Đề thi học sinh giỏi cấp huyện. vòng 2 năm học: 2012 – 2013. môn thi: Toán 950698

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN.. Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến: sin6x c os6x 3sin2x c.. Trên cạnh AB lấy điểm N, CN

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG 2

NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.0 điểm ) Rút gọn các biểu thức sau:

  1 1

        

a Rút gọn P

b Tính giá trị của khi P x 7 4 3.

c Chứng minh: P1

Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình

a Cho 0 x 90o Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

sin6x c os6x 3sin2x c os2x  tan2x c os2x  cotan2x.sin2x

b Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2

2x 3y 4x19

Bài 3: (2.0 điểm)

a Cho các số nguyên dương: a a a1; ; ; ;2 3 a2013 sao cho:

N = a1    a2 a3 a2013 chia hết cho 30.

Chứng minh: M = 5 5 5 5 chia hết cho 30.

a     a a a

b Cho x y; thỏa mãn: 2 2 Chứng minh:

Bài 4: ( 2,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh Trên cạnh AB lấy điểm N, CN cắt đường a

thẳng DA tại E Đường thẳng qua C vuông góc CN tại C cắt đường thẳng AB tại F Diện tích tứ giác ACFE là 3 a2

a Chứng minh: N là trung điểm AB.

b Tính CF theo a

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho đường tròn cố định (O; R) đi qua đoạn thẳng BC cố định Điểm M di chuyển trên đường tròn (O), M không trùng với B; C Gọi G là trọng tâm tam giác MBC Chứng minh rằng điểm G di động trên một đường tròn cố định.

Hết./.

Họ và tên thí sinh……… ……….SBD………….…………

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm 1 trang)

ThuVienDeThi.com

H ƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9 MÔN: TOÁN

B ản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang

a

1,0

ĐK: x0; x1



0.25x4

b

0.5

3

P

0.25 0.25

1.

2.0

c.

0.5

x x

 

Dấu “=” xẩy ra khi: 1 ; mà không thuộc TXĐ

1

x

Vậy P1

0.25

0.25

2a.

1.0

sin os 3sin os tan os cotan sin



Giá trị biểu thức bằng 2 không phụ thuộc giá trị của x

0.25x4

2.

2.0

2b.

1.0

2x 3y 4x192(x 2x 1) 3(7y )2(x1) 3(7y )

là số nguyên lẻ

2 x1   0 7 y  0 y 1

HS tìm y rồi thay vào tìm để tìm ra các cặp nghiệm: (2; 1); (2; -1); x

(-4; 1); (-4; -1)

0.25

0.25 0.25 0.25

3.

2.0

3a.

1.0

- HS lập luận: 5 2 chia hết cho 6 vì có tích 3 số tự nhiên liên

1 1 1( 1 1)( 1 1)( 1 1)

a  a a a  a  a 

tiếp

- HS lập luận: 5 2 chia hết cho 5 (Chia các trường hợp để

1 1 1( 1 1)( 1 1)( 1 1)

a  a a a  a  a  xét: a15 ;k a15k1; a15k2)

Mà (5; 6) = 1 nên a15 a1 30

a  a  a    a   Hay a15    a25 a35 a20135 - a1    a2 a3 a201330 M  N 30 Theo giả thiết: N30M30

0,25

0.25

0.5

ThuVienDeThi.com

1.0

Vận dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

0,25 0,5 0.25

4a

1,5 đ

F E

N

B A

Gọi độ dài BN = b ( Với 0 < b < a)

C/m được: CBF = CDE (g-c-g) CF = CE   

(1)

2

2S ACFE 2(S EAC S ECF) EA CD CE CF a EA CE

Vì AN // DC nên áp dụng Talet: EA AN EA a b EA a a b( ) (2)

 Suy ra: DE = EA + AD = a a b( ) + a

b



Áp dụng định lý Py ta go vào DEC ta có CE2 = CD2 +DE2 = a2 + a24 (3)

b

Từ (1),(2),(3) suy ra

2SACEF = +

2

a a b b

2

a b a b

2

a a b b





Do đó SACEF = 3SABCD <=> = 3a2

3 2

2

a a b b



<=> a2 +ab -6b2 = 0 HS lập luận giải: a = 2b

Vậy điểm N trung điểm của AB

0,5

0,5

0,5

4b

1,0

Theo c/m trên: CF = CE mà theo (3) CE2 = a2 +

2

2

5 1 4

5

CF a

0,5x2

5.

1,5 Lấy N trung điểm BC Trên NO lấy H sao cho 1 (1)

3

(O) cố định, BC cố định nên H cố định

0.5 0.25

N M

ThuVienDeThi.com

Theo tính chất trọng tâm: 1 (2)

3

H cố định 1

3

HG R

Vậy G chạy trên đường tròn (H; R/3)

0,25

0,5

ThuVienDeThi.com