Đề tài Sáng tạo bài toán nguyên hàm Tích phân bằng cách khai thác các bai toán đặc biệt và biến đổi qua nhiều phép tính. ______________________________________________________________50551

Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học

A- MỞ ĐẦU:

1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình Toán phổ thông ,Tích phân là một trong những phần quan trọng của môn Giải tích lớp 12 Các bài toán tích phân rất đa dạng và phong phú, thường có mặt trong các kì thi tốt nghiệp , thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng Đây là những bài tập gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình

Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng bộ môn, đặc điểm đối tượng học sinh , điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác ; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập của học sinh”

Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần nâng cao được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả năng phát hiện

ra những bài toán mới từ những bài toán đã có; cần khơi dậy và phát triển tiềm năng sáng tạo còn tiềm ẩn trong mỗi học sinh

Bài viết này tôi xin đưa ra một biện pháp được áp dụng trong khi dạy chủ

đề tự chọn Nguyên hàm-Tích phân lớp 12 là “sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ bản”, nhằm giúp các em học sinh có kiến thức sâu , rộng về tích phân; có thêm nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng , và giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo

2 Đối tượng nghiên cứu:

- Học sinh lớp 12 trường THPT Quang Trung

- Kiến thức về Nguyên hàm và Tích phân; Kỹ năng tìm Nguyên hàm và tính Tích phân

-Giải pháp giúp học sinh lớp 12 học tốt Tích phân

3 Phạm vi của đề tài:

Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12A trường THPT Quang Trung,vào các tiết tự chọn thuộc chủ đề Nguyên hàm-Tích phân

4 Phương pháp nghiên cứu:

a) Nghiên cứu tài liệu:

Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:

- Sách giáo khoa Giải tích lớp 12

- Tài liệu tham khảo

b) Điều tra:

- Thực dạy và kết quả kiểm tra:

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực dạy các lớp 12: +Năm học 2008-2009: Lớp 12A: đối chứng

+Năm học 2011-2012: Lớp 12A: thực nghiệm

- Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết và khả năng giải toán tích phân của học sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp,

từ đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình

- Đàm thoại:

+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp với phân môn

+ Trao đổi với các em học sinh về các bài toán tích phân mới để biết được cách tìm ra hướng giải bài toán của các em, từ đó có cách dạy tốt hơn

c)Giả thuyết khoa học:

Nếu học sinh tìm ra được bài toán mới thì các em cảm thấy hăng say, tích cực , tự tin , và kết quả kiểm tra cho thấy các lớp thực nghiệm vẫn cao hơn

B-NỘI DUNG :

1.Cơ sở lí luận:

Có nhiều bài tập tích phân và ví dụ trong SGK khi giải xong học sinh vẫn chưa hiểu tại sao lại giải như vậy, và những bài toán như thế nào thì vận dụng phương pháp giải đó Và khi gặp bài toán có một số điểm tương tự với bài toán

đã giải là học sinh cứ mặc nhiên vận dụng mà không phát hiện ra sự nhầm lẫn của mình Nhiều giáo viên đã đưa ra được nhiều phương pháp giải quyết vấn đề

đó có hiệu quả như: Phân dạng bài tập theo phương pháp giải và giải nhiều bài tập cho học sinh ghi nhớ Theo phương pháp này đôi khi học sinh cảm thấy sợ

vì phải ghi nhớ quá nhiều; thậm chí có học sinh tưởng mình biết tất cả các phương pháp giải rồi dẫn đến không còn hứng thú trong giải các bài toán tích phân mới

2 Cơ sở thực tiễn:

a) Thực trạng việc dạy của giáo viên:

Có một số giáo viên đã vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo nhưng thường dừng lại ở mức độ nhỏ lẻ như khai thác những bài toán tương tự, tìm và giải bài toán tổng quát

b) Thực trạng việc học của học sinh:

Đa số học sinh chỉ biết giải các bài tập tích phân tương tự với những bài

mà mình đã giải rồi, và bế tắc khi gặp bài toán tích phân mới Nhiều học sinh không hề có chút suy nghỉ tìm lời giải khi gặp những bài toán tích phân mới

Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2008-2009:

Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu

c)Sự cần thiết của đề tài:

Qua phân tích thực trạng việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên, tôi nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giới thiệu những kinh nghiệm và phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu quả dạy tích phân cho học sinh lớp 12

3 Nội dung vấn đề:

a)Vấn đề được đặt ra:

Hiện nay cách dạy mới là làm sao phát huy được tính tích cực , chủ động

và sáng tạo của học sinh trong học tập và rèn luyện Để phát huy điều đó, chúng

ta cần phải đưa ra được những phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập, để đem lại kết quả trong học tập tốt hơn ,và hiệu quả giảng dạy cao hơn

b)Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

Để hoàn thành đề tài, tôi đã tiến hành các bước sau: Chọn đề tài; Điều tra thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương và lập kế hoạch;Tiến hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài

c)Các bước sáng tạo bài toán :

Trước tiên ta bắt đầu từ bài toán tính nguyên hàm của một hàm số thường gặp mà không có trong bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp của sách giáo khoa Giải tích 12 đó là hàm số y lnx:

Bài toán 1: Tính : I lnxdx

Giải:

1 ln

x

dv dx

v x





   I xlnxdxxlnx x C

+Hướng sáng tạo một:

1.1) Tính : ln ( )f x dx ( với f x( )là một trong các dạng hàm số thường gặp):

'( )

ln ( )

( )

f x

f x

dv dx

v x

 



'( )

ln ( ) ln ( )

( )

xf x

f x

+Khai thác bài toán quen thuộc ( đặc biệt ):

Ta xem '( ) là một trong các nguyên hàm đặc biệt cần bổ sung cho học

( )

xf x

dx

f x



sinh thì ta phải lựa chọn biểu thức f x( )

Chẳng hạn:

1.1.1) Để củng cố tích phân của hàm số hữu tỉ dạng: dx , ,

ax b

dx

ax bx c



, ( với P(x) là đa thức có bậc ), Ta chọn

2

(mx n dx)

ax bx c



 

( )

P x dx

x ax bx c

là đa thức

( )

f x

Ví dụ 1: Tính :

a) ln(ax b dx ) , (a 0) ; b) 2 , ( )

ln(ax bx c dx )

0, 4

a b  ac

Giải

a

ax b

dv dx

v x



ln(ax b dx) xln(ax b) ax dx xln(ax b) (1 b )dx

a

2

2

2

ax bx c

dv dx

v x







2

2

2

2

2

2

ax bx

ax bx c

bx c

ax bx c



 



 



2 2



2

2

 



Tìm 2 dx (Xem mục 4.5)

ax bx c



Ví dụ 2: Tính

ln(2x  3x 1)dx

ln(x  1)dx



Giải:

2

2

4 3 ln(2 3 1)

x

dv dx

v x





 



2

2

2

2

3 2

x



 





x dx



ln(2 3 1) 2 ln 1 ln 2 1

2

3 4

4

4 ln( 1)

1

x

x

dv dx

v x







4

4

4 ln( 1) ln( 1)

1

x

x



Tính 41

1dx

x 



Ta tính :

2

2 2

1

1

1

2

x

  

ii)

2

2 2

1

1

1

2

x

x

  

1 ln 2

t

C t





Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:

1

0

ln(3x 1)dx

0

ln(x  1)dx

0

ln(x  x 1)dx

1

ln(x  2x 2)dx



1

2

1

ln(x 2x 5)dx



1

ln(x  1)dx



Giải:

3 ln(3 1)

3 1

x

dv dx

v x





1

0

( ln(3 1) ln(3 1)) ln 2 1

x

2

2

2 ln( 1)

1

x

x

dv dx

v x







1 1 2

2 0

0

1 ( ln( 1) 2 ) 2

1

x

x





Tính 1 1 2 (Ví dụ 5- trang 108 –Giải tích 12).

0

1 1

x







2

2

2 1

1

x

x x

dv dx

v x





 



2

x

x x

x x





 



2

1

x x

x

(1 tan ) 2

2

2

2

6

3 (tan 1)

2

tan

t dt

t









Vậy 3ln 3 2 3

Chú ý: Trường hợp tam thức bậc hai có nghiệm ta có thể làm theo cách sau:

2

ln(ax bx c dx )  ln[ (a xx)(xx )]dxxln a  ln xx dx ln xx dx

Ví dụ 4: Tính tích phân :

3

2

4

ln(x 3x 2)dx





0

ln( 4 4)

I  x  x dx

1.1.2)Ta có thể củng cố một số dạng Tích phân của hàm số vô tỉ bằng cách

thay f x( ) là hàm số vô tỉ:

Ví dụ 5: Tính

a) ln( x  1 x 1)dx ; b) ln(1  x 1 x dx) ;

Giải:

1

x

dv dx

v x

 





2 1

x

x





1

dv dx

v x





2

2





x

x x





x

x





Tính

1

x dx x





Đặt 2 2 22 2

Suy ra =

1

x dx x



2 (1 )

t

t





Đặt

t





 22 2 2 12 2 1ln1



Ví dụ 6: Tính tích phân

1

0

ln(1 )

0

0

I x x x  dx

x adx



Giải:

a)Đặt

1 ln(1 )

du

dv dx

v x

 



1 0

1

2

Tính

1

0 1

x

x







t  x x     t x t dx t dt

Với x   0 t 1;x   1 t 2;

2 2

1

(2 4 ) ( 4 2 ln ) 1 2 ln 2

t



Vậy 1

2

I 

t  x  x t dx t dt

Với x   0 t 1;x   1 t 2;

2

1

2( 1) ln

I  t tdt

2

1 ln

2( 1)

2

u

t

 



2

2 2

1

1 (( 2 ) ln ) ( 2) ( 2 )

t

I  t  t t  t dt  t 

2

2

1

9

x

dv dx

v x

 





4

2

0

9

x

x





1.1.3)Và ta có thể tạo ra một số bài tích phân khác củng bằng cách thay f x( ) bởi hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số lôgarit như sau:

Ví dụ 7: Tính tích phân

4

ln(sin ) cot





0

ln(cos )

1 cos 2

x

x







Giải:

ln(sin ) cot

Tính 2 

4

ln(sin )x dx









4 4

ln(sin )x dx ( ln(sin ))x x









4

cot

x x dx







Cách 2: Tính 2 

4

cot

x x dx







ln sin cot

du dx

u x







4

cot ln(sin ) ln(sin )





ln(sin ) ln 2 ln(sin ) ln 2

ln(cos )

1 cos 2

x

x

0

ln(cos )



 u dvln(cos )dx x du v  x tanxdx

1 ( ln(cos ))0



0

tan

x x dx



0

ln 2 tan





  

2 4

2

0 1 cos 2

x

x





1 1

tan 2

1 cos 2

du xdx

u x

x





2

4 2

1





Vậy (ln 2 )

Bài tập: Tính các tích phân

1

0

ln( 1)

1

x

x

x

e



1 ln(ln )

(ln )

e e

x



3

6

ln(tan ) tan

tan

x

x





0

ln(1 tan )



  Hướng dẫn:

ln( 1)

1

x

x

x

e



0

ln(e x 1) dx



x x

x

e

e

dv dx

v x







1

1 0 0

ln(e x 1) dx ( ln(x e x 1))



1

ln( 1)

1 ln(ln )

(ln )

x

e

e

I   x dx u ln(ln )x u xln1 x

dv dx

v x



e

(ln )

e

e

x



2





2

2

x

t   x dt dx x  t  x  t

4 0

2

t





Vậy ln 2

8

I 



+ Hướng sáng tạo hai:

1.2) Dạng  f x( ).lnxdx

1.2.1)Tính 1.ln xdx

x



x

1.2.2)Tính  f x( ).lnxdx ( với f x( ) 1)

x



Đặt ln 1 ( với F(x) là một nguyên hàm của f(x))

( )

( )

x

dv f x dx

v F x



Suy ra f x( ).lnxdx F x( ) lnx F x( )dx

x

+Từ đó ta nghỉ ngay đến tích phân F x( ) là một trong các tích phân cần phải

dx x



củng cố thêm cho học sinh như : 1 34 24 , thì ta sẻ xây dựng được một số

(1 )

x dx x







tích phân mới :

Ví dụ: Tính tích phân

a) (1 3 44 2) ln ; b) (ĐH2013A)

(1 )

dx x





1

1 ln



x

x

Giải:

4 2

4

1 ln

1 3 (1 )

1

x x

v x

x







4

ln

(Chú ý: Tính

)

2

1 ln

1

1

x x

v x x

x







2

+ Nếu f x( ) một trong số các số hàm số thường gặp để tạo ra các tích phân mới :

Ví dụ 8: Tính các tích phân

2

1

1 (ln )

x

x

6

1 (ln ) cos

x







Giải:

cos

x

6

(ln ) cos







1 ln

cos

sin

x



2 2 1

6 6

sin

x









2

6

cos x

x





  

2

2 2 2

6 6

cosx sinx





 

    

6

sin ln





6

cos x x







2

3

cos

x





4

ln tan cos







2

2

4

ln cot

sin





6

ln(cos )

x







3

6

ln(sin )

x





1

ln

e

I  xdx

1.3)Dạng u x'( ) ln ( )u x dx

Ta có u x'( ) ln ( )u x dxlnuduu.lnu u C  ( với u x( )là một trong các hàm số thường gặp), ví dụ:

a) ; b ) ; c)

1

2 0

ln( 1)

6

cos ln(sin )







; d) ;

3

0

sin ln(cos )



0

ln( 1)

I e e  dx

e) ln(ln ) ; g) ;

e

e

x

x

6

ln(tan ) cos

x

x







h) ; i)

3

2

6

ln(cot )

sin

x

x





0

I   x  x  dx

1.4)Tìm một số tích phân dạng b (ln ) ( với là một trong các hàm số

a

f x

dx x

thường gặp), ví dụ:

e

e

x

x





b) 1 ; ( );

ln

e

e

x x

2

1 ln ln

e e

x x

x x



 

1

2 ln 3

(ln 4)

e

x

x x







1

1 (ln 4)

e







1

1

e

x

x





1

1

(1 ln )

e





1

1 ln

e

x

x





2 1

1

1 ln

e





1

1 ln

e

x

x





1

ln(1 1 ln )

e

x

x

1

ln(ln 1 ln )

e

x

 



2

2

4

ln 1

(ln 1)

e

e

x









2

2 4

ln 1 (ln 1)

e e

x









2

4

1 (ln 1)

e

e









 loga u x dx( )





 f x( ).loga xdx



 u x'( ) loga u x dx( )





(với , là một trong các hàm số thường gặp), ví dụ:

(loga )

dx

x



 u x( ) f x( )

a) ; ;

2

2

1

log

0

log (3 1)

I  x dx

1

2 2

0

log ( 1)

2 0

log ( 3 2)

I  x  x dx

2

2 1

I x  xdx    2 2

2 1

(3 2 5) log

I  x  x xdx

1

2 2

0

log ( 1)

6

cos log (sin )







2

2 6

sin log (cos )





2 6

log (tan ) cos

x

x







3

2

2

6

log (cot )

sin

x

x





e

x

x

 

4

2

log (1 log 1)

x



4 log 1 (2 2 log 1)

x







2

2

log 8

( log 2 2)

x





 



Do học sinh không được làm quen với cách đặt xacost hoặc xasint

trong những bài toán giải phương trinh vô tỉ có chứa biểu thức ax, ax và

nên còn khó hiểu khi giải bài toán sau đây:

2 2

a x

Bài toán 2.Tính các tích phân sau: (Bài tập SGK)

a) 1  ; b) ( với )

0

2

1 x dx

I

2

2 2 0

1

a

a x





Giải:

a)Đặt x sint, với [0; ], ta có :

2

t 

cos

và với x 0 thì t 0, với x 1 thì Ta được:

2

t 



0

1 sin cos cos (1 cos 2 ) ( sin 2 )



b)Đặt xasint, với [0; ], ta có :

6

t 

cos

dxa tdt

và với x 0 thì t 0, với thì Ta được:

2

a

x

6

t 



6 0 2

1

.cos

6

1 sin

t

 



Sau khi giảng giải cho học sinh hiểu một cách tường minh bài toán trên là tại sao lại chọn cách đặt đó mà không lựa chọn cách đặt khác Thì ta có thể bắt đầu với các bài toán mới như sau :

2.1)Qua bài toán trên ta thấy xuất hiện các biểu thức lượng giác sin t và cos t

thay thế vị trí của biến và x a2x2 ; và bài toán tích phân hàm số vô tỉ được chuyển thành bài toán tích phân hàm số lượng giác Chính vì thế mà ta nghĩ ngay đến việc thay thế các biểu thức sin t và cos t trong các bài toán tích phân hàm số lượng giác đơn giản bởi biến và x a2x2 để được các bài toán tích phân mới ,ví dụ :

1) a) 1   ; (

0 1 1 2

1

dx x I

)

2

t



1

2 0

1

x





2) a) 1   ; b) ;

1

dx x x

I

1

2 0

1 4





2 2 0

1

a



2 2 0

1

a



1

2 0

2 1

x



x





2

2 2 0

a

x



2

0 4

x

x





2011 2 1

2012

0

1

1

x







1

2012 2 2012

0

1

2 2012 2

2

x

x





1

3 0

1 3 4

0

I  x  x dx

1

0

I  x  x  x dx

Lưu ý: Nếu đặt xasint thay vào các bài toán tích phân có chứa biểu thức 2 2 thì ta có thể chọn một trong các giá trị của cận tương ứng trong

a x

bảng

6



4



3



2



2

2

2

Theo cách trên ta đã đưa ra được một loạt các bài tập tương tự với bài toán

đã cho (bài toán 2) Ta tiếp tục với việc tìm kiếm bài toán ẩn chứa trong đó là bài toán 2) như sau:

2.2)Vì hàm số 2 2 là một hàm số chẵn nên ta nghĩ ngay đến bài toán

( )

f x  a x

(với và là hàm số chẵn trên đoạn [ ] )











) ( 1

)

(

dx x f dx

a

x

f

(Chứng minh xem bài toán 5), và chọn một số hàm số chẵn đơn giản có chứa

biểu thức a2 x2 để tạo ra các tích phân mới :

2 2

1

a

x

a

a x

a









2

4

2x 1

x











2 2

1

e

e

e x

e









a

a









; f)

2

1

2 4

1 2

x

x

x









e

e











2.3)Kết hợp với bài toán:    (với , là hàm







) ( )

1 ln(

) (x e dx xf x dx

số lẻ trên đoạn [ ; ])(Chứng minh xem bài toán 5.7), ta chọn một số hàm số lẻ

đơn giản có chứa biểu thức 2 2 , ta được các tích phân mới :

a x

ln( 1)

a

x a



1 1

1 ln( x 1)



2

2 2

2

4 ln( x 1)



2

2 2 2

ln( 1)

a

x a

x e

a x









2 1

ln( 1) 4

x

x e

x











2

2 2 2

ln( 1)

e

x e

e

x e

e x











2.4)Nếu thay thế biểu thức 2 2 bởi cặp biểu thức và ta có các

tích phân mới , ví dụ :

a) ( với ); ;

2

0

a

a x

a x







1 2 1 0

1 1

x

x









1

2

0

2

2

x

x









2

0

a

a x

a x







1 2 1 0

1 1

x

x









1

2

0

2

2

x

x









0

1

a



0

1





2

2

0

1





2

1

a

a



1 2

1





2

2

1

1





2.5)Từ các bài toán tích phân 2.4) ta đưa ra các bài toán tích phân có chứa một trong các biểu thức ax , ax nhưng giải được theo phương pháp đặt

( hoặc ) , để ghép vào như :

t ax t ax