Bộ ba câu này thường rơi vào các chủ đề Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình, Hình học tọa độ phẳng, Bất đẳng thức - Tìm GTLN, GTNN.. Nhằm mục đích cung cấp thêm cho các bạn
Trang 1Tuyển tập
Bộ ba câu phân loại
Trong các đề thi thử THPT Quốc Gia 2015
DI N ÀN TOÁN H C
MÔN TOáN
* PT, HPT, BPT
* PP t a trong MP
* B T, Tỡm GTLN, GTNN
Trang 3TUYỂN TẬP BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI
TRONG ĐỀ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2015
Diễn đàn toán học VMF Ngày 6 tháng 8 năm 2015
Trang 4Kí hiệu dùng trong sách
BĐT : Bất đẳng thức BPT : Bất phương trình CMR : Chứng minh rằng
ĐH : Đại học GDĐT : Giáo dục và đào tạo GTLN : Giá trị lớn nhất GTNN : Giá trị nhỏ nhất
PT : Phương trình THPT : Trung học phổ thông THTT : Tạp chí Toán học Tuổi trẻ
TP HCM : Thành phố Hồ Chí Minh VMF : Vietnam Mathematics Forum
VP : Vế phải
VT : Vế trái VTCP : Vectơ chỉ phương VTPT : Vectơ pháp tuyến
Trang 5LỜI NÓI ĐẦU
Xuất phát từ thực tế kì thi THPT Quốc gia 2015, với các bạn sử dụng kết quả môn Toán để xét tuyển đại học, thì sự cạnh tranh chủ yếu diễn ra ở bộ ba câu phân loại Bộ ba câu này thường
rơi vào các chủ đề Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình, Hình học tọa độ phẳng,
Bất đẳng thức - Tìm GTLN, GTNN.
Nhằm mục đích cung cấp thêm cho các bạn chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc gia 2016 một tài liệu tham khảo hữu ích, các thành viên của Diễn đàn toán học VMF đã cùng nhau biên soạn tài liệu này Tài liệu bố cục gồm ba phần chính Phần đầu, chúng tôi tóm tắt một vài lý thuyết cơ bản tương ứng với 3 chủ đề đã nói ở trên để bạn đọc có thể tra cứu dễ dàng khi cần thiết Phần hai, cũng là nội dung chính của tài liệu, chúng tôi tổng hợp lại bộ ba câu phân loại trong các đề thi thử năm học 2014 - 2015 Phần hướng dẫn, đáp số chúng tôi chủ yếu dựa trên đáp án của đơn vị ra đề, tuy nhiên trong một số bài toán chúng tôi có đưa ra cách tiếp cận khác hoặc chỉ hướng dẫn sơ lược có đáp số nhằm giúp bạn đọc chủ động hơn trong quá trình đọc tài liệu Chúng tôi nhấn mạnh rằng, cách làm trong tài liệu này chưa hẳn là tốt nhất, bạn đọc cũng không nên quá coi trọng các lời giải mang đậm chất kĩ thuật, khó định hướng tự nhiên
Nhóm biên soạn tài liệu này gồm có
• Bạn Trần Tuấn Anh, Nguyễn Nguyên Trang - Sinh viên khoa Toán ĐH Sư phạm TP HCM (Katyusha);
• Bạn Trương Việt Hoàng - THPT Nguyễn Du, Thái Bình (Viet Hoang 99);
• Thầy Châu Ngọc Hùng - Ninh Thuận (hungchng);
• Thầy Nguyễn Công Định - Cà Mau (CD13);
• Thầy Hoàng Ngọc Thế - Hà Nội (E.Galois);
• Thầy Lê Minh An - Nam Định (leminhansp);
• Bạn Trần Trung Kiên - TP HCM (Ispectorgadget)
Mặc dù chúng tôi đã cùng nhau biên soạn tài liệu này với tất cả sự tận tâm, tinh thần vì cộng đồng vô tư Nhưng sự tỉ mỉ và cố gắng của chúng tôi chắc chắn chưa thể kiểm soát được hết các sai sót Vì vậy sự nhiệt tâm từ phía bạn đọc cũng sẽ giúp tài liệu hoàn thiện hơn Mọi trao đổi hãy chia sẻ với chúng tôi tại Diễn đàn toán học VMF (http://diendantoanhoc.net) Sau cùng, chúng tôi hi vọng cộng đồng chia sẻ trực tuyến sẽ dành cho chúng tôi sự tôn trọng tối thiểu bằng cách ghi rõ nguồn tài liệu khi chia sẻ Không dùng tài liệu này để trục lợi cá nhân Chúng tôi xin cảm ơn!
Nhóm biên tập
Trang 6Mục lục
I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 14
1.1 Hệ tọa độ 14
1.2 Phương trình đường thẳng 14
1.2.1 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng: 14
1.2.2 Phương trình đường thẳng 14
1.2.3 Vị trí tương đối của 2 điểm và 1 đường thẳng 15
1.3 Góc và khoảng cách 15
1.4 Phương trình đường tròn 16
1.5 Phương trình Elip 16
2 Một số kĩ thuật cơ bản 17 2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm 17
2.1.1 Dựa vào hệ điểm 17
2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm của hai đường 17
2.1.3 Điểm thuộc đường 18
2.2 Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng 19
2.3 Tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng 19
2.4 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cách 1 điểm cho trước một khoảng cho trước 20
2.5 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, tạo với 1 đường thẳng khác một góc cho trước 21
2.6 Viết phương trình đường phân giác trong của một góc 21
2.7 Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm 23
2.8 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của đường tròn 23
3 Phương pháp giải toán 24 3.1 Phương pháp chung 24
3.2 Một số hướng khai thác giả thiết 24
3.3 Ví dụ 25
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 29 1 Trục căn thức 29 1.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung 29
1.1.1 Phương pháp 29
1.1.2 Ví dụ 29
1.2 Đưa về “hệ tạm” 30
1.2.1 Phương pháp 30
1.2.2 Ví dụ 30
2 Biến đổi về phương trình tích 31 2.1 Các biến đổi thường dùng 31
2.2 Ví dụ 31
Trang 73 Phương pháp đặt ẩn phụ 33
3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 33
3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến 35
3.2.1 Phương trình dạng:a.A (x) + bB (x) = cpA (x) B (x) 36
3.2.2 Phương trình dạng:αu + βv =pmu2 + nv2 37
3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 38
4 Phương pháp đưa về hệ phương trình 39 4.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường 39
4.2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II 41
4.2.1 Hệ đối xứng 41
4.2.2 Dạng hệ gần đối xứng 42
5 Phương pháp lượng giác hóa 44 5.1 Một số kiến thức cơ bản 44
5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa 44
5.3 Một số ví dụ 45
6 Phương pháp dùng Bất đẳng thức 46 7 Phương pháp hàm số 48 III MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT 51 1 Những BĐT cổ điển thường dùng 51 1.1 BĐT hai biến 51
1.2 BĐT ba biến 51
2 Một số kĩ thuật chứng minh BĐT 51 2.1 Kĩ thuật ghép đối xứng 51
2.2 Kĩ thuật tách ghép 53
2.3 Kỹ thuật dùng BĐT cơ bản 55
2.4 Kĩ thuật dùng miền xác định của biến số 58
2.5 Một số cách biến đổi điều kiện thường gặp 60
2.6 BĐT thuần nhất 62
2.7 Kĩ thuật sử dụng hàm số 65
IV BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
1 Đề minh hoạ THPT 2015 68
2 Đề Sở GD-ĐT Phú Yên 68
3 THTT số 453 tháng 04 năm 2015 68
4 THPT Số 3 Bảo Thắng (Lào Cai) 69
5 THPT Bố Hạ (Bắc Giang) 69
Trang 86 THPT Chu Văn An (Hà Nội) 69
7 THPT chuyên Hà Tĩnh 69
8 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An) 70
9 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc) 70
10 THPT chuyên Hưng Yên 70
11 THPT chuyên Lê Hồng Phong (Hồ Chí Minh) 71
12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) 71
13 THPT Lục Ngạn số 1 (Bắc Giang) 71
14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên) 71
15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 2 72
16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên) 72
17 THPT Minh Châu (Hưng Yên) 72
18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2 73
19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên) 73
20 THPT Quỳnh Lưu 3 (Nghệ An) 73
21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An) 74
22 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa) 74
23 THPT Thuận Châu (Sơn La) 75
24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa) 75
25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An) 75
26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh) 76
27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh) 76
28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh) 76
29 THPT chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp) 77
30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP HCM) 77
31 THPT Như Thanh (Thanh Hóa) 77
32 THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh) 78
Trang 933 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB 78
34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D 78
35 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 79
36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 1 79
37 THPT Thường Xuân 3 (Thanh Hóa) 79
38 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa) 80
39 THPT Triệu Sơn 3 (Thanh Hóa) 80
40 Trung tâm dạy thêm văn hóa (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) 80
41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2 81
42 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh) 81
43 THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa) 81
45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc (lần 1) 82
46 Sở GDĐT Vĩnh Long 82
47 Sở GDĐT TP Hồ Chí Minh 83
48 Sở GDĐT Thanh hóa 83
49 Sở GDĐT Quảng Ngãi 83
50 Sở GDĐT Quảng Nam 84
52 Sở GDĐT Lâm Đồng 84
53 Sở GDĐT Bình Dương 85
54 THPT Nguyễn Văn Trỗi 85
55 THPT Chuyên ĐH Vinh 85
56 THPT Thủ Đức (TP Hồ Chí Minh) 86
57 THPT Nông Cống 1 (Thanh Hóa) lần 2 86
58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 1 86
Trang 1060 THPT Cù Huy Cận (Hà Tĩnh) 87
61 THPT Đa Phúc (Hà Nội) 87
62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang) 88
63 THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa) 88
66 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 89
67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc) 89
68 THPT chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 3 90
69 THPT chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) 90
70 Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) 90
71 Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định) 91
72 Chuyên ĐH Vinh lần 3 91
73 Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) 91
1 Đề minh họa THPT Quốc gia 2015 92
4 THPT Số 3 Bảo Thắng (Lào Cai) 96
5 THPT Bố Hạ (Bắc Giang) 98
6 THPT Chu Văn An (Hà Nội) 99
7 THPT Chuyên Hà Tĩnh 101
8 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An) 102
9 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc) 104
10 THPT Chuyên Hưng Yên 105
11 THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP HCM) 107
12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) 108
Trang 1113 THPT Lục Ngạn số 1 (Bắc Giang) 110
14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên) 111
15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 2 112
16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên) 113
17 THPT Minh Châu (Hưng Yên) 116
18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2 119
19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên) 120
20 THPT Quỳnh Lưu 3 (Nghệ An) 123
21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An) 126
22 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa) 127
23 THPT Thuận Châu (Sơn La) 129
24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa) 131
25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An) 133
26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh) 135
27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh) 137
28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh) 140
29 THPT Chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp) 142
30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP HCM) 144
31 THPT Như Thanh (Thanh Hóa) 146
32 THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh) 148
33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB 151
34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D 153
35 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 155
36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) 158
37 THPT Thường Xuân 3 (Thanh Hóa) 160
38 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa) 162
39 THPT Triệu Sơn 3 (Thanh Hóa) 164
Trang 1240 Trung tâm dạy thêm văn hóa - THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP HCM) 166
41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2 167
42 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh) 169
43 THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa) 171
45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc lần 1 174
46 Sở GDĐT Vĩnh Long 176
47 Sở GDĐT TP Hồ Chí Minh 177
48 Sở GDĐT Thanh Hóa 178
49 Sở GDĐT Quảng Ngãi 180
50 Sở GDĐT Quảng Nam 181
51 Sở GDĐT Lào Cai 183
52 Sở GDĐT Lâm Đồng 185
53 Sở GDĐT Bình Dương 186
54 THPT Nguyễn Văn Trỗi (Hà Tĩnh) 187
55 THPT Chuyên ĐH Vinh 189
56 THPT Thủ Đức (TP Hồ Chí Minh) 192
57 THPT Nông Cống 1 (Thanh Hóa) lần 2 193
58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 1 196
59 THPT Lam Kinh (Thanh Hóa) 198
60 THPT Cù Huy Cận (Hà Tĩnh) 199
61 THPT Đa Phúc (Hà Nội) 202
62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang) 203
63 THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa) 205
64 THPT Quảng Hà (Quảng Ninh) 207
65 THPT Thống nhất (Bình Phước) 210
66 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 212
Trang 1367 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc) 215
68 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 3 216
69 THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) 218
70 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) 221
71 THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định) 222
72 THPT Chuyên ĐH Vinh lần 3 225
73 THPT Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) 227
Trang 14I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG
1 Lý thuyết chung
1.1 Hệ tọa độ
Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y cho các điểm:A¡
x A;y A¢
,B¡
x B;y B¢
,C¡
x C;y C¢
• Tọa độ vectơ:−→AB =¡x B − x A;y B − y A
¢
• Tọa độ trung điểmJ của đoạn thẳngAB, trọng tâmGcủa tam giác ABC lần lượt là:
J
µ
x A + x B
2 ;
y A + y B
2
¶
; G
µ
x A + x B + x C
3 ;
y A + y B + y C
3
¶
1.2 Phương trình đường thẳng
1.2.1 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng:
• Vectơ−→u (−→u 6=−→0 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳngd
• Vectơ→−n (−→n 6=→−0 )là vectơ pháp tuyến của đường thẳngdnếu nó có giá vuông góc với đường thẳngd
• Đường thẳngax + by + c = 0có một vectơ pháp tuyến là→−n = (a;b)
• Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương (vectơ pháp tuyến)
• Hai đường thẳng vuông góc có vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia
• Nếu−→u , −→n lần lượt là vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳngd thì→−u −→n = 0
Do đó, nếu−→u = (a;b)thì−→n = (b;−a)
• Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, vô số vectơ chỉ phương Nếu→−n là một vectơ pháp tuyến (vectơ chỉ phương) của đường thẳngd thì k−→n (k 6= 0)cũng là một vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương củad
1.2.2 Phương trình đường thẳng
• Phương trình tổng quát của đường thẳng:
ax + by + c = 0 (a2+ b2> 0) (1) Đường thẳng đi qua điểmM (x0;y0)và nhận−→n = (a;b)là vectơ pháp tuyến có phương trình dạng:
a(x − x0)+ b(y − y0)= 0 (2) Đặc biệt: đường thẳng đi qua(a; 0), (0; b)có phương trình theo đoạn chắn:
x
a+y
b = 1 (3)
Trang 15* Đường thẳng đi quaM (x0;y0)và nhận vectơ−→n = (p; q)làm vectơ chỉ phương, có phương
trình tham số là: (
x = x0+ pt
y = y0+ qt (4)
Có phương trình chính tắc là:
x − x0
p = y − y0
q (p, q 6= 0) (5)
Đặc biệt: đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệtA¡
x A;y A¢
,B¡
x B;y B¢có phương trình dạng:
x − x A
x B − x A = y − y A
y B − y A
(6)
• Đường thẳng đi quaM (x0;y0)và có hệ số góckthì có phương trình đường thẳng với hệ số
góc dạng:
y = k(x − x0)+ y0 (7)
Chú ý:
– Không phải đường thẳng nào cũng có hệ số góc Các đường thẳng dạngx = akhông
có hệ số góc Do vậy, khi giải các bài toán dùng hệ số góc, ta phải xét cả trường hợp đặc biệt này
– Nếu→−n = (a;b),(b 6= 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì hệ số góc của nó là
k = − a
b
1.2.3 Vị trí tương đối của 2 điểm và 1 đường thẳng
Cho A¡
x A;y A¢
,B¡
x B;y B¢và đường thẳng∆ : ax + by + c = 0 Khi đó:
• Nếu¡ax A + by A + c¢¡
ax B + by B + c¢
< 0thìA, B ở về hai phía khác nhau đối với∆
• Nếu¡ax A + by A + c¢¡
ax B + by B + c¢
> 0thìA, B ở cùng một phía đối với∆
1.3 Góc và khoảng cách
• Góc giữa hai vectơ−→v , −→w được tính dựa theo công thức:
cos(−→u , −→w ) =
−
→u −→w
¯
¯
¯−→v
¯
¯
¯.¯¯¯−→w
¯
• Giả sử−→n
1, −→n
2lần lượt là vectơ pháp tuyến của các đường thẳngd1vàd2 Khi đó:
cos(àd1,d2)=
¯
¯−→n1.−→n
2
¯
¯
¯
¯
¯−→n1
¯
¯
¯
¯
¯
¯−→n2
¯
¯
¯
(9)
• Độ dài vectơ−→u = (a;b)là: ¯
¯
¯−→u
¯
¯
¯ =pa2
Trang 16• Khoảng cách giữa hai điểmA(x A;y A),B (x B;y B)là:
AB =q¡
x B − x A
¢2
+¡
y B − y A
• Diện tích tam giácABC là:
S =1
2
r
¡
AB.AC¢2
−³−→AB −→
AC´2
(12)
• Khoảng cách từ điểmM (x0;y0)đến đường thẳngd : ax +by +c = 0được tính bằng công thức:
d(M ;d )=
¯
¯ax0+ by0+ c¯¯ p
a2
1.4 Phương trình đường tròn
• Đường tròn tâmI (a; b), bán kínhRcó dạng:
(x − a)2+ (y − b)2= R2 (14)
• Phương trình:
x2+ y2+ 2ax + 2by + c = 0, (a2+ b2− c > 0) (15) cũng là phương trình đường tròn với tâmI (−a;−b)và bán kínhR =pa2
+ b2− c
• Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểmM (x0;y0)
(x0− a)(x − x0)+ (y0− b)(y − y0)= 0 (16)
• Vị trí tương đối của đường thẳng∆và đường tròn¡C¢tâmI, bán kínhR
– Nếud(I ;∆) > R thì∆và¡C¢không cắt nhau
– Nếud(I ;∆) = R thì∆và¡C¢tiếp xúc tạiI′là hình chiếu củaI lênd
– Nếud(I ;∆) < Rthì∆và¡C¢cắt nhau tại hai điểmM , N Khi đó trung điểmH củaM N là hình chiếu củaI lênM N và
M N = 2
q
R2
− d(2I ,∆) (17)
1.5 Phương trình Elip
• Elip là tập hợp các điểmM di động thỏa mãnM F1+ MF2= 2avớiF1,F2cố định,F1F2= 2c,
a > c > 0là các số cho trước
• F1(−c;0),F2(c; 0)được gọi là tiêu điểm,F1F2= 2c được gọi là tiêu cự. M F1,M F2 là các bán
kính qua tiêu.
• Các điểm A1(−a;0), A2(a; 0), B1(0;−b), B2(0;b) được gọi là các đỉnh của elip Đoạn thẳng
A1A2= 2ađược gọi là trục lớn,B1B2= 2bđược gọi là trục nhỏ.
• Phương trình chính tắc của Elip có hai tiêu điểmF1(−c;0),F2(c; 0)là:
x2
a2+y
2
b2= 1 (18) Trong đóa > b > 0,b2
= a2− c2
Trang 17• Tâm saie = c
a
• Cho elip (E ) có phương trình chính tắc (18) Hình chữ nhật PQRS với P (−a;b), Q(a; b),
R(a; −b),S(−a;−b)được gọi là hình chữ nhật cơ sở của Elip.
• NếuM ∈ (E)vàM , F1,F2không thẳng hàng thì đường thẳng phân giác ngoài của gócFà1M F2
chính là tiếp tuyến của(E )tạiM
2 Một số kĩ thuật cơ bản
2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm
2.1.1 Dựa vào hệ điểm
Xác định tọa độ điểmM thỏa mãn điều kiện nào đó với hệ các điểmA1,A2, ,A n Đối với bài toán này, ta đặtM (x; y)và khai thác giả thiết
Cho tam giácABC có trọng tâmG(1; 2), trực tâmH (−1;3) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếpI của tam giác
Ví dụ 1
Lời giải
Giả sửI (x; y) Ta có:G H = (−2;1);−−→ G I = (x − 1; y − 2)−→ VìG H = −2−−→ G I−→nên:
−2(x − 1) = −2
−2(y − 2) = 1 ⇐⇒
x = 2
y =3
2
VậyI
µ
2;3
2
¶
2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm của hai đường
Giao của hai đường thẳng
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳngd1:ax + by + c = 0,d2:mx + ny + p = 0(nếu có) là nghiệm của hệ phương trình:
ax + by + c = 0
mx + ny + p = 0 (19)
Giao của đường thẳng và đường tròn
Cho đường thẳngd :
x = x0+ mt
y = y0+ nt và đường tròn(C ) : (x − a)2+ (y − b)2= R2 Tọa độ giao điểm (nếu có) củadvà(C )là nghiệm của hệ phương trình:
x = x0+ mt
y = y0+ nt
(x − a)2+ (y − b)2= R2
(20)