Tìm hiểu Định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp Nhật Bản, đất nước còn lưu giữ nhiêu bài toán cổ, có nững bài toán gần đây mới được thế giới biết đến.. Định lý Nhật Bản và 1 số định lý liê
Trang 1Tìm hiểu Định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp
Nhật Bản, đất nước còn lưu giữ nhiêu bài toán cổ, có nững bài toán gần đây mới được thế giới biết đến Do tính chất độc đáo của nó, bài toán dưới đây được mang tên “Đnhj lý Nhật Bản” NST xin giới thiệu, mời các bạn tham khảo
I Định lý Nhật Bản và 1 số định lý liên quan trong toán học
I.1- Nội dung định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp:
* Định lý Nhật Bản phát biểu:
Cho là một tứ giác nội tiếp và
lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp với các tam giác có đỉnh là 4
đỉnh và đáy là đường chéo của tứ giác (
) thì khi đó tứ giác tạo bởi bốn tâm điểm
là hình chữ nhật
* Phương pháp chứng minh:
- Người ta sử dụng định lý Carnot để
chứng minh định lý định lý Nhật Bản về
tứ giác nội tiếp
- Định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp được chứng minh là một mở rộng của định lý Nhãn Cầu
- Định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp có thể dùng để chứng minh trường hợp tổng quát hơn là định lý Nhật Bản cho một đa giác nội tiếp
I.2- Định lý Nhãn Cầu
* Định lý:
Cho hai đường tròn tâm (O1), (O1)
không cắt nhau Từ điểm O1 kẻ hai
tiếp tuyến đến đường tròn (O2) các
tiếp tuyền này cắt (O1) tại A,B Từ
điểm O2 kẻ hai tiếp tuyến đến đường
tròn (O1) các tiếp tuyền này cắt (O2)
tại C,D.
Khi đó bốn điểm A,B,C,D tạo thành một hình chữ nhật.
Trang 2Người ta đã chứng minh được địn lý
này với tứ giác ABC D và cả vơi tứ
giác A’B’C’D’(Xem phần dưới đây)
Có lẽ tên định lý đặt ra do liên hệ
với “Hình ảnh nhãn cầu”
* Chứng minh định lý nhãn cầu
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
Hình ảnh về nhãn cầu và tia sáng
Trang 3I.3-Định lý Carnot về tổng khoảng cách tâm ngoại tiếp đến ba cạnh tam giác Định lý Carnot này khẳng định tổng
khoảng cách có hướng 'từ tâm đường
tròn ngoại tiếp đến ba cạnh tam giác
chính bằng tổng bán kính của đường
tròn nội tiếp cộng ngoại tiếp
Với các ký hiệu như hình vẽ:
Trong đó:
r là bán kính đường tròn nội tiếp và
R là bán kính đường tròn ngoại
tiếp của tam giác
Khoảng cách có dấu được hiểu như sauDX (X = F, G, H) sẽ mang dấu âm khi
và chỉ khi nó nằm hoàn toàn bên ngoài tam giác
Trong hình vẽ DF mang dấu âm DG và DH mang dấu dương.
Định lý trên được sử dụng để chứng minh định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp
Ghi chú:
Có 4 định lý được đặt tên là định lý Carnot
- Định lý thứ nhất nói về tổng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến ba cạnh tam giác
- Định lý thứ hai nói về điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng vuông góc với
ba cạnh tam giác đồng quy, còn gọi là định lý Carnot về tam giác hình
chiếu
- Định lý thứ ba nói về điều kiện cần và đủ để sáu điểm trên một cạnh của tam giác nằm trên một đường conic gọi là định lý Carnot về đường conic
- Định lý thứ tư là một mở rộng định lý đường thẳng Simson
(Bài này xin chỉ đề cập 1 Định lý liên quan định lý Nhật Bản)
Trang 4II Xuát xứ & phát triển của “Định lý Nhật Bản”
II.1- Các Bài toán sangaku.
Những bảng gỗ được sơn đẹp đẽ dùng để trang hoàng nhiều ngôi đền cổ ở Nhật có những bài toán và các định lý hình học lý thú Chúng được gọi là “Bài toán
sangaku”, đơn giản nghĩa là các bài toán trong bảng Sangaku Ký tự trên các bảng
là một dạng chữ Hán cổ,
Các nhà toán học đánh giá: “Sangaku thật độc đáo Chúng không chỉ đặc biệt đẹp mà những bài toán đó cũng thường đặc biệt khó Và lời giải có thể rất thông minh Một số những bước người ta dùng để giải các bài toán đó ta chưa từng biết đến.”
Phần lớn các sangaku chỉ đơn giản đưa ra định lý và cung cấp một biểu đồ, nhưng chúng lại thiếu chứng minh Hoặc giả người Nhật thời ấy có cách chứng minh riêng, họ chưa có định lý Pytagor, định lý Viet…
Ngày nay, chúng ta có cách chứng minh trực tiếp nhất là dựa vào định lý
Carnot, định lý này chỉ được chứng minh ở phương Tây khoảng 100 năm sau khi người Nhật làm ra những sangaku
Định lý Nhật Bản có tên như vậy cũng xứng đáng !
Trang 5Đây là một loại “bài toán sangaku”
hình tròn với mỗi góc của nó nằm trên
đường tròn Chọn một trong những đỉnh
của đa giác và nối nó với các đỉnh khác,
chia đa giác này thành nhiều hình tam
giác Trong những hình tam giác này,
vẽ một đường tròn vừa chạm các cạnh
của tam giác.Tổng số các bán kính của
các hình tròn này sẽ là hằng số, không
cần biết bạn chọn đỉnh nào
Bài 2
Cho hình thoi ABCD ngoại tiếp hai
đường tròn có bán kính R và hai đường
tròn nhỏ có bán kính r như trong hình
Ta biết AC = 2a và BD = 2b
Tìm R và r theo a và b
Bài 3
Một hình thoi ABCD cạnh k và một đường
tròn nhỏ bán kính r nội tiếp trong tam giác
vuông EBF có cạnh là a, b, c
Tìm 2r theo a, b và c
Mời các bạn giải3 bài toán trên! Nếu chưa giải được mời tham khảo bài tiếp
PHH sưu tầm và biên chỉnh tổng hợp - 12/2015 Nguồn TK chính: VietMaths & Wikipedia.vn
