Tổng hợp đề thi chuyên Toán các tỉnh năm học 20132014 và 2014201549285

Chứng minh E đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.. Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho luôn tạo thành tứ , , , giác EFGH.. 1 Chứng minh rằng OI=OM và tứ giác OMH

TỔNG HỢP ĐỀ THI CHUYÊN

TOÁN CÁC

TỈNH NĂM

HỌC

2013-2014 VÀ 2013- 2014-2015.

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT LONG AN

-ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LONG AN

NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (1,5 điểm)

Cho biểu thức P x x y y xy : x y với điều kiện

         

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm tất cả các số tự nhiên x y , để P  3

Câu 2 (2,0 điểm)

Cho phương trình 2 Tìm tất cả giá trị của tham số để phương trình

0

có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho x1 x2  2

Câu 3 (1,0 điểm)

Giải phương trình x2  4 x   7 ( x  4) x2  7

Câu 4 (2,5 điểm)

Gọi   O là đường tròn tâm , đường kính O AB Gọi là điểm nằm giữa và , H A O

từ vẽ dây H CD vuông góc với AB Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng N M AB

a) Chứng minh: tứ giác MNAC nội tiếp.

b) Chứng minh: NC là tiếp tuyến của đường tròn   O

c) Tiếp tuyến tại của đường tròn A   O cắt đường thẳng NC tại Chứng minh E

đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH

Câu 5 (1,0 điểm)

Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 học sinh đến từ

16 địa phương khác nhau tham dự Giả sử điểm bài thi môn Toán của mỗi học sinh đều là số nguyên lớn hơn 4 và bé hơn hoặc bằng 10 Chứng minh rằng luôn tìm được

6 học sinh có điểm môn Toán giống nhau và cùng đến từ một địa phương.

Câu 6 (1,0 điểm)

Cho các số thực a b c d , , , sao cho 1  a b c d , , ,  2 và a     b c d 6

Tìm giá trị lớn nhất của P  a2 b2 c2 d2.

Câu 7 (1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD với AB  a AD ,  b Trên các cạnh

lần lượt lấy các điểm sao cho luôn tạo thành tứ , , ,

giác EFGH Gọi là chu vi của tứ giác P EFGH Chứng minh:

.

2 2 2

-HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH 10 THPT CHUYÊN LONG AN

LONG AN NĂM HỌC 2014-2015

ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN CHUYÊN

(Hướng dẫn chấm có 03 trang)

Ghi chú:

Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm





0,25

Câu 1a

(0,75 điểm)

Câu 1b

(0,75 điểm)

cần tìm là :

,

0,25

1 4m

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1

4

m

1

2

m

2

2

m

Câu 2

(2,0 điểm)

Vì x1 x2  2 nên 1 1 4 2

2

m

ThuVienDeThi.com

Suy ra 1 4  m  3 0,25

Giá trị của cần tìm là m 2 1

4

m

2 2

x







0,25

Câu 3

(1,0 điểm)

3 3

x x





I E

N

M

C

D

B O

A

H

Ta có :฀ 0 (giả thiết)

90

Ta có ฀ 0(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

90

ACB 

90

0,25

Câu 4a

(0,75 điểm)

Vì tứ giác MNAC có ฀ ฀ 0 nên nội tiếp

180

Câu 4b Vì MNAC nội tiếp và MN song song CD nên ฀ ACN  ฀ ADC (*) 0,25

Vì ADBC nội tiếp nên ฀ ADC  ฀ ABC (**) 0,25

(0,75 điểm)

Từ (*) và (**) suy ra ฀ ACN  ฀ ABC.Vậy NC là tiếp tuyến của   O 0,25

Gọi là giao điểm cùa I BE và CH

Ta có AB  CD  ฀ AC  ฀ AD  ECA ฀  ฀ ACD

Suy ra CAlà phân giác trong của tam giácECI

0,25

Ta có CBCA  CB là phân giác ngoài của tam giác ECI

BI CI (1)

0,25

Ta có IH song song EA (cùng AB) IH BI (2)

Câu 4c

(1,0 điểm)

Mặt khác: AECE (3) (AE CE , là tiếp tuyến )

Từ (1), (2) và (3) suy ra CI IH

Vậy BE đi qua trung điểm của đoạn thẳngCH

0,25

Ta có 529 học sinh có điểm bài thi từ 5 điểm đến 10 điểm 0,25

Theo nguyên lý Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau (từ 5 điểm đến

10 điểm)

0,25

Ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau và đến từ 16 địa phương 0,25

Câu 5

(1,0 điểm)

Theo nguyên lý Dirichlet tìm được 6 em có cùng điểm thi môn toán và đến từ cùng một địa phương

0,25

Câu 6

(1,0 điểm)

Ta có 1 a 2 suy ra a  1  a  2   0

0,25

ThuVienDeThi.com

Suy ra a2  3 a  2 0,25

Giá trị lớn nhất của là 10 ( P P10với a  2, b  2, c  1, d  1 hoặc các hoán

vị )

0,25

K M I

C

D E F

G

H

Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.

AEF vuông tại A có AI là trung tuyến nên AI= 1

Tương tự MC= 1

.

0,25

IK là đường trung bình của EFG nên IK=1 Tương tự KM=

1

0,25

P= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC)

0,25

Câu 7

( 1,0 điểm)

Ta có: AI + IK + KM + MC  AC

Suy ra P  2AC= 2 2

0,25

-HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐIỆN BIÊN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn: Toán (chuyên)

Th ời gian làm bài 150 phút Ngày thi:28/06/2014

Câu 1 (2,0 điểm)Cho biểu thức:P x 1 xy x 1 : x 1 xy x 1

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.

2) Tính giá trị của P nếu x   2 3và y 3 1

3 1







Câu 2 (1,5 điểm)Cho phương trình: 2   2 ,(m là tham số)

x  2 m 1 x   m   4 0

1) Giải phương trình với m=2.

2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2thỏa mãn:

Câu 3 (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: 5x 1   3x   2 x 1 

2) Giải hệ phương trình:    2







Câu 4 (2,0 điểm)Trên hai cạnh Ox,Oy của góc vuông xOy lần lượt lấy hai điểm A và B sao

cho OA=OB Một đường thẳng đi qua A cắt OB tại M (M ở trong đoạn OB) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt AM tại H, cắt AO kéo dài tại I.

1) Chứng minh rằng OI=OM và tứ giác OMHI nội tiếp được trong một đường tròn.

2) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với BI tại K Chứng minh rằng OK=KH Điểm K di động

trên đường cố định nào khi M di động trên OB?

Câu 5 (1,0 điểm)Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1 nội tiếp trong đường tròn (O) Trên

cạnh BC lấy điểm D, trên cạnh CA lấy điểm E, trên cạnh AB lấy điểm F, sao cho tứ

giác AFDE là tứ giác nội tiếp Kéo dài AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại giao điểm thứ hai M(M≠A).

Chứng minh rằng:

Câu 6 (1,5 điểm)

1)Cho các số x,y dương thỏa mãn: 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

2)Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho hai số 2 và là hai số nguyên tố

6p  1

-HẾT -(Toán chuyên – Huỳnh Mẫn Đạt – Kiên Giang) ( 22- 06 – 2014 )

-ThuVienDeThi.com

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

KIÊN GIANG Năm học 2014-2015

Thời gian làm bài : 150 phút , Không kể thời gian giao đề

Bài 1: (1,5 điểm)

Cho biểu thức:

3

, ( 0, 1)

1/ Rút gọn biểu thức 2/ Tìm x để biểu thức có giá trị lớn nhất.

Bài 2: (1,5 điểm)

Cho parabol (P)

2

2

x

y  ; đường thẳng (d) : mx + ny = 2 và hai điểm M(0; 2); N(4; 0)

1) Tìm m, n biết đường thẳng (d) đi qua hai điểm M, N.

2) Khi đường thẳng (d) đi qua điểm M Chứng minh rằng (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Tìm tọa độ A và B biết rằng khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 6 2.

Bài 3 (1,5 điểm)

Cho phương trình x2 + ax + b + 1 = 0 với a, b là tham số Tìm giá trị của

a, b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện:

1 2

3 3

1 2

3 9

x x

x x



Bài 4: (2 điểm)

1/ Cho 2 số thực a,b thỏa a + b = 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T = a3 + b3.

2/ Cho hai số thực a, b Chứng minh rằng: 2(a4 + b4)  ab3 + a3b + 2a2b2.

Bài 5: (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB Lấy điểm C trên đường tròn sao cho BC >

R, dựng CD vuông góc với AB (D thuộc AB) Gọi E là điểm trên tia CD sao cho ED = BC (theo thứ tự C, D, E) Các tiếp tuyến EP, EQ với đường tròn tâm O (P và A nằm cùng phía so với DE) cắt đường thẳng d lần lượt tại N và K; CE cắt đường tròn tâm O ở F.

1) Chứng minh: EF2 = CE.EF.

2) Chứng minh EP = BD.

3) Đặt KN = x, BD = y Tính diện tích tam giác EKN theo R, x, y 4) Chứng minh KN = AB.

ThuVienDeThi.com

Gợi ý :

Bài 1

1) Rút gọn được M = 5 3

1

x



2) Để tìm max của M ta dùng phương pháp miền giá trị.

Đặt t  x  0 , 2

2

5 3

1

t

t t



  , để phương trình theo biến

t có nghiệm thì   0.  (1 – M)(3M + 25)  0  25 1

   .Vậy max M = 1

Bài 2

1) Thay tọa độ các điểm M, N vào phương trình của (d) tìm được 1

2 2

y  x

2) Khi (d) đi qua M(0; 2) ta tính được n = 1, thay vào phương trình ta được pt (d): y = - mx + 2.

Đưa về phương trình hoành độ giao điểm: 2 2

2

x

       (1) do a,

c trái dấu pt (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Gọi hai điểm cắt là

1 1 2 2

A x y B x y Để tìm tọa độ hai điểm A, B ta giải phương trình AB2 = (x2 –

x1)2 + (y2 – y1)2 (2) với AB = 6 2 và  

2

a

y y m m  Thay vào (2) ta được phương trình: m2 + 5m2 – 14 = 0 Giải phương trình được nghiệm m2 = 2, hay m =  2 , thay vào phương trình (1) được tọa độ của hai điểm A, B là :  6  2; 4 2 3 ;    6  2; 4 2 3   hoặc  6  2; 4 2 3 ;    6  2; 4 2 3   .

Bài 3.

- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 2

4 4 0

a b

     (*)

- Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = - a , x1.x2 = b + 1, kết hợp với điều kiện của giả thiết ta có hệ phương trình:

1 2

3 3

1 2

1 2

1 2

3 (1)

9 (2)

3 (3)

1 (4)

x x

x x

x x

x x b









Bình phương (1); thay (3), (4)

vào (2), ta được hệ: 22 4

4 13

a b

a b

  





 Giải tiếp hệ phương trình này ta được b = - 3 ,

a =  1 Các giá trị a, b tìm được thỏa điều kiện (*) thế vào phương trình (1) thử lại đểu thỏa

Bài 4.

1) Tách hằng đẳng thức a3 + b3 rồi thế điều kiện a + b = 20 vào biểu thức T, ta được kết quả:

T = 60(a – 10) 2 + 2000  2000 Vậy min T = 2000 khi a = b = 10.

2) Chuyển vế và biến đổi tương đương ta được kết quả cuối cùng (a2 – b2)2 + (a – b)2(a2 + ab + b2)  0 là biểu thức luôn đúng.

Bài 5 1) EP2 = EF.EC EPF฀ECP (g-g)

2) + Trong BCA vuông tại C ta có BD = BC2: AB = BC2: 2R2.(1)

+ Trong EOQ: EQ2 = OE2 – R2 (2), mà OE2 = OD2 + DE2 (3) , OD = R – DB (4) Thay (4) vào (3), (3) vào (2) khai triển và thu gọn rồi thay kết quả vào (1),

ta được: EQ2 = DB2 hay EQ = DB.

2

R

S S S S  xKENE , thay KE = x + AN – y, NE = NP +

y, NA = NP, ta được kết quả SKNE = R(x – y) (5)

4) Dựng EH AK, EH = AD = 2R – y Vậy SKNE = . (2 )

EH KN  x Ry

(6)

Từ (5) và (6) ta có x = 2R = AB.

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.

—————————

Câu 1 (3,0 điểm).

1

  





   



฀

ThuVienDeThi.com

b) Giải phương trình: 2 2  

.

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì n 2013 2013 2013 chia hết cho

.

n n 

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p q , thỏa mãn điều kiện p2 2 q2  1

Câu 3 (1,0 điểm) Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn abc1 Chứng minh:

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, ABAC Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A,

B, C Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt

các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S Chứng minh:

a) Tứ giác BQCR nội tiếp.

PC  DC

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC

Câu 5 (1,0 điểm) Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số

a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?

-HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh:………; SBD:……….

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

———————

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

(Hướng dẫn chấm có 04 trang) Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán

—————————

A LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm

theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1

  





   



1



  





0,50

Nhân từng vế các phương trình của hệ trên ta được

 2   1   1   1   6





0,50

+) Nếu  x  1  y  1  z   1  6, kết hợp với hệ trên ta được

0,25

1

a

+) Nếu  x  1  y  1  z    1  6, kết hợp với hệ trên ta được

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

 x y z ; ;    2;3; 4 , 0; 1; 2     

0,25

ThuVienDeThi.com

Giải phương trình 2 2  

Điều kiện xác định x1 Khi đó ta có

0,50

 x 1 2  x 2 x 1 3  0

0,50

4

2

x

x







0,25

b

*) x        1 2 x 1 4 x 3.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S    2, 3

0,25

Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì n 2013 2013 2013 chia hết cho

Nhận xét Nếu a b , là hai số nguyên dương thì 2013 2013  

Khi đó ta có

(1)

0,25

Mặt khác

2013 2013 2013

n

0,25

Do  n n ,   1  1 và kết hợp với (1), (2) ta được 2013 2013 2013 chia hết cho

Tìm tất cả các số nguyên tố p q , thỏa mãn điều kiện p2 2 q2  1 1,0

Nếu p q , đều không chia hết cho 3 thì

vô lý Do đó trong hai số

phải có một số bằng 3

0,50

+) Nếu p    3 9 2 q2   1 q2    4 q 2 Do đó     p q ,  3, 2 0,25

b

+) Nếu q   3 p2 18 1   p2  19 vô lí Vậy     p q ,  3, 2 0,25 Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn abc1 Chứng minh:

1,0

Ta có

0,50

(1) 6

ab bc ca a b c

0,25

3

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta được:

2

a b c    abc 

ta được (1) Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

0,25

P

Q

R S

E F

H A

B

C

4

a

Do AB AC nên Q nằm trên tia đối của tia BA và R nằm trong đoạn CA, từ đó Q, C nằm về 0,25

ThuVienDeThi.com

cùng một phía của đường thẳng BR.

và D là trung điểm của QS.

Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên DB HB

AE  HA

Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên DC HC

AF  HA

Từ hai tỷ số trên ta được DB AE HB AE FB   1

DC  AF HC  AF EC

0,25

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được:

 

Từ (1) và (2) ta được PB DB   3

b

Do QR song song với EF nên theo định lí Thales:DQ BD DS , CD

PF  BP PF  CP

Kết hợp với (3) ta được DQ  DS hay D là trung điểm của QS.

0,25

Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC. 1,0

Gọi M là trung điểm của BC Ta sẽ chứng minh DP DM  DQ DR

Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên DQ DR  DB DC (4) 0,25

2

DP DC  DB  DB DC  DB DP  DC  DC DP  DB  DB PC  DC PB

(đúng theo phần b) Do đó

0,25

c

Từ (4) và (5) ta được DP DM  DQ DR suy ra tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn

Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c

thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16? 1,0

Trả lời: Không tồn tại 16 số như vậy Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được 16 số thỏa mãn Khi

đó, ta có 16 số dư phân biệt khi chia cho 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; trong đó

có 8 số chẵn, 8 số lẻ

Do đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn là a, b và chữ số lẻ là c.

0.25

Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này: aac abc acc bac bbc bcc cac cbc ccc , , , , , , , , 0.25 Gọi x x1, 2,  , x9 là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên bằng cách bỏ đi chữ số c

(ở hàng đơn vị) Khi đó

không là ước của tức là không chia hết cho 8

0.25

5

Nhưng trong 9 số x x1, 2,  , x9 chỉ có ba số lẻ ac bc cc , , nên 8 số bất kỳ trong 9 số

luôn có hai số có cùng số dư khi chia cho 8, mâu thuẫn

1, 2, , 9

x x  x

Tương tự, trường hợp trong ba số a, b, c có hai số lẻ, một số chẵn cũng không xảy ra

0.25

-Hết -ThuVienDeThi.com