Bài 2: Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC và BD vuông góc nhau.. M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD.. Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp.. => Tứ giác MNHG là hình chữ nhât.
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY TRONG ĐỀ THI KHẢO SÁT NĂNG LỰC GIÁO VIÊN
TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2016
Bài 1: Cho hai số a, b dương thỏa mãn: a 3 + b 3 = a 5 + b 5 (1)
Tim GTLN của A = a 2 + b 2 – ab
Một số cách giải
Cách 1:
Vì a > 0, b > 0, a2 + b2 – ab = (a – b)2 + ab > 0 nên
(1) <=> (a + b)(a2 + b2 - ab) = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4)
<=> 1 =
ab b
a
b a b a ab b
a b b a a
2 2
2 2 ) 2 2 ( ) 2 2 ( 2 ) 2 2 ( 2
ab b
a
b a ab
b a
ab b
a b a
2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
ab b
a
b a b
a
2 2
2 2 2
2 Mặt khác: a2b2 2ab (dấu bằng xảy ra khi a = b)
ab b
a
b a b
a
2 2
2 2 2
Vậy: a2 2b ab 1 và a2 2b ab = 1 <=> 1
5 5 3 3
0 , 0
b a a
a b a
b a
b a
Amax = 1 khi a = b = 1
Cách 2:
Nhận xét: Ta có thể chuyển a 5 + b 5 về a 3 + b 3 bằng cách nâng a 5 + b 5 lên bậc 6 để xuất hiện lũy thừa 2 của bậc 3.
Giải:
+ (a + b)(a5 + b5) = a6 + b6 + ab(a4 + b4) = (a3 + b3)2 + ab(a4 + b4) – 2a3b3≥ (a3 + b3)2
Vì: a4b4 2a2b2=> ab(a4 + b4) ≥ 2a3b3
=> a + b ≥ a3 + b3 => 1 ≥ a2 2b ab (dấu bằng xảy ra tương tự trên)
Khi trình bày lời giải có thể ghi:
+ a4 + b4 ≥ 2a2b2 => ab(a4 + b4) ≥ 2a3b3 <=> a6 + b6 + ab(a4 + b4) ≥ a6 + b6 + 2a3b3
<=> (a + b)(a5 + b5) ≥ (a3 + b3)2 <=> a + b ≥ a3 + b3 <=> 1 ≥ a2 + b2 - ab
Cách 3:
Nhận xét: Ta có thể chuyển a 3 + b 3 về a 5 + b 5 bằng cách nhân thêm bậc 2 khi đó ta tính được phần bậc 2 đó.
Giải:
+ (a3 + b3)(a2 + b2) = a5 + b5 + a2b2(a + b)
=> a2 + b2 = 1 + (vì a3 + b3 = a5 + b5 )
ab b
a
b a
2 2
2 2
=> a2 + b2 – ab = 1 + - ab = 1 - = 1 - ≤ 1
ab b
a
b a
2 2
2 2
ab b
a
ab b
a ab
2 2
) 2 2 2 (
ab b
a
b a ab
2 2
2 ) (
ThuVienDeThi.com
Trang 2Bài 2: Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC và BD vuông góc nhau M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD ME CD tại E, NF BC tại F Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp
Giải:
G
H E
F
M N
A
C
Gọi H, G lần lượt là trung điểm của CD và CB
=> Tứ giác MNHG là hình chữ nhât Suy ra
+ NHG = NFG = 900 => Tứ giác NHFG nội tiếp
+ MGH = MEH = 900 => Tứ giác MHEG nội tiếp
=> Tứ giác MNEF nội tiếp
Cách 2:
O K
F E
M N
C
A
Ta có: AC BD => AC MN (1)
Gọi O là giao điểm của ME và NF, K là trung điểm AC Khi đó :
+ NK là đường trung bình ∆ADC => NKME
+ MK là đường trung bình ∆ABC => MKNE
=> O là trực tâm ∆MNK (2)
Từ (1) và (2) => C, O, K, A thẳng hàng => NMO + EOC = 90 0 (3)
Mặt khác:
+ Tứ giác OECF nội tiếp ( OEC = CFO = 90 0) => EOC = CFE
=> EOC + EFO = 900 (EFO + EFC = CFO = 900) (4)
Từ (3) và (4) => NMO = EFO => Tứ giác MNEF nội tiếp.
ThuVienDeThi.com