Giám thị khơng giải thích gì thêm.. ĐỀ ĐỀ XUẤT.
Trang 1PHỊNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 3 điểm )
Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương
Câu 2: ( 3 điểm )
Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 - y3 - 2y2 - 3y -1 = 0
Câu 3: ( 2 điểm )
Giải phương trình x64 x2 x116 x2 1
Câu 4: ( 2 điểm )
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1
2
2 2
1
1 1
x
z y x
2
2 2
1
1 1
y
x z
y
2
2 2
1
1 1
z
y x
z
Câu 5: ( 4 điểm )
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
c ab a bc b ca
Câu 6: ( 3 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM BC, IN AC , IK AB Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z
Tìm vị trí của I sao cho tổng x2 +y2 +z2 nhỏ nhất
Câu 7: ( 3điểm )
Cho tứ giác ABCD, gọi I là giao điểm của hai đường chéo
Kí hiệu S1 SAIB; S2 SCID; S SABCD
a Chứng Minh: S1 S2 S
b Khi tứ giác ABCD là hình thang thì hệ thức trên xảy ra như thế nào?
-HẾT -Đề thi này cĩ 01 trang.
Giám thị khơng giải thích gì thêm.
ĐỀ ĐỀ XUẤT
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
điểm Câu 1
(3điểm ) A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
= (x + y)(x + 4y) (x + 2y)(x + 3y) + y 4
= (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4
= (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 – y2 ) + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2
Do x , y Z nên x 2 + 5xy + 5y2 Z A là số chính phương 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu 2 (3điểm ) Phương trình đã cho tương đương với : x 3 = y3 + 2y2 + 3y +1 (1)
Nhận xét rằng: y2 0 x3 y3 2 y2 3 y 1 y2 ( y 1)3 (2)
(3)
5 y 2 0 x y 2 y 3 y 1 (5 y 2) ( y 1)
Từ (2) và (3) suy ra: ( y 1)3< x3 3, Vì y Z
( y 1)
2
2
0
y
Z
Với y = -1 x= -1 Với y = 0 x= 1
Vậy phương trình cĩ 2 cặp nghiệm nguyên là (-1; -1) và (1; 0)
1đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
Câu 3
(2 điểm ) ĐKXĐ: x -2 x64 x2 x116 x2 1
( x22)2 ( x23)2 1
| x22| + | x2 -3| = 1
| x22| + | 3 - x2| = 1
áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta cĩ : | x22| + | 3 - x2| 1
Dấu "=" xảy ra khi :
( x22)( 3 - x2) 0 2 x2 3 2 x 7
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = x/2 x 7
1đ 0.25đ
0.5đ 0.25đ
Câu 4
(2 điểm ) Ta cĩ 1+x
2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y) Tương tự ta cĩ: 1+y2 =(y+x)(y+z)
1+z2 =(z+x)(z+y)
x zx y
y z x z z y x y x
x yy z
z x y x y z x z y
=
z xz y
z y x y z x y x z
=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) = 2(xy+yz+zx) =2 Vậy T = 2
1đ
0.5đ 0.5đ
Trang 3Câu 5
a b c c a b c c ac bc c
cabac bc c aba c b c b c (ca c b)( )
Tương tự: ( )( )
a bc a b a c
b ca b c b a
2
c ac ba ba cb cb a
= =
2
2
Dấu “=” xảy ra khi 1
3
a b c
Từ đó giá trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi 3
2
1 3
a b c
0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ 0.5đ 0.5đ
0.25đ
Câu 6
(3 điểm )
Đặt BK = k , CM = m , AN = n , BC = a , AC = b , AB = c
x2 +y2 +z2 = (IA2 IK2 ) + (IB2 IM2 ) + (IC2 IN2 ) = (IA2 IN2 ) + (IB2 IK2 ) + (IC2 IM2 ) = n2 + k2 + m2
2(x2 +y2 +z2 ) = x2 +y2 +z2 + n2 + k2 + m2 = ( x2+ k2 )+( y2+ m2 )+( z2 + n2 )
x2+ k2 ≥ 2 2 2
y2+ m2≥ 2 2 2
z2 + n2 ≥ 2 2 2
0.5đ 0.5đ
0.25đ 0.25đ
0.25đ
A
h.36
N K
K
z m y
Trang 4S4 S3
S2
S1 I
K H
D
C B
A
x2 +y2 +z2 ≥
4
min(x2 +y2 +z2 ) = x = k , y = m , z = n
4
I là giao điểm của các đường trung trực của ABC
0.5đ 0.5đ 0.25đ
Câu 7
(3 điểm ) Gọi S1= SAIB ; S2 = S CID ; S3 = S BIC ; S 4 = S AID
Kẻ AH BD CK; BD
1 2 1 2
AIB
AID
1 4
(1)
1 2 1 2
CID
BIC
3 2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: 1 3
1 2 3 4
4 2
(3)
S S
Ta có: S ABCD = S1 + S2 + S3 + S4
1 2 2 3 4(4)
Từ (3) và (4) ta suy ra:
2
1 2 2 1 2 ( 1 2) 1 2
b Khi tứ giác ABCD là hình thang ta xét:
* Nếu AB // CD ta có: S ACD = S BCD suy ra: S 3 = S 4 S S1 S2
* Nếu BC // AD ta có: S ABC = S CAD Suy ra: S 1 = S 2 1 2
2
S
Dấu bằng xảy ra khi: S1 = S 2 = S 3 = S 4 = ABCD là hình bình hành
4
S
0.25đ
0.25đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.25đ 0.25đ