M T S PH NG PHÁP
H ình Sinh
I DÙNG B T NG TH C
D u hi u cho phép ta s d ng ph ng pháp này là khi th y s ph ng trình trong h ít
h n s n Tuy nhiên có nh ng h s ph ng trình b ng s n ta c ng có th s d ng
ph ng pháp này
3
3
x y z
+ + = ìï
í
ïî
2 3
VT = + + + +x y z xy+yz+zx +xyz³ + xyz+ xyz +xyz= + xyz
D u “=” x y ra khi x=y=z=1
80
-ï í
ïî
Gi i: K: x ³ -1;y ³ 5
Ta th y r ng n u ta thay x=y-6 thì ph ng trình th nh t VT=VP Do đó, ta xét các tr ng
h p sau:
N u x>y-6 thì VT>VP
N u x<y-6 thì VT<VP
Suy ra x=y-6 T đây và ph ng trình th hai ta tìm đ c x,y
9 3 4 2
1
x y z
í
î
Gi i: Bài toán này có s n nhi u h n s ph ng trình vì v y ta s s d ng ph ng pháp
b t đ ng th c
Nh n xét: B c c a x,y,z ph ng trình 2 khác nhau nên ta s d ng Cauchy sao cho
xu t hi n b c gi ng h
T ph ng trình th nh t ta có:
Trang 2
x y z
x x y z
x y z
y x y z
x y z
z x y z
Áp d ng Cauchy cho 8 s ta có:
2 4 2 8
3 3 2 8
3 4 8
1 8
1 8
1 8
x y z
x y z
x y z
³
³
³
Suy ra
24 32 16 9
8
9 3 4 2
8
x y z
x y z
³
x y z
Ví d 4: Gi i h
697 81
x y
x y xy x y
ï í
î
Gi i:
Ví d này tôi mu n gi i thi u công c xác đ nh mi n giá tr c a x;y nh đi u ki n có
nghi m c a tam th c b c 2
Xét ph ng trình b c 2 theo x:
x
ph ng trình có nghi m thì 0 1 7
3
D ³ Û £ £
T ng t xét ph ng trình b c 2 theo y ta có:0 4
3
x
£ £
Suy ra
x +y £æ ö +æ ö =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
;
x y
Þ = = Tuy nhiên th vào h không tho mãn dó đó h vô nghi m
Ví d 5: Gi i h
ï
í
î
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh và giáo viên Trung H c Ph Thông
Trang 3Gi i:
Ý t ng c a bài toán này là đoán nghi m c a h x=y=z=1; Sau đó ch ng minh x>1 hay
x<1 h vô nghi m
+) N u x>1
4
Do
2
z + z+ =æz - ö + z+ + >
T ng t , ta có y>1 Þx<1 suy ra vô lý
+) N u x<1
T ng t trên ta c ng suy ra đ c đi u vô lý
V y x=y=z=1 là nghi m c a h
BÀI T P T RÈN LUY N
Bài 1: Gi i h :
a)
3
xy yz zx x y z
x y z
ï
í
ïî b)
3 3
x y z
í + + = î
Bài 2: Gi i h
3
9
x y
x y
í
+ =
î S: VN
Bài 3: Gi i h
2
2
xz y
x z y x y z
= +
ìï
ïî S: (2;2;2)
Bài 4: Gi i h
64
-ï
í
ïî S: (0;2)
Bài 5: Gi i h
2
x x y
x y
ï
í
ïî S: (0;4)
Bài 6:
ï
í
î
S: (1;0)
Bài 7 Gi i h
2
0
x y
x xy y y
ï
í
ïî S: VN
Bài 8: Gi i h
1
x y z
x y xy yz xz
ï
í
ïî
HD: H đã cho t ng đ ng v i
Trang 4
2
1
x y z
x y z x y
ï
í
T ph ng trình th nh t ta đ c: - £ £ 1 z 1
T ph ng trình th hai : x-y t n t i 2
Suy ra z = ± 1
Bài 9: Gi i h
ï î
ï í ì
+
=
+
=
+
=
1 1 1
2 2 2
x z
z y
y x
HD: ây là h mà vai trò c a x, y, z nh nhau
Gi s x³ ³y z Suy ra 2 2 2 2 2 2
z - ³x - ³y - Ûz ³x ³y
Xét x£ 0 ho c z³ 0 T (*) suy ra x=y=z
V y ch có tr ng h p x>0 và z<0 Khi đó 2 2
z = + > Þ < - Þx z y = + <z vô lý
V y h có 2 nghi m là x=y=z=1 5
2
±
Bài 10: ( Olympic-t nh Gia lai 2009) Gi i h ph ng trình
x y z xy zx zy
x y yz zx xy
ï í
-ïî
HD: Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i
2
x y z x y z
x y z x y
ï í
ïî S: (1;0;2) , (-1;0;2)
Ví d 1: Cho abc>0 Gi i h ph ng trình
xy a
yz b
zx c
= ì
í
î
Gi i: Do abc>0 nên h đã cho t ng đ ng v i
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh và giáo viên Trung H c Ph Thông
Trang 5
2
( )
bc z
a ab y
x
xy a
b xyz abc
yz b
a
yz b
ab xyz abc
y
c ac x
b
éì
= êï êï êïï
êí =
ï
ï
êî
-êï êï
= -êï êïî ë
1 2 5
x y xy
x z xz
y z yz
ì
í
ï + + = î
(*)
HD Gi i:
ì
ï
î
T đây các em có th gi i ti p m t cách d dàng
Ví d 3: Gi i h
2
2
2
2 2 2
y zx y
z xy z
ï
í
î
(*)
HD Gi i:
x z x z y
î
T đây các em có th gi i ti p m t cách d dàng
BÀI T P T RÈN LUY N:
Gi i các h ph ng trình sau:
Bài 1:
a)
2
6
3
xy
yz
zx
=
ì
í
î
b)
11 5 7
xy x y
yz y z
zx z x
+ + = ì
í
ï + + = î
+ + = ì
-í
ï + + = -î
7
5
xy x y
c yz y z
xz x z
d)
8 9 7
xy xz
yz xy
xz zy
ì
í
ï + = -î
Bài 2:
Trang 6
a)
-ì
-í
-î
b)
xy y x
yz z y
xz z x
ì
í
ï + + = î
c)
1 4 9
x xy y
y yz z
z zx x
ì
í
ï + + = î
Bài 3:
xyz=x+y+z yzt=y+
ztx z t x txy t x y
ì
ï
ï
î
III PH NG PHÁP T N PH
ôi khi bài toán s ph c t p n u ta gi i h v i n (x ,y ,z) nh ng ch sau m t phép đ t
a=f(x), b=f(y); c=f(z) … thì h s đ n gi n h n
ï
í
î
Gi i:
N u x=0 suy ra đ c y=z=0 Þ ( ; ; )x y z = (0;0;0) là nghi m c a h
V i x¹ 0;y¹ 0;z¹ 0 chia c hai v cho 2 2 2
x y z ta thu đ c
2
2
2
2
2
2
3
4
1 1 5
y z
yz x x
x z
xz y y
x y
xy z z
ìæ + ö = + +
ï +
ï
ïæ + ö
î
t a 1;b 1;c 1
5 (1)
3 (2)
4 (3)
ï
í ï
ïî
L y (2)-(3) ta đ c: (a-b)[2(a+b+c)+1]=1
L y (1)- (3) ta đ c: (b-c)[2(a+b+c)+1)=1
Suy ra a-b=b-c Þa+c=2b thay vào (3) ta đ c 2
3b - - =b 4 0
T đây các em có th gi i ti p
3
3
x y
ï í
ïî
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh và giáo viên Trung H c Ph Thông
Trang 7HD: N u gi i h v i n (x;y) thì đây ta th t khó đ th y đ c đ c ph ng h ng gi i
Nh ng m i chuy n s rõ ràng khi ta đ t x 1
z
= Khi đó d a v h
3
3
21 6
21 6
z y
y z
ï í
ïî
ây là h đ i x ng lo i 2 Các em hãy gi i ti p
12 5 18 5 36 13
xy
x y yz
y z xz
x z
ï + ï
í + ï ï
=
ï + î
HD: Nghch đ o 2 v c a t ng ph ng trình sau đó đ t n ph
2
2
2
2 2 2
x x y y
y y z z
z z x x
ï
í
î
Gi i: H đã cho t ng đ ng v i:
2
2
2
-ï
-í
-î Khi x= ± 1;y= ± 1;z= ± 1 không là nghi m c a h trên nên h đã cho t ng đ ng v i
2
2
2
2 (1) 1
2 (2) 1
2 (3) 1
x y
x y z
y z x
z
ì
=
-ï
ï = í -ï ï
= ï -î
t tan ;
x a æ p a p ö
= ç < < ÷
2
2
2
2 tan
1 tan
2 tan 2
1 tan 2
2 tan 4
1 tan 4
7
y
z
x
k
k Z
a
a a
a
a a
Vì -p <a <p - k 7 7
k
-Þ < < Û < <
Trang 8
Do kÎZnên kÎ - - -{ 3; 2; 1;0;1;2;3} 3 ; 2 ; ;0; ;2 ;3
V y nghi m c a h là :
tan tan 2 tan 4
x y z
a a a
= ì
í
ï = î
, v i a là các giá tr 3 ; 2 ; ;0; ;2 ;3
BÀI T P T RÈN LUY N:
1) Gi i và bi n lu n các h ph ng trình:
2
2
2 2
) b)
xy
y z x
x y a
x z b
yz xyz
a
x z y
y z c
ì
ï
ï ï
ï
+ - =
Gi i các h ph ng trình sau:
2)
3
3
3
x yz xyz
y zx xyz
z xy xyz
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
HD: t 1; 1; 1
z
c y
b x
ï î
ï í ì
=
-=
-= + + Û ï
î
ï í ì
= + +
= + +
= + +
0 ) 1 )(
(
0 ) 1 )(
(
3 3
3 3
b c a
c b a
abc bc a
abc ab c
abc ca b
abc bc a
3)
5
1
5
1
5
1
xy
x y
yz
y z
zx
z x
ï +
ï
í +
ï
ï
=
ï
+
î
4)
xy x y
xz x z
ì
í
î
5)
ï
ï î
ïï í ì
-= + + +
-= + + + +
4
5 ) 2 1 (
4 5
2 4
2 3
2
x xy y x
xy xy y x y x
6)
-ï
ï
í
+
-ïî
2 2
3
7
xy
x y
x y
7)ì + =ï í
ï + = î
7 2
x y
x y xy
8)
2 3 2
x y xy
x y
y x
ïï í
ï - = ïî
9)
1 1
5
9
x y
x y
x y
x y
ïï
í
ïî
10)
xy xy x y
í
+ + + =
x y x y
x y x y
ï í
2
xy
í
î
13)
18
xy x y
í
ì + + = ïï
í
ïî
5
x
x y
y x
x y y
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh và giáo viên Trung H c Ph Thông
Trang 915)
1 1
4
4
x y
x y
x y
x y
ì + + + =
ïï
í
ïî
16)
7 1 78
x xy y xy
ì
ï í
î
17) 2( 2)(2 ) 9
ì í
î
18) 2(3 2 )( 1) 12
x x y x
ì
í
6
y xy x
x y x
ï í
6
x y x
y xy x
ï í
-ïî
21)ìï + =
í
ïî
(Olympic 2008)
x y y
x y x y
22) 23)
x x y xy y
x y x y
x x y y
24)
x z z x z
y x x y x
z y y z y
ï
í
î
(Olympic 2008)
HD: k : ; ; 1
3
x y z ¹ ±
H đã cho t ng đ ng v i
3
2
3
2
3
2
3
1 3 3
1 3 3
1 3
z z x
z
x x y
x
y y z
y
-ï
-=
-ï
-=
-î
25)
2
2
2
ï
í
î
(Olympic 2008) HD: t x=2tana
Ví d 1: Gi i h ph ng trình sau;
ï
í
î
Gi i: H đã cho t ng đ ng v i h sau
( ) ( ) ( )
x f y
y f z
z f x
= ì
í
ï = î
2
f t = - t + t+
Ta có: 2
2t +3t+ >3 0; " Ît R
Trang 10
2
1
6
3 '( ) 0
4
= Û =
-T đó ta có: f(t) t ng n u 3
4
t £ - và f(t) gi m n u 3
4
t³
-·Xét 3
4
t£ - thì hàm f(t) t ng:
Gi s h có nghi m (x y z0; 0; 0)
N u x0 <y0 thì f x( 0)< f y( 0)Þz0 < x0 Þ f z( )0 < f x( 0)Þy 0<z0 suy ra x0 >z0 > y0
i u này vô lý
Nh v y h ch có nghi m khi x0 = y0 =z0, th vào ta đ c
2x + 2x + 3x = Û 0 (x + 1)(2x + 3) = Û 0 x = - 1
Suy ra h có nghi m x=y=z=-1
·Xét v i 3
4
t³ - hàm f(t) gi m ; Ch ng minh t ng t ta c ng đ c nghi m x=y=x=-1
nh ng nghi m này lo i vì x;y;z 3
4
³ -
K t lu n h có nghi m duy nh t x=y=z=-1
s inx=0
z
ì
í
ï -î
Gi i: Xét hàm s f(x)=sin t, khi đó có d ng
( ) ( ) ( )
x f y
y f z
z f x
= ì
í
ï = î Hàm f(t) có t p giá tr [-1;-1] ;
2 2
I æ p p ö
è ø Hàm f(t) đ ng bi n trên ;
2 2
p p
è ø Do đó
hàm f(t) đ ng bi n trên I
Gi s h có nghi m (x y z0; 0; 0)
N u x0 <y0 thì f x( 0)< f y( 0)Þz0 < x0 Þ f z( )0 < f x( 0)Þy 0<z0 suy ra x0 >z0 > y0 i u
này vô lý
Vì v y h đã cho tr thành
s inx=0 (*)
x y z x
= = ì
-î Xét hàm s g(x)=x-sin x
Mi n xác đ nh D=R;
o hàm
'( ) 1 osx 0, x D
g x = -c ³ " Î Þhàm s đ ng bi n trên D Do đó ta có:
V i x=0, ta có g(0)=0 Ûph ng trình (*) nghi m đúng
V i x>0 ta có g(x)>g(0)=0 ÛPh ng trình (*) vô nghi m
V i x<0 ta có g(x)<g(0)=0 ÛPh ng trình (*) vô nghi m
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh và giáo viên Trung H c Ph Thông
Trang 11V y ph ng trình (*) có nghi m x=0 Do đó, h có nghi m x=y=z=0
ï î
ï í ì
= + -+
-+
= + -+
-+
= + -+
-+
x z
z z
z
z y
y y
y
y x
x x
x
) 1 ln(
3 3
) 1 ln(
3 3
) 1 ln(
3 3
2 3
2 3
2 3
HD: Xét hàm f(t)=t3+3t-3+ln(t2 -t+1)
H ph ng trình có d ng
ï î
ï í ì
=
=
=
x z f
z y f
y x f
) (
) (
) (
1
1 2 1 3 1
1 2 3 3 ) (
2 2
2 2
R x t
t
t t
t t
t t
t
+
-+ + +
= +
-+ +
=
V y hàm s f (t ) đ ng bi n trên R
Do x ; ; y z đóng vai trò nh nhau Nên không m t tính t ng quát, ta gi s x³ y³ z
T h ph ng trình ta có: f ( z ) ³ f ( x ) ³ f ( y ); nên ta suy ra x = y = z
Bây gi ta gi i ph ng trình g(x)=x3 +2x-3+ln(x2 -x+1)=0
1
1 2 3
1
1 2 2 3 ) (
2 2
2 2
R x x
x
x x
x x
x x
x
+
-+ +
= +
-+ +
=
Do đó g (x ) là hàm đ ng bi n và nh n x = 1 là nghi m
V y h ph ng trình có duy nh t nghi m x = y = z = 1
BÀI T P T RÈN LUY N:
Gi i các h ph ng trình sau:
ï
í
î
ï ï
í ï
ïî
1 1
1
1 1
y x
x z
y x z
z
5)
ï
î
ï
í
ì
-+ +
=
-+ +
=
-+ +
=
2 2 2
2 3
2 3
2 3
x x x
z
z z z
y
y y y
x
6)
3 2
ï
í
ï + + - = î
Bài 7:
í
ïî
Trang 12
Gi i:Ta gi s (x,y,z) là no c a h Xét hàm s f t ( ) = t3 + 3 3 ln( t - + t2 - + t 1)
- +
2
2
2 1
t
t t nên f(t) là hàm đ ng bi n
Ta gi s : x=Max{x,y,z} thì y f x = ( ) ³ f y ( ) = Þ = z z f y ( ) ³ f z ( ) = x
V y ta có x=y=z Vì ph ng trình x3 + 2 x - + 3 ln( x2 - + = x 1) 0 có nghi m duy nh t
x=1 nên h đã cho có nghi m là x=y=z=1
Bài 8: Gi i h :
ï
í ï
ï î
2
3 2
3 2
3
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
(HSG QG B ng A n m 2006)
ì
ï - =
= ì
ï
Ûí - = Ûí =
- +
î ï
ï - =
î
log (6 )
2 6 ( ) ( ) log (6 ) ( ) ( )
2 6 ( ) ( ) log (6 )
2 6
x y
x x f y g x y
y y f x g z z
x
z z
Trong đó 3
2
( ) log (6 ) ; ( )
t
- + v i t Î -¥ ( ;6)
Ta có f(t) là hàm ngh ch bi n,
( 2 )3
6
t
g(t) là hàm đb
Nên ta có n u (x,y,z) là nghi m c a h thì x=y=z thay vào h ta có:
3
2
x x
- + ph ng trình này có nghi m duy nh t x=3
V y nghi m c a h đã cho là x=y=z=3
Ng i biên so n: H ình Sinh
Email: sinhqluu@gmail.com
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho h c sinh và giáo viên Trung H c Ph Thông