Đề thi học sinh giỏi lớp 9 huyện Hoằng Hóa năm học 20142015 môn thi: Toán49530

Chứng mινη rằng: Ταm γι〈χ ΑΕΦ đồng dạng với ταm γι〈χΑΒΧ; ΑΕΦ χοσ2.. Chứng mινη rằng: ΗΑ ΗΒ ΗΧ 3... Học σινη giải bằng χ〈χη κη〈χ đúng vẫn χηο điểm tối đa tương ứng.. Κηι đó phương τρνη

36ξ 5 ψ

Α 

(Đề τηι ν◊ψ χ⌠ 5 β◊ι, gồm 01 τρανγ)

Β◊ι 1: (4,0 điểm)

2

.

ξ

Π



α Ρτ gọn Π

β Τm γι〈 trị nhỏ nhất của Π

χ Ξτ biểu thức: 2 chứng tỏ 0 < Θ < 2

,

ξ Θ Π



Β◊ι 2: (4,5 điểm)

α Κηνγ δνγ m〈ψ τνη ηψ σο σ〈νη : 2014 2015 ϖ◊

β Τm ξ, ψ, ζ, biết: 4ξ2 + 2ψ2 + 2ζ2 – 4ξψ – 2ψζ + 2ψ – 8ζ + 10  0

χ Giải phương τρνη: 1 5

4.

Β◊ι 3: (4,0 điểm)

α Với  3 Τνη γι〈 trị của biểu thức: Β =

.



3ξ  8ξ  2

β Τm tất cả χ〈χ cặp số νγυψν (ξ ; ψ) với ξ > 1, ψ > 1 σαο χηο

(3ξ+1) ψ  đồng thời (3ψ + 1) ξ.

Β◊ι 4: (6,0 điểm)

Χηο ταm γι〈χ ΑΒΧ χ⌠ βα γ⌠χ nhọn với χ〈χ đường χαο ΑD, ΒΕ, ΧΦ cắt νηαυ tại Η

α Chứng mινη rằng:

Ταm γι〈χ ΑΕΦ đồng dạng với ταm γι〈χΑΒΧ; ΑΕΦ χοσ2 .

ΑΒΧ

Σ

Α

β Chứng mινη rằng :  2 2 2 

χ Χηο biết ΑΗ = κ.ΗD Chứng mινη rằng: τανΒ.τανΧ = κ + 1

δ Chứng mινη rằng: ΗΑ ΗΒ ΗΧ 3

ΒΧ  ΑΧ ΑΒ 

Β◊ι 5: (1,5 điểm)

Χηο ξ, ψ λ◊ χ〈χ số tự νηιν κη〈χ 0, τm γι〈 trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hết

Họ τν τη σινη: Chữ κ của γι〈m thị:1:

Số β〈ο δανη: Chữ κ của γι〈m thị 2:

Γι〈m thị κηνγ giải τηχη γ τηm

ΠΗΝΓ ΓΙℑΟ DỤC & ĐÀO TẠO

NĂM HỌC 2014−2015 ΜΝ ΤΗΙ: ΤΟℑΝ Νγ◊ψ τηι: 21/10/2014

Thời γιαν: 150 πητ ( Κηνγ kể thời γιαν γιαο đề)

ΠΗΝΓ ΓΙℑΟ DỤC & ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG ΗΟℑ HƯỚNG DẪN ΤΗΙ HỌC ΣΙΝΗ GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2014−2015 ΜΝ : ΤΟℑΝ

Hướng dẫn chấm ν◊ψ χ⌠ 03 τρανγ

Ι Ψυ cầu χηυνγ:

1 Học σινη giải bằng χ〈χη κη〈χ đúng vẫn χηο điểm tối đa tương ứng

2 Β◊ι ηνη học σινη κηνγ vẽ ηνη hoặc vẽ ηνη σαι cơ bản τη κηνγ χηο điểm

ΙΙ Ψυ cầu cụ thể:

a.(2,0đ) Đk : ξ 0;ξ 1.

1

Π

Vậy Π ξ ξ 1, với ξ 0;ξ 1.

0,25 0,5 0,5

0,5 0,25

β (1,0đ) 1 2 3 3

1

Π ξ ξ  ξ   

dấu bằng xảy ρα κηι ξ = …, thỏa mν đk

Vậy ΓΤΝΝ của Π λ◊ κηι 3

4

1 4

ξ

0,25

0,5 0,25

1

χ (1,0đ).Với ξ 0;ξ 1 τη Θ = 2 > 0 (1)

1

ξ

ξ ξ

2

ξ ξ



Dấu bằng κηνγ xảy ρα ϖ điều kiện ξ 1 συψ ρα Θ < 2.(2)

Từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα 0 < Θ < 2

0,25 0,25 0,25

0,25

2014 2015 2015 1 2014 1

2014 2015

Vậy 2014 2015 >

0,5

0,75 0,25 2

β Πην τχη được τη◊νη (2ξ − ψ)2 + (ψ – ζ + 1)2 + ( ζ − 3)2  0 (1)

ς (2ξ − ψ)2  0; (ψ – ζ + 1)2  0; ( ζ − 3)2  0 với mọi ξ, ψ, ζ νν từ

(1) συψ ρα ξ = 1; ψ = 2; ζ = 3

0,75 0,75

χ Đk: ξ > − 3

Κηι đó phương τρνη đã χηο tương đương với 0,25

0

Dο đó 4ξ + 11 = 0 ξ =  11 thỏa mν điều kiện

4

 Vậy tập nghiệm của phương τρνη λ◊: 11

4

Σ   

0,5

0,25

0,25 0,25

α Τα χ⌠   3    

3

2

3

ξ

 

Dο đó Β = − 1

1,25 0,75 3

β Dễ thấy ξ ψ Κηνγ mất τνη tổng θυ〈τ, giả sử ξ > ψ

Từ (3ψ + 1) ξ   ∗

3ψ 1 π ξ π Ν .

ς ξ > ψ νν 3ξ > 3ψ + 1 = π.ξ  π < 3 Vậy π 1; 2

 Với π = 1: ξ = 3ψ + 1 3ξ + 1 = 9ψ + 4 ψ 4 ψ     

Μ◊ ψ > 1 νν ψ 2; 4

+ Với ψ = 2 τη ξ = 7

+ Với ψ = 4 τη ξ = 13

 Với π = 2: 2ξ = 3ψ + 1 6ξ = 9ψ + 3 2(3ξ + 1) = 9ψ + 5  

ς 3ξ + 1 ψ νν 9ψ + 5 ψ συψ ρα 5 ψ , m◊ ψ > 1 νν ψ = 5,   

συψ ρα ξ = 8

Tương tự với ψ > ξ τα cũng được χ〈χ γι〈 trị tương ứng

Vậy χ〈χ cặp (ξ; ψ) cần τm λ◊: (7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13);(13;4);

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25

Ταm γι〈χ ΑΒΕ ϖυνγ tại Ε νν χοσΑ = ΑΕ

ΑΒ

0,25 0,25

A

F

E

H

D

Ταm γι〈χ ΑΧΦ ϖυνγ tại Φ νν χοσΑ = ΑΦ

ΑΧ

Συψ ρα ΑΕ=

ΑΒ

ΑΦ

ΑΧ  ΑΕΦ ฀ ΑΒΧ χ γ χ( )

∗ Từ ΑΕΦ฀ ΑΒΧ συψ ρα

2 2 χοσ

ΑΕΦ ΑΒΧ

Α

0,25

0,75

β Tương tự χυ α, 2 2

ΒDΦ

Σ Σ

Từ đó συψ ρα

Σ

0,5

0,75 0,25

χ Τα χ⌠: τανΒ = ΑD ,τανΧ = Συψ ρα τανΒ.τανΧ =

ΒD

ΑD ΧD

2

.

ΑD

ΒD ΧD

ς ΑΗ = κ.ΗDΑDΑΗΗDκ 1 ΗD νν 2  2 2

1

(1)

Dο đó τανΒ.τανΧ = 2 2 (2)

1

ΗD κ

ΒD ΧD



Lại χ⌠ DΗΒ฀ DΧΑ γ γ( ) νν DΒ ΗD DΒ DΧ. ΗD ΑD. (3)

Từ (1), (2), (3) συψ ρα:

τανΒ.τανΧ =      

2

1.

κ



0,25 0,25 0,25 0,25

0,5

ΑΦ

ΗΒΧ ΑΒΧ

Σ

Tương tự: . ; Dο đó:

.

ΗΑΒ ΑΒΧ

Σ

ΗΒ ΗΑ

.

ΗΑΧ ΑΒΧ

Σ

ΗΑ ΗΧ

ΑΒ ΒΧ  Σ

.

ΗΧ ΗΒ

ΑΧ ΑΒ

.

ΗΒ ΗΑ

ΑΧ ΒΧ

.

ΗΑ ΗΧ

ΗΒΧ ΗΧΑ ΗΑΒ ΑΒΧ

Σ



 Τα chứng mινη được: (ξ + ψ + ζ)2 3(ξψ + ψζ + ζξ) (∗)

ℑπ dụng (∗) τα χ⌠:

2

Συψ ρα ΗΑ ΗΒ ΗΧ 3

ΒΧ ΑΧ  ΑΒ 

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

5 Với ∗ τη 36ξ χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 6, 5ψ χ⌠ chữ số tận χνγ

,

ξ ψΝ

λ◊ 5 νν :

Α χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 1 ( nếu 36ξ > 5ψ) hoặc 9 ( nếu 36ξ < 5ψ) ΤΗ1: Α = 1 κηι đó 36ξ − 5ψ =1 36ξ − 1 = 5ψ Điều ν◊ψ κηνγ xảy ρα ϖ (36ξ – 1) 35 νν (36 ξ – 1) 7, χ∫ν 5 ψ κηνγ χηια hết χηο 7

ΤΗ2: Α = 9 Κηι đó 5ψ − 36ξ = 9 5ψ = 9 + 36ξ điều ν◊ψ κηνγ xảy ρα ϖ (9 + 36ξ) 9 χ∫ν χ∫ν 5 ψ κηνγ χηια hết χηο 9

ΤΗ3: Α = 11 Κηι đó 36ξ − 5ψ =11 Thấy ξ = 1, ψ = 2 thỏa mν

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Vậy ΓΤΝΝ của Α bằng 11, κηι ξ = 1, ψ = 2 0,25 Hết

Người λ◊m đáp 〈ν: Người thẩm định:

1

2 Người duyệt: