Đường thẳng AH cắt đường tròn C tại điểm thứ hai là D.. 2Trên cung nhỏ »AD của đường tròn C lấy điểm E sao cho HE song song với AB.. Đường thẳng BE cắt đường tròn C tại điểm thứ hai là F
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2014 – 2015
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức A 9 4
2) Rút gọn biểu thức 2 2 2, với x > 0,
2
P
x
Bài 2: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 3 4 5
Bài 3: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và hàm số y = 4x + m có đồ thị (dm)
1)Vẽ đồ thị (P)
2)Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (dm) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, trong đó tung độ của một trong hai giao điểm đó bằng 1
Bài 4: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x – m2 = 0, với m là tham số
1)Giải phương trình khi m = 0
2)Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2với x1 < x2, tìm tất cả các giá trị của m sao
x x
Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC) Vẽ đường tròn (C) có tâm
C, bán kính CA Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là D
1)Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (C)
2)Trên cung nhỏ »AD của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với AB Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F Gọi K là trung điểm của EF Chứng minh rằng:
a) BA2 = BE.BF và ·BHEBFC·
b) Ba đường thẳng AF, ED và HK song song với nhau từng đôi một
BÀI GIẢI
Bài 1:1)A = 3 – 2 = 1
2)Với điều kiện đã cho thì
1
x
P
Bài 3:
1)
Trang 22) Phương trình hoành độ giao điểm của y = x2 và đường thẳng y = 4x + m là :
x2 = 4x + m x2 – 4x – m = 0 (1)
(1) có 4 m
Để (dm) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì 0 4 m 0 m 4
y = 4x + m = 1 => x = 1
4
m
Yêu cầu của bài toán tương đương với
hay
(loại) hay
4
7
7 4
4
m
m
m m
4 7
m m
5 hay 3
5 hay 3
Bài 4:
1)Khi m = 0, phương trình thành : x2 – 4x = 0 x = 0 hay x – 4 = 0 x = 0 hay x = 4
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
1 2 6 1 2 1 2 2 36 1 2 2 1 22 1 2 36
4 2m 36 m2 9 m 1haym5
Khi m = -1 ta có x1 3 10, x2 3 10 x1 x2 6 (loại)
Khi m = 5 ta có x1 3 34, x2 3 34 x1 x2 6(thỏa)
Trang 3Vậy m = 5 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 5:
1)Ta có· 0 nên BA là tiếp tuyến với (C)
BAC90
BC vuông góc với AD nên
H là trung điểm AD Suy ra · · 0
BDCBAC90 nên BD cũng là tiếp tuyến với (C)
2)a)
Trong tam giác vuông ABCta có AB2 BH.BC (1)
Xét hai tam giác đồng dạng ABE và FBA
vì có góc B chung
vàBAE· BFA· (cùng chắn cung AE)
suy ra AB BE AB2 BE.FB (2)
Từ (1) và (2) ta có BH.BC = BE.FB Từ BE.BF= BH.BC BE BH
2 tam giác BEH và BCF đồng dạng vì có góc B chung và BE BH
BC BF
BHE BFC
b) do kết quả trên ta có ·BFABAE·
, do AB //EH suy ra
HACEHBBFC DAF· DAC FAC· · DFC CFA· · BFA·
, 2 góc này chắn các cung nên hai cung này bằng nhau
DAF BAE
Gọi giao điểm của AF và EH là N Ta có 2 tam giác HED và HNA bằng nhau
(vì góc H đối đỉnh, HD = HA, EDH· HDN· (do AD // AF)
Suy ra HE = HN, nên H là trung điểm của EN Suy ra HK là đường trung bình của tam giác EAF Vậy HK // AF
Vậy ED // HK // AF
A
B
F
C
D
E H
K N
Trang 4SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015
MÔN : TOÁN (không chuyên) Ngày thi: 19/6/2014
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
a/ Tính: 2 25 3 4
b/ Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(1; 2) và điểm B(3; 4)
c/ Rút gọn biểu thức A = với x 0 và x 4
2 x
4 x : 2 x
2 2
x
x
Bài 2: (2,0 điểm)
1/ Giải phương trình x4 + 5x2 36 = 0
2/ Cho phương trình x2 (3m + 1)x + 2m2 + m 1 = 0 (1) với m là tham số
a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b/ Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1) Tìm m để biểu thức
B = x1 + x2 3x1x2đạt giá trị lớn nhất
Bài 3: (2,0 điểm)
Để chuẩn bị cho một chuyến đi đánh bắt cá ở Hoàng Sa, hai ngư dân đảo Lý Sơn cần chuyển một số lương thực, thực phẩm lên tàu Nếu người thứ nhất chuyển xong một nửa số lương thực, thực phẩm; sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất là 3 giờ Nếu cả hai cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực, thực phẩm lên tàu là giờ Hỏi nếu làm riêng một mình
7 20
thì mỗi người chuyển hết số lương thực, thực phẩm đó lên tàu trong thời gian bao lâu?
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi M là điểm chính giữa của cung AB; P là điểm thuộc cung MB (P khác M và P khác B) Đường thẳng AP cắt đường thẳng OM tại C; đường thẳng OM cắt đường thẳng BP tại D Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở P cắt cắt CD tại I
a/ Chứng minh OADP là tứ giác nội tiếp đường tròn
b/ Chứng minh OB.AC = OC.BD
c/ Tìm vị trí của điểm P trên cung MB để tam giác PIC là tam giác đều Khi đó hãy tính diện tích của tam giác PIC theo R
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho biểu thức A = (4x5 + 4x4 5x3 + 5x 2)2014 + 2015 Tính giá trị của biểu thức A khi x =
1 2
1 2 2
1
- HẾT
-Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 5GỢI Ý BÀI GIẢI TOÁN VÀO 10 KHÔNG CHUYÊN
Bài 1: a/ Tính: 2 253 4= 10 + 6 = 16
b/ Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A(1; 2) nên a + b = 2, và B(3; 4) nên 3a b = 4
Suy ra a = 3, b = 5 Vậy (d): y = 3x + 5
c/ Với x 0 và x 4 ta có:A = = … =
2 x
4 x : 2 x
2 2 x
x
2 x 2 x
1
Bài 2:
1/ Giải phương trình x4 + 5x2 36 = 0
Đặt t = x2 ( t 0) ta có phương trình t2 + 5t 36 = 0 t = 25 4.1.(36) = 169
t1 = 4 (tmđk); t2 = 9 (loại) Với t = 4 x2 = 4 x = 2
2/ a/ Với m là tham số, phương trình x2 (3m + 1)x + 2m2 + m 1 = 0 (1)
Có = [(3m + 1)]2 4.1.( 2m2 + m 1) = m2 + 2m + 5 = (m + 1)2 + 4 > 0 m
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b/ Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1) Ta có x1 + x2 = 3m + 1; x1x2 = 2m2 + m 1
B = x1 + x2 3x1x2 = (x1 + x2)2 5x1x2 = (3m + 1)2 5(2m2 + m 1) = (m2 m 6)
B = (m )2 + Dầu “=” xảy ra m = 0 m =
2
1
2
13 2
13
2
1
2 1
Vậy Bmin = khi m =
2
13
2 1
Bài 3: Gọi x (giờ) là thời gian người thứ I một mình làm xong cả công việc
và y (giờ) là thời gian người thứ II một mình làm xong cả công việc (Với x, y > )
7 20
Ta có hệ phương trình:
3 2
x 2 y
20
7 y
1 x 1
) 2 ( 6 x y
) 1 ( 20
7 y
1 x 1
Từ (1) và (2) ta có phương trình: Giải phương trình được x1 = 4, x2 =
20
7 6 x
1 x
1
7 30
Chọn x = 4
Vậy thời gian một mình làm xong cả công việc của người thứ I là 4 giờ,
của người thứ II là 10 giờ
Bài 4:
a/ C/minh AOD = APD = 900
O và P cùng nhìn đoạn AD dưới một góc 900
OADP tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AD
P
D
I M
C
A
Trang 6b/ C/ minh AOC DOB (g.g)
DB
AC OB
OC
OB.AC = OC.BD (đpcm)
c/ Ta có IPC = PBA (cùng chắn cung AP của (O))
và có ICP = PBA (cùng bù với OCP)
Suy ra IPC = ICP IPC cân tại I
Để IPC là tam giác đều thì IPC = 600PBA = 600
OP = PB = OB = R số đo cung PB bằng 600
C/minh DIP cân tại I ID = IP = IC = CD:2
Do đó SPIC = SDPC = .CP.PD = R = (đvdt)
2
1
2
1 2
1
4
1 3
3 R
12
3
R2
Bài 5:
1 2
1 2 2
1
2 1 2 1
1 2 2
2
1
2
x2 = ; x3 = x.x2 = ; x4 = (x2)2 = ; x5 = x.x4 =
4
2 2
3
8
7 2
16
2 12
17
32
41 2
29
8
16 20 2 20 35 2 25 2 24 34 41 2 29
Vậy A = (4x5 + 4x4 5x3 + 5x 2)2014 + 2015 = (1)2014 + 2015 = 1 + 2015 = 2016
THI TUYN SINH VÀO LP 10 THPT CHUYÊN
S GIÁO DC VÀ ÀO TO NM HC 2014 - 2015
Môn Thi : Toán ( Dành cho tt c thí sinh )
Thi gian làm bài : 120 phút ( không k thi gian giao ) Ngày thi : 20 tháng 6 nm 2014
Câu I ( 1, 5 im )
Cho phng trình x2 2mx2m60 (1) , vi n x , tham s m
1) Gii phng trình (1) khi m = 1
2) Xác nh giá tr ca m phng trình (1) có hai nghim x1 , x2 sao cho 2 nh
2 2
nht
Câu II ( 1,5 im )
Trong cùng mt h to , gi (P ) là th ca hàm s y = x2 và (d) là th ca hàm s
y = -x + 2
CHÍNH
THC
Trang 71) V các th (P) và (d) T ó , xác nh to giao im ca (P) và (d) bng th
2) Tìm a và b th ca hàm s y = ax + b song song vi (d) và ct (P) ti im có hoành
bng -1
Câu III ( 2,0 im )
1) Mt ngi i xe p t a im A n a im B , quãng ng AB dài 24
km Khi i t B tr v A ngi ó tng vn tc thêm 4km so vi lúc i , vì vy thi gian v ít hn thi gian i 30 phút Tính vn tc ca xe p khi i t A n B
2 ) Gii phng trình x 1x x1x1
Câu IV ( 3,0 im )
Cho tam giác ABC có ba góc nhn và ba ng cao AA’ , BB’ ,CC’ ct nhau ti H V hình bình hành BHCD ng thng qua D và song song vi BC ct ng thng AH ti M
1) Chng minh rng nm im A, B ,C , D , M cùng thuc mt ng tròn
2) Gi O là tâm ng tròn ngoi tip tam giác ABC Chng minh rng BM = CD
và góc BAM = góc OAC
3) Gi K là trung im ca BC , ng thng AK ct OH ti G Chng minh rng G là trng tâm ca tam giác ABC
Câu V ( 2, 0 im )
1) Tìm giá tr nh nht ca biu thc P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014
2) Có 6 thành ph trong ó c 3 thành ph bt k thì có ít nht 2 thành ph liên lc c vi nhau Chng minh rng trong 6 thành ph nói trên tn ti 3 thành ph liên lc c vi nhau
.Ht
( này gm có 01 trang)
H và tên thí sinh : S báo danh :
Hng dn s lc thi môn toán dành cho tt c thí sinh nm hc 2014-2015
Thi vào THPT chuyên
Câu I ( 1, 5 im )
Cho phng trình x2 2mx2m60 (1) , vi n x , tham s m
1) Gii phng trình (1) khi m = 1
2) Xác nh giá tr ca m phng trình (1) có hai nghim x1 , x2 sao cho 2 nh
2 2
nht
HD :
1) GPT khi m =1
+ Thay m =1 v ào (1) ta c x2 + 2x – 8 = 0 ( x + 4 ) ( x – 2 ) = 0 x = { - 4 ; 2 }
KL :
Trang 82) x ét PT (1) : x2 2mx2m60 (1) , vi n x , tham s m
+ Xét PT (1) có ' 1 m2 2m6m12 50
(luôn úng ) vi mi m => PT (1) luôn có hai nghim phân bit x1 ; x2 vi mi m
+ Mt khác áp dng h thc viét vào PT ( 1) ta có : (I)
6 2
2 2
1
2 1
m x
x
m x
x
+ Li theo và (I) có :A = x1 + x2
= ( x1 + x2 )2 – 2 x1x2
= ( - 2m )2 + 2 ( 2m + 6 )
= 4m2 + 4m + 12
= ( 2m + 1)2 + 11 11 vi mi m => Giá tr nh nht ca A là 11 khi m =
2 1
KL :
Câu II ( 1,5 im )
Trong cùng mt h to , gi (P ) là th ca hàm s y = x2 và (d) là th ca hàm s
y = -x + 2
1) V các th (P) và (d) T ó , xác nh to giao im ca (P) và (d) bng th
2) Tìm a và b th ca hàm s y = ax + b song song vi (d) và ct (P) ti im có hoành
bng -1
HD : 1) v ch ính xác và xác nh c giao i m ca (P) v à (d) l à M ( 1 ; 1) v à N ( -2 ; 4 )
2)T ìm c a = -1 v à b = 0 =>PT ca là y = - x
Câu III ( 2,0 im )
1) Mt ngi i xe p t a im A n a im B , quãng ng AB dài 24
km Khi i t B tr v A ngi ó tng vn tc thêm 4km so vi lúc i , vì vy thi gian v ít hn thi gian i 30 phút Tính vn tc ca xe p khi i t A n B
2 ) Gii phng trình x 1x x1x1
HD :
1) G i x ( km /h ) l à v n t c ng i i xe p t A -> B ( x > 0 ) L ý lun a ra PT :
=> x = 12 ( t/m ) KL :
2
1 4
24
24
x
x
2) KX 0 x 1 t 0 < a = x x a x1x
2
1 1
2
+ PT m i l à : a + 1 a2 + 2a – 3 = 0 ( a – 1 )( a + 3 ) = 0 a = { -3 ; 1 } => a = 1 > 0
2
1 2
a
+ Nu a = 1 = > x 1 x 1 x = { 0 ; 1 } ( t/m)
Trang 9KL : …………
Câu IV ( 3,0 im )
Cho tam giác ABC có ba góc nhn và ba ng cao AA’ , BB’ ,CC’ ct nhau ti H V hình bình hành BHCD ng thng qua D và song song vi BC ct ng thng AH ti M
1) Chng minh rng nm im A, B ,C , D , M cùng thuc mt ng tròn
2) Gi O là tâm ng tròn ngoi tip tam giác ABC Chng minh rng BM = CD
và góc BAM = góc OAC
3) Gi K là trung im ca BC , ng thng AK ct OH ti G Chng minh rng G là trng tâm ca tam giác ABC
HD : HS t v hình
1) Chng minh các t giác ABMD , AMDC ni tip => A, B ,C,D , M nm trên cùng mt ng tròn 2) Xét (O) có dây MD//BC => s cung MB = s cung CD => dây MB = dây CD hay BM = CD
+ Theo phn 1) và BC//MD => góc BAM =góc OAC
3)Chng minh OK là ng trung bình ca tam giác AHD => OK//AH và OK = AH
2 1
hay (*)
2
1
AH
OK
+ Chng minh tam giác OGK ng dng vi tam giác HGA => AG GK , t ó suy
AG
GK AH
OK
2 2
1
ra G là trng tâm ca tam giác ABC
Câu V ( 2, 0 im )
1)Tìm giá tr nh nht ca biu thc P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014
2)Có 6 thành ph trong ó c 3 thành ph bt k thì có ít nht 2 thành ph liên lc c vi nhau Chng minh rng trong 6 thành ph nói trên tn ti 3 thành ph liên lc c vi nhau.
HD :
1) Giá tr nh nht ca P là 2011 khi a =b = 1
2) Gi 6 th ành ph ã cho l à A,B,C,D,E,F
+ X ét thành ph A theo nguyên l í Dirichlet ,trong 5 thành ph còn li thì có ít nht 3 thành ph
liên lc c vi A hoc có ít nht 3 thành ph không liên lc c vi A ( v ì nu s thành ph liên lc c vi A cng không vt quá 2 và s thành ph không liên lc c vi A cng không vt quá 2 thì ngoài A , s thành ph còn li cng không vt quá 4 ) Do ó ch xy
ra các kh nng sau :
Kh nng 1 :
s thành ph liên lc c vi A không ít hn 3 , gi s B,C,D liên lc c vi A Theo
bài trong 3 thành ph B,C,D có 2 thành ph liên lc c vi nhau Khi ó 2 thành ph này cùng vi A to thành 3 thành ph ôi mt liên lc c vi nhau
Trang 10 Kh nng 2 :
s thành ph không liên lc c vi A , không ít hn ,gi s 3 thành ph không liên lc c vi A là D,E,F Khi ó trong b 3 thành ph ( A,D,E) thì D và E liên lc c vi nhau ( v ì D,E không
liên lc c vi A )
Tng t trong b 3 ( A,E,F) v à ( A,F,D) th ì E,F liên lc c vi nhau , F và D liên lc
c vi nhau và nh vy D,E,F l à 3 thành ph ôi mt liên lc c vi nhau Vy ta
có PCM
C âu V : chuyên toán ng ày thi 20-6-2014
Cho tp A = { 1 ; 2 ; 3 ; ….; 16 } Hãy tìm s nguyên dng k nh nht sao cho trong mi tp hp con gm k phn t ca A u tn ti hai s phân bit a, b mà a 2 + b 2 là mt s nguyên t.
HD :
Nu a , b chn thì a2 + b2 là hp s Do ó nu tp con X ca A có 2 phn t phân bit a,b m à
a2 + b2 là s nguyên t thì X không th ch cha các s chn => K 9
Bây gi ta i chng minh K = 9 là giá tr nh nht cn tìm ca bài toán
Tht vy vi tp con X gm 9 phn t bt kì ca A luôn tn ti 2 phn t phân bit a,b m à
a2 + b2 l à s nguyên t Tht vy : ta chia tp hp A thành các cp 2 phn t
phân bit a , b mà a2 + b2 là s nguyên t ,ta có tt c 8 cp l à : ( 1;4) , ( 2;3) , ( 5;8) , ( 6;11) , ( 7; 10) , ( 9
;16 ) , ( 12 ;13) , ( 14 ; 15 ) Theo nguyên lí Dirichlet thì 9 phn t ca X có 2
phn t cùng thuc mt cp => PCM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN (KHÔNG CHUYÊN)
Ngày thi: 20/6/2014
(Thời gian : 120 phút – không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,00 điểm)
1) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: 1 8 10
2) Rút gọn biểu thức B = : 1 với a > 0, a 4.
Bài 2: (2,00 điểm)
1) Cho hệ phương trình: ax y y
ĐỀ THI CHÍNH THỨC