang 2-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
X Y
Hướng Dẫn Chấm Thi Học Sinh Giỏi Cấp Trường Lớp 10
Môn Toán-Năm học 2008-2009
Thang điểm: 20
Chú ý: - Hướng dẫn chấm gồm 02 trang
- Đáp án chỉ trình bày 1 cách giải.
-Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tương đương
+ Vẽ đồ thị hàm số 2
y x 4x 3
+TXĐ, tính đồng biến nghịch biến ,Bảng biến thiên
+Đồ thị đúng, đẹp
0,5 0,5
Câu 1
( 4điểm)
+Lập luận để vẽ và vẽ đúng đồ thị hàm
2
y x 4x 3
+Từ đồ thị suy ra :
PT có 4 nghiệm phân biệt
thì : 0< m2 – 4m + 3 <1
1 3 m 4 m
3 m 4 m 0 2 2
2 2 m 2 -2
m) (3 1) (m
m(2 2;1)(3;2 2)
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5 Câu 2
( 3điểm)
Đặt ta được hệ
y 2 x v
x 2 x u
8 v u
12 v u
Giải hệ trên được hoặc
6 v
2 u
2 v
6 u
6 y 2 x
2 x 2 x
2 / 5 y
1 x
4 y
2 x
Giải hệ đc nghim hoặc
2 y 2 x
6 x 2 x
0 y
2 x
2 / 5 y
3 x
Kết luận hệ có 4 nghiệm
0,5
0,5
1,0
1,0
Câu 3
(4điểm)
1
(2 điểm)
2
Đk : x> 0, đặt ,(y 2)Khi đó pt :
x 2
1 x
) (y 1).Kết hợp đk được:
2
3
2
3
y
Từ đó được ) (1 x) Suy ra kết luận
4
1 x ( 2
3 x 2
1
0,5
0,5
1,0
Trang 3(2 điểm) Biến đổi bất phương trình:x2(3 x22)x 12 x22
( x22 x1)( x223)0
Chứng tỏ : x22 x10xR
Suy ra bpt x22 30 Suy ra nghiệm x 7; 7
1,0 0,5
0,5
Phương trình cạnh AB qua A(-2;3) và vuông góc với CH có
phương trình : 1(x+2) – 2(y-3) = 0 x - 2y + 8 = 0
0 8 y 2 x
0 1 y x 2
5 y
2 x
Điểm C thuộc CH nên C(x; -2x+7) Suy ra M( ; x 5)
2
2 x
Thay M( ; x 5) vào pt BM được x=3 nên C(3;1)
2
2
x Vậy phương trình cạnh AC: 4x + y – 13 = 0
Phương trình cạnh BC : 2x + 5y – 11 = 0
Tọa độ trọng tâm G(1;3)
1,0
0,5
0,5
0,5
1,0 1,0 0,5
Câu 4
1( 5điểm)
2( 2điểm)
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên : HA +s HB + HC = 3HG
Ta có : HA + HB + HC = 3HG
Vậy : HA + HB + HC min 3HG min
H là hình chiếu vuông góc của G trên trục Ox
Vậy H( 1;0) và HA + HB + HC min = 9
0,5 0,5
0,5 0,5
Với x, y > 0, ta có : x3 +y3 xy(x+y) Từ đó :
y x
1 y
x
xy 3
3
y
1 x
1 ( 4
1 y x
1
c 27 a
3ca c
27 8b
6bc b
8 a
2ab F
2
3 ) a
1 3c
1 3c
1 2b
1 2b
1 a
1 ( 4
1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= 2b=3c=1,khi đó
2
3 max
F
0,5
0,5
0,5 0,5
Câu 5
( 2điểm)
