Toán 8 Chuyên đề 5: Tìm số thập phân thứ n sau dấu phảy48689

Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là... Tính tổng các chữ số của a5... Cách này áp dơng cho số vô ti được.

CHUYÊN ĐỀ 5

Ví dụ 1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13

Giải:

Bước 1:

+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính rồi làm tròn và hiển thị kết quả trên màn hình)

Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923

+ Lấy 1,3076923 13 = 16,9999999

17 - 16,9999999 = 0,0000001

Vậy 17 = 1,3076923 13 + 0.0000001

(tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể

đã làm tròn Không lấy số không vì

17 = 1,30769230 13 + 0,0000001= 1,30769230 13 + 0,0000001

Bước 2:

+ lấy 1 : 13 = 0,07692307692

11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692

Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là:

307692307692307692

Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số

Ta có 105 = 6.17 + 3 (105  3(mod 6))

Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ Đó chính

là số 7

Ví dụ 2:

Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19

Giải:

Ta có 250000 17 Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu

13157

19   19

phẩy trong phép chia 17 : 19

Bước 1:

Ấn 17 : 19 = 0,8947368421

Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842

+ Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 10-9

Bước 2:

Lấy 2 : 19 = 0,1052631579

Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157

+ Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 10-8 = 17 10-9

Bước 3:

Lấy 17 : 19 = 0,8947368421

Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là

+ Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 10-9

Bước 4:

Lấy 2 : 19 = 0,1052631579

Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157

Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157

= 0,(894736842105263157) Chu kỳ gồm 18 chữ số. Ta có 3 2007  3 669 669 13  1(mod18)  13  13  1 (mod18) Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân Kết quả : số 8 Bài tập: Bài 1: Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia: a) 1 chia cho 49 b) 10 chia cho 23

Bài 2: a) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 13 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 19  b) Khi ta chia 1 cho 49 Chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phẩy là chữ số nào? c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy của phép chia 5 cho 61 d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17 Giải: a) Ta có 250000 17 13157 19   19 Vậy chỉ cần tìm chữ số thứ 2007 13 sau dấu phẩy trong phép chia 17 ÷ 19 Ấn 17 ÷ 19 = 0,894736842 ta được 8 số thập phần đầu tiên sau dấu phẩy là:

89473684 (không lấy số thập phân cuối cùng vì có thể máy đã làm tròn )

Ta tính tiếp 17 – 19 × 89473684 EXP – 8 = 4 × 10-8

Tính tiếp 4 × 10-8 ÷ 19 = 2.105263158 × 10-9

Ta được 9 số tiếp theo là : 210526315

4 × 10-8 – 19 × 210526315 × 1017 = 1.5 × 10-16

1,5 × 10-16÷ 19 = 7.894736842 × 10-18

Suy ra 9 số tiếp theo nữa là : 789473684

Vậy : 18

17 0,894736842105263157 89473684 19    Kết luận 17 19 là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 18 chữ số Để thỏa đề bài , ta cần tìm số dư khi chia 2007 13 cho 18 Số dư khi chia 2007 13 cho 18 chính là số có thứ tự trong chu kì gồm 18 chữ số thập phân Ta có : 13 ( 13 ) 1 1 (mod 18 ) ) 18 (mod 1 13 669 669 3 2007 3     Kết quả số dư là 1 , suy ra số cần tìm là số đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kì gồm 18 chữ số thập phân Kết quả : số 8 b) (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2004-2005- Hải D-ơng) Khi ta chia 1 cho 49 Chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phẩy là chữ số nào? Giải: 1 chia cho 49 ta đợc số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ gồm 42 chữ số 0,(020408163265306122448979591836734693877551) vậy chữ số 2005 ứng với chữ số d khi chia 2005 cho 42; 2005 = 47.42+31 do đó chữ số 2005 ứng với chữ số thứ 31 là số c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy của phép chia 5 cho 61 d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17 Giải: Bài 3: a) Tìm hai chữ số tận cùng của 2081994 b) Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của 3411 7 ĐS : 743 c) Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của 236 8 d) Gọi a là hệ số của số hạng chứa x8 trong triển khai (-x3 + x2 + 1)9 Tính tổng các chữ số của a5

Bài 4 : Tìm số thập phân thứ n sau dấu phẩy của số hữu tỉ

Bài tập:a,Tìm số thập phân thứ 456456 sau dấu phẩy của phép chia13 cho 23

ĐS:9

b,Tìm số thập phân thứ 2007 và 2008 sau dấu phẩy của phép chia 3 cho 26

c,Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia250000 cho 19

Giải :

Chĩ ý: - Cách giải sau hơi dài nhưng ta có thể tham khảo vì đây hoàn toàn sư dụng bằng máy tính bỏ tui ( Cách này áp dơng cho số vô ti được VD tìm số thập phan thứ 17 và 18 của số 2008

- Cách giải ngắn gọn là dùng lý thuyết đồng dư ( Chỉ áp dụngđược cho số hữu tỷ )

Ta cú

19

17 13157 19

250000  

Vậy chỉ cần tìm chữ số thứ 2007 sau dấu phẩy trong phép chia 17cho 19

13

Ấn 17:19=0,894736842 ta được 8 số thập phần đầu tiên sau dấu phẩy là:89473684

(không lấy số thập pâõn cuối cựng vỡ cú thể mỏy đó làm trũn)

Ta tính tiếp 17– 19 × 89473684 EXP – 8 = 4 × 8

10

Tính tiếp 4×108÷19 = 2.105263158 × 109

Ta được 9 số tiếp theo là : 210526315

4 × 108 – 19 × 210526315 × 1017=1.5 × 1016

1,5 × 1016÷ 19 = 7.894736842 × 1018

Suy ra 9 số tiếp theo nữa là : 789473684

Vậy : 0,89473684210526315789473684 .

19

17

18















Kết luận là số thập phõn vụ hạn tuần hoàn cú chu kỡ là 18 chữ số

19

17

Để thỏa đề bài , ta cần tỡm số dư khi chia 132007 cho 18

Số dư khi chia 2007 cho 18 chớnh là số cú thứ tự trong chu kỡ gồm 18 chữ số

13 thập phõn

Ta cú :

) 18 (mod 1 1

) 13 ( 13

) 18 (mod 1 13

669 669

3 2007

3









Kết quả số dư là 1 , suy ra số cần tỡm là số đứng ở vị trớ đầu tiờn trong chu kỡ gồm 18 chữ số thập phõn

Kết quả : số 8

ĐS : 8

Bài 5 : Tìm 3 chữ số cuối cùng bên phải cđa 73411 ĐS : 734

Ta cú

ĐS : 743

) 1000 (mod 743 7

249 001 7

7 7

7

) 1000 (mod

001

7

) 1000 (mod 001 001 )

001 ( 249 )

249 ( 249

7

) 1000 (mod

249

7

10 3400

3411

3400

2 2

2 4 10

100

10































Khi thực hành ta thực hiện phộp tớnh như sau cho nhanh

) 1000 (mod 743 7

73411  11 

Bài 6 : Tìm 4 chữ số cuối cùng bên phải cđa 8236 ĐS : 2256

Dễ thấy

) 10000 (mod

5376

7376 7376

6624 6624

6624 )

8

(

8

) 10000 (mod 6624 1824

4576 8

8

8

) 10000 (mod

4576 6976

8

) 10000 (mod 6976 1824

8

) 10000 (mod

1824

8

2 2

4 4

50

200

10

40

50

2

40

2

20

10



































Và ta cú : 836 (810)3 86 18243 86 422421446256(mod10000)

Cuối cựng :

) 10000 (mod

2256 6256

5376 8

8

8236  200  36   