TR NG THPT CHUYÊN
H NG YÊN
BAN CHUYÊN MÔN
THI TH K THI THPT QU C GIA 2015
Môn thi: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ
Câu 1 (2,0 đi m). Cho hàm s y x= 3+3mx 2 + (1), v i m là tham s th c. 2
a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 1.
b) Tìm m đ đ th hàm s (1) có hai đi m c c tr A, B sao cho di n tích tam giác OAB b ng 2
(O là g c t a đ ).
Câu 2 (1,0 đi m). Gi i b t ph ng trình ( ) ( 1 )
log 4x+4 ≥log 2x+ −3 log 2 − x .
Câu 3 (1,0 đi m).
a) G i A, B là hai đi m bi u di n cho các s ph c là nghi m c a ph ng trình z2 +2z + =3 0 Tính
đ dài đo n th ng AB.
b) Trong kì thi THPT Qu c gia n m 2015, m i thí sinh có th d thi t i đa 8 môn: Toán, Lý, Hóa, Sinh, V n, S , a và Ti ng anh. M t tr ng i h c d ki n tuy n sinh d a vào t ng đi m c a
3 môn trong kì thi chung và có ít nh t 1 trong hai môn là Toán ho c V n. H i tr ng i h c đó
có bao nhiêu ph ng án tuy n sinh?
Câu 4 (1,0 đi m). Tính tích phân 2
0
sin cos 2 3cos 2
x
π
=
∫
Câu 5 (1,0 đi m). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đi m A( 4;2;2 , 0;0;7 ) ( B ) và
d − = − = −
− . Ch ng minh r ng hai đ ng th ng d và AB cùng thu c m t
m t ph ng. Tìm đi m C thu c đ ng th ng d sao cho tam giác ABC cân đ nh A.
Câu 6 (1,0 đi m). Cho l ng tr đ ng ABC A B C có đáy là tam giác cân, AB AC a ' ' ' = = ,
· 120 0
BAC = M t ph ng (AB'C') t o v i m t đáy góc 60 0 . Tính th tích l ng tr ABC.A'B'C' và kho ng cách t đ ng th ng BC đ n m t ph ng ( AB C theo a hoctoancapba.com ' ' )
Câu 7 (1,0 đi m). Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình vuông ABCD có A − ( 1;2 ) . G i M,
N l n l t là trung đi m c a c nh AD và DC; K là giao đi m c a BN v i CM. Vi t ph ng trình
đ ng tròn ngo i ti p tam giác BMK, bi t BN có ph ng trình 2x y + − =8 0 và đi m B có hoành
đ l n h n 2.
Câu 8 (1,0 đi m). Gi i h ph ng trình ( )
( )
,
x y
ℝ
Câu 9 (1,0 đi m). Cho x y z là các s th c d ng th a mãn , , 5( x2+y2+z2 ) =9( xy+2 yz zx + ) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
( ) 3
2 2
1
x
P
H t
C m n b n MathLove (lovemaths.@yahoo.com.vn ) đã g i t i www.laisac.page.tl
Trang 21 a) Kh o sát hàm s y x= 3+3mx 2 + 2
V i m = 1, ta có hàm s : y = x 3 + 3x 2 + 2
*) TX : ℝ
*) S bi n thiên:
+) Gi i h n t i vô c c: lim
→±∞ = ±∞
0,25
+) Chi u bi n thiên:
y' = 3x 2 + 6x ⇒ y' = 0 ⇔ x = 0 ho c x = 2
B ng bi n thiên:
y
2
∞
0,25
⇒ hàm s đ ng bi n trên (∞; 2) và (0; +∞); hàm s ngh ch bi n trên (2; 0)
hàm s đ t c c đ i t i x = 2, yC = 6; hàm s đ t c c ti u t i x = 0, yCT = 2 0,25
*) th :
Nh n xét: đ th hàm s nh n đi m
I(1; 4) làm tâm đ i x ng.
0,25
b) Tìm m đ đ th hàm s (1) có hai đi m c c tr A, B sao cho di n tích
tam giác OAB b ng 2
V i m i x ∈ ℝ , y' = 3x 2 + 6mx ⇒ y' = 0 ⇔ x = 0 ho c x = 2m
hàm s có c c đ i, c c ti u thì ph ng trình y' = 0 có hai nghi m phân bi t
⇔ m ≠ 0 Khi đó, t a đ các đi m c c tr là: A(0; 2); B(2m; 4m 3 + 2)
0,5
SOAB = 1 ⇔ OA.d(B;OA) = 4 ⇔ 2 2 1
1
m
m
m
=
− = ⇔ = −
(th a mãn)
V y v i m = ± 1 thì hàm s có 2 c c tr th a mãn bài.
0,5
log 4x+4 ≥log 2x+ −3 log 2 − x
6
4
2
2
Trang 3( ) ( )
1
2 1
+
+
( )
2 1
4 3.2 4 0
2
2 4
x
x
L
x
+
≤ −
≥
V y BPT có t p nghi m: S = [ 2;+∞ )
0,5
3 a) Xét ph ng trình: z2 +2z + = 3 0
D' = 1 3 = 2 = ( ) 2
2
i
Ph ng trình có hai nghi m: z1= − +1 i 2;z2 = − − 1 i 2 0,25
⇒ A( −1; 2 ;) ( B − −1; 2 )
b) TH1: Tr ng H ch xét 1 trong 2 môn Toán ho c V n:
Có: 2
6
TH2: Tr ng H xét c hai môn Toán và V n:
Có: 1
6
1.C = (cách) 6
4
2
t cosx = t ⇒ dt = sinxdx
V i x = 0 ⇒ t = 1; v i x =
2
π
⇒ t = 0
0,25
( )( )
2
2
=
1
0
t
t
+
+
Trang 45 ng th ng d có véct ch ph ng u − r ( 2;2;1 ) và đi qua M(3;6;1)
ng th ng AB có véct ch ph ng uuurAB − − ( 4; 2;5 )
( 1;4; 1 )
AM − −
uuuur
Ta có: u AB r uuur, = ( 12;6;12 ) ⇒ u AB AM r uuur, .uuuur = −12 24 12 0 + − =
V y AB và d đ ng ph ng
0,5
( 3 2 ;6 2 ;1 )
C d∈ ⇒C − t + t + t
Tam giác ABC cân t i A ⇔ AB = AC
⇔ (1 + 2t) 2 + (4 + 2t) 2 + (1 t) 2 = 45
⇔ 9t 2 + 18t 27 = 0 ⇔ t = 1 ho c t = 3
V y C(1; 8; 2) ho c C(9; 0; 2)
0,5
6
+ Xác đ nh góc gi a (AB'C') và m t đáy là · AKA ' ⇒ ·AKA ' 60 = 0 .
Tính A'K = 1 ' '
a
A C = ⇒ ' ' tan 60 0 3
2
a
AA = A K =
3 ' ' ' =AA'.S 3
8
0,5
+) d(B;(AB'C')) = d(A';(AB'C'))
Ch ng minh: (AA'K) ⊥ (AB'C')
Trong m t ph ng (AA'K) d ng A'H vuông góc v i AK ⇒ A'H ⊥ (AB'C')
⇒ d(A';(AB'C')) = A'H
Tính: A'H = 3
4
a
V y d(B;(AB'C')) = 3
4
a
0,5
H
K C' B'
A'
C
B A
Trang 57 G i E = BN ∩ AD ⇒ D là trung đi m c a AE
D ng AH ⊥ BN t i H ⇒ AH d A;BN ( ) 8
5
Trong tam giác vuông ABE: 1 2 12 12 5 2
2
0,25
B ∈ BN ⇒ B(b; 8 2b) (b > 2)
Ph ng trình AE: x + 1 = 0
E = AE ∩ BN ⇒ E(1; 10) ⇒ D(1; 6) ⇒ M(1; 4) 0,25
G i I là tâm c a (BKM) ⇒ I là trung đi m c a BM ⇒ I(1; 3)
BM
2
= = V y ph ng trình đ ng tròn: (x 1) 2 + (y 3) 2 = 5. 0,25
( )
K: y ≥ 1
Xét (1): ( 1−y x) 2+2y2 = +x 2y+ 3 xy
t x2 +2y2 =t t ( ≥ 0 )
Ph ng trình (1) tr thành: t2 + −( 1 y t x) − 2−2y2 − −x 2y−3xy = 0
D = (1 y) 2 + 4(x 2 + 2y 2 + x + 2y + 3xy) = (2x + 3y + 1) 2
1
t x y
+ = − − −
= − − −
⇒ = + ⇔ + = +
0,5
V i x2+2y2 = − − − , thay vào (2) ta có: x y 1
2
1
y
≥ −
⇒ x2 = − −x (vô nghi m) 1
0,25
H
E
K
N
M
B A
Trang 6V i x2+2y2 = + , ta có h : x 2 y
1 5
1 5
2
x
− −
=
+ = −
+
V y h ph ng trình có nghi m ( ); 1 5 1; 5
x y = − − +
0,25
9 T đi u ki n: 5x 2 + 5(y 2 + z 2 ) = 9x(y + z) + 18yz hoctoancapba.com
⇔5x 2 9x(y + z) = 18yz 5(y 2 + z 2 )
Áp d ng B T Côsi ta có: yz 1( y z ;y) 2 2 z2 1 ( y z ) 2
⇒ 18yz 5(y 2 + z 2 ) ≤ 2(y + z) 2 .
Do đó: 5x 2 9x(y + z) ≤ 2(y + z) 2 ⇔ [x 2(y + z)](5x + y + z) ≤ 0
⇒ x ≤ 2(y + z)
2 2
P
t y + z = t > 0, ta có: P ≤ 4t 1 t 3
27 Xét hàm ⇒ P ≤ 16.
V y MaxP = 16 khi
1
y z
12
1
x
3
= =
=
C m n b n MathLove (lovemaths.@yahoo.com.vn ) đã g i t i www.laisac.page.tl