Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp huyện năm học: 2016 2017 (vòng I) môn: Toán48507

Tìm điều kiện xác định và rút gọn A.. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.. Lấy điểm M nằm trên đoạn HB, điểm N nằm trên đoạn HC sao cho.. Tam giác AM

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2016 - 2017 (VÒNG I)

Môn: Toán Thời gian: 150 phút

Đề bài

Bµi I(4 điểm) Cho biÓu thøc:

3 2

A

1 Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

2 Tìm x để A x 2

3 Cho x 0 Tìm giá  trị nhỏ nhất của A

Bài II(4 điểm)

1 Giải phương trình:a, ( x – 1)3 – (x – 3)3 = 98

b

2 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

x2 – 2x – 11 = y2

Bài III (6 điểm)

a Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì:

A = 3n + 2014 + 2012p2 là hợp số với mọi n N

b Cho 3 số a;b;c khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn a + b + c = 0

Tính giá trị biểu thức Q = ( a b c )(b c c a a b)

c Tìm x;y;z: để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị đó

B = 2x2 +2y2 + z2 + 2xy – 2xz – 2yz - 2x – 4y

Bài IV(6 điểm)

1 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Lấy điểm M nằm trên đoạn HB, điểm N nằm trên đoạn HC sao cho

Chứng minh:

0 90

AMC ANB

a Tam giác AMN cân

AF

BC BD AC AE

BF 

2 Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M không nằm trong hình chữ nhật Chứng minh MA2 + MC2 = MB2 + MD2

Tìm quỹ tích điểm M sao cho MA + MC = MB + MD

(Hết)

Hướng dẫn chấm đề thi chọn HSG dự thi cấp tỉnh năm học: 2011-2012

(vòng I) Môn: Toán

1 (2điểm)

+) điều kiện xác định x  1 và x 3

+) rút gọn A

Vậy 2 8

1

x A x







0,5 0,5 0.5 0,5

Bài

I

2 (2 điểm)

2

8

1 10

0 1

10 0 à 1 0

10 0 à 1 0 1

10

x

x x x

x x











     



 



   



Vậy x > -1 hoặc x  10 và x 3 thì A x 2

0,25 0,5 0,5

0,5

0.25 Bài

II

1 (2,5 điểm)

+) điều kiện x 1, 2, 3, 4.

+) dùng hằng đẳng thức, tách các phân thức đưa phương

trình về dạng:

x  x  x x

       1 1

x

5x 8 0

  

x 11x 4  x 21x 30

5

x   x

*) x 11x 4  x 21 x 30 (chứng tỏ phương trình vô

0,5

0,5

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com

nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm 8

5

x

0,5

0,5

1 (3 điểm)

với mọi x

2 2

1

x M

x x M

Dấu “=” xảy ra khi x = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của M = -1 tại x = 0

 2 2

4

4 8 1

x M

M

 

 

Với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 1 tại x = 4

0,5

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

Bài

III

2 (2 điểm)

vì 2a  1, 2a  2, 2a 3 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số

chia hết cho 32a 1 2 a 2 2 a 3chia hết cho 3

- Nếu b 1 thì vế trái chia hết cho 3 còn vế phải không

chia hết cho 3 (vô lí) b = 0.

Thay b = 0 vào ta tìm được a = 3

Vậy a = 3 và b = 0

0,5 0,5

0,5 0,5

Bài

IV

0,5

N M

H F

E

D

C B

1.(2 điểm)

0,5

0,5

0,5 0,5

2.(1,5 điểm)

Theo câu 1: (4)

AF

AB AE

AC 

Mặt khác: BAD BCF g g( ) BA BD(5)

BC BF

Chia từng vế (4) cho (5) ta được

. . .

BC AE BF BC BD AC AE

AC  BD  BF 

0,5

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com

V

(3đ

)

K I

M

D

C B

A

(2,5 điểm)

Gọi AM cắt EC tại K trên đoạn MK lấy điểm I sao cho

MI = MA = 6cm

MAB MIC c g c AB IC cm AI AM cm AC cm

vuông tại I

AI IC AC AIC

90

AIC

0

BAM CIM c g c BAM CIM

có BC, KM là các đường cao

BEK



M là trực tâm EM BK (I)

( )

MBD MCK c g c MD MK

Mà MB=MC và DMC BMK  DMC KMB c g c( )

/ / ( )

MDC MKB DC BK II

Từ (I) và (II) suy ra: EM DC

0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5