Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán47907

Trang 1

Bài t p luy n thi Olympic Toán h c toàn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán

BÀI T P LUY N THI OLYMPIC TOÁN H C TOÀN MI N NAM L N TH XVIII

( V N PHÚ QU C- GV TR NG H QU NG NAM)

3x  x 2012 3x 6x2013 5x2014  2013

HD: t 3 2

a x  x ; 3 2

b  x  x ; 3

5 2014

c  x

Ta có h sau:

3 3

3

2013 2013

a b c



Suy ra: a b ho c b c ho c c  a

2 Gi i BPT: 1  1 22 1  1 2 3 1 3 1  1 2 20121 2012  1 1

HD:    ta có: k 

                     

kx kx

 

Áp d ng cho bài toán trên, ta thu đ c:

x           

3 Gi i HPT:

1 2 3 4

2 3 4 1

c

x x x x x



















; x x x x1, 2, 3, 4 

2

i

N u x1 thì x3 cos x2 cos x4 x2 x4cos x3cos x1x3x1 Do đó: x1 x3

Ch ng minh t ng t ta có đ c: x2  x4

Trang 2

HPT đã cho t ng đ ng v i:

2

1 3

2 4 1

2 os 4 2 os 4

x

x x c







 



 



 



th c a hai hàm s : 1 2

2 os 4

x  c  x , x2 1arccos 2 2x1



2

 , 2 0; 2

4

 

  trong h

tr c t a đ Ox x c1 2 t nhau t i m t đi m duy nh t có t a đ 1 1;

4 4

  HPT đã cho có nghi m duy nh t là: 1 2 3 4

1 4

x  x x x 

4 Gi i HPT:

2

y y x z z y x x z











; x y z, ,  

HD: Ta có: 30 y2 4y 2012 y 302 4 2012 0 y 0

Không m t tính t ng quát, gi s : x y x,  z

Tr v theo v c a ph ng trình th ba cho ph ng trình th nh t ta đ c:

   3 2 2 2 

Vì x y 0,x  nên z 0 x  ; y 0 3 2

0

x yz 

x y

 



5 Cho 2013 s d ng: x x1, 2, ,x2013  th0 a mãn:

2 2

2011 2012 2012 2011

2012 2013 2013 2012











Trang 3

Ch ng minh r ng trong 2013 s đó có hai s ,a b sao cho: 1

2012

a b 

HD:

T x12x22 x2 x1 x2    x1 0 0 x1 x2 Ch ng minh t ng t đ c: x2 x3   x2013

2012 2013 2013 2012 2013 2013 2012 2012 0 0 2013 1

Khi đó: 0 x1 x2   x2013

Chia đ an  0;1 thành 2012 đo n con b ng nhau, đ dài c a m i đo n con là 1

2012

Theo nguyên lý Dirichlet: a b, trong 2013 s đã cho thu c v cùng m t đo n con

2012

a b 

6 Gi i HPT: 2 2 2

2012 2012 2012

3 3 3

  



   





; x y z, ,  

HD: Xét các vect : ux y z v; ; ,1;1;1

D th y u v    u v  3

Suy ra: u v ,

x y z

K t h p v i ph ng trình còn l i ta đ c: x   y z 1

i u ki n: x2012

t: u x2012 ; 0 v x 2014

BPT thành:

 

0

u











8 Gi i HPT:

2012 2013

1 2 2012

, , , 0











Trang 4

HD: Gi s : x x1, 2, ,x2012 là m t nghi m c a HPT trên

t: M Max x x 1, 2, ,x2012 ; mMin x x 1, 2, ,x2012

Suy ra: M  m 0

2012 2013









2013 2012 2013 2012 2013 2012 2013 2012

4026 2013 4024

Ch ng minh t ng t , ta đ c: m 2011 4026

34 Suy ra: M  m 2011344026

1 2 2012 34

x  x  x  Th l i th y đúng

V y h ph ng trình đã cho có nghi m d ng duy nh t: 2011 4026

1 2 2012 34

9 Gi i HPT:

2

3

2012 1

1

2

x





; x x1, 2, ,x2012 

1

2012 0

i

x



 Các x cùng d i u  i 1, 2012

Áp d ng B T Cauchy ta có: 1

1

2012

i

x



L y ph ng trình đ u tiên l n l t tr cho các ph ng trình s 2, s 3, , s 2012 v theo v ta đ c:

2 3

1 2

x x

Trang 5

3 4

1 2

x x

1 2

x x

Vì x1 x2   x2012 nên

1 2

2012

x x

Suy ra:

2 3

2011 2012

1 2

2012

2012 2012

x x









K t h p v i x i  2012  i 1, 2012 suy ra x1 x2   x2012 2012

10 Gi i HPT:

2 2 2 2







  



; x y z t, , ,  

HD: t: X  1 x Y,  1 y Z,  1 z T,   1 t

Ta có h ph ng trình sau:

2 2













1 0

1

X

X X

X







* V i X           0 Y Z T 0 x y z t 1

* V i X           1 Y Z T 1 x y z t 0

11 Gi i HPT:

2 2

1 2 1 2

1 2

k





; x x1, 2, ,x2012  , k là m t s cho tr c

HD: C ng v theo v c a các PT đã cho ta đ c:

2

Trang 6

12 Cho s nguyên n3 Gi i h ph ng trình:

2012 n 4025 2013 0











; x x1, 2, ,x n 

HD: t y1 x1 x2; y2 x2y3; ; y n x n  x2

H đã cho thành:

1

2012 2013

n











Nh v y ph i có m t ch s j sao cho y j 0 Nh ng 2012y j 2013y j1, nên y1 y2   y n  0 Suy ra: x1 x2   x n    a

13 Gi i HPT:

2012 2 2012

2012

2

xy







; x y,  

HD:

C ng v theo v c a hai ph ng trình trên ta đ c:

2 2

2

2 2

2

(*)

1 0

 

 





 



  



V y t p h p nghi m c a h ph ng trình đã cho là: S     0;0 , 1;1 

3

HD:

a b x c x dx x ex 

Ph ng trình đã cho tr thành:

10 3

Trang 7

10

3

25 *

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho v trái c a (*) thì ta đ c VT * 25

D u “=” x y ra khi và ch khi a     b c d e x 1

V y x = 1 là nghi m duy nh t c a ph ng trình đã cho

15 Gi i HPT: x2012y 22012 2011 2011

 





HD:

H ph ng trình t ng đ ng v i:

2012 2012 2012 2011 2011 2012 2012 2012 2011 2011

       2011 2011

2

1

0

 



 

16 Gi i HPT: 2   





HD:

y  x  xy x y   y  x y x  x  Xem đây là m t

ph ng trình b c hai theo n y ( tham s x )

Ta có:   9x2, t đó: 5 4

4



   

+ V i y5x , thay vào ph ng trình th nh t c a h ta đ c: 4

0 4

  





    



+ V i y   , thay vào ph ng trình th nh t c a h ph ng trình ta đ c: x 4

  



V y t p h p nghi m c a h ph ng trình đã cho là:     4

0; 4 ; 4;0 ; ;0

5

Trang 8

17 Gi i HPT:    

2







; x y,  

HD:

+ Xét x0, h ph ng trình đã cho thành: 0 2 6

5

y

 





  

 ( vô lý) + Chia v theo v c a t ng ph ng trình trong h cho 2

0

x  ta đ c:

2

H ph ng trình thành:  



 + Xét t0, h ph ng trình thành: 0

1 0

y

 



 

 ( vô lý)

+ Chia v theo v c a t ng ph ng trình trong h cho 2

0

t  ta đ c:

2

1 6

y



t: a y 1; b y

H ph ng trình thành:

2

5 6

2

a a ab

b







3

2

5 12 0 5 2

a b

   









   2 

2

3

2

a

b





 



1 1

1

2 1

3

1 2

2 2

2

1

t t

y y

t

t t

y

 

  











 



Trang 9

* V i t 1 ta có: 1 1 2 1 0 1 5

2

x



* V i 1

2

x









; x y,  

HD:

H ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:

2







Suy ra: 4 2 2

1 2

T (*) và d u “=” x y ra b t đ ng th c trên ta suy ra: x  y 1

19 Gi i HPT:

2 2

2

9







; x y,  

HD:

0

 



  

  ; u v,  Suy ra: 0 2 2 2 2

,

xu v yu  v

H ph ng trình đã cho thành:  2 2 2 2  2 2 2 2

3 3

14 9



  



3 3

9

u v

 



 vô nghi m

Gi i h

3 3

7 9

  





2 1

u v





 

Trang 10

Do đó:

2

1 2





V y ph ng trình đã cho có nghi m là: 5

3

x y





 



20 Gi i HPT:  4 4

2009 2013 2013 2009

2011

2 3







; x y,  

HD:

Ta có:  2009 4 4 2009 2013 2013 2009

2011

2

3

T ph ng trình th nh t c a h ph ng trình ta có:

1xy 2 x y 2xy 2xy ( B t đ ng th c Cauchy)

1

3

xy

2

xy

L i có: 2009 2013 2013 2009  2009 4 4  2009 1 2

2

xy

 2008    2008

3 2011

D u “=” x y ra

1 2

xy xy





 



V y t p h p nghi m c a h ph ng trình đã cho là: 1 ; 1 , 1 ; 1

S    

2 2

2011 2011 2013 2013

1

2014



HD:

T ph ng trình th nh t c a h ta suy ra: 1 x y,  1

Do đó: x y xy2014x1y 1 20130

+ N u x y thì ph ng trình th hai c a h có v trái d ng, v ph i âm i u này vô lý

+ N u x y thì ph ng trình th hai c a h có v trái âm, v ph i d ng i u này vô lý

Trang 11

Bài t p luy n thi Olympic Toán h c toàn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán + N u x y thì ph ng trình th hai c a h th a mãn Thay vào ph ng trình th nh t ta đ c:

2

x    x

V y h ph ng trình đã cho có hai nghi m là: 1 ; 1

;

22 Gi i PT:

4 6 2

cos 2

cos

x

x x

HD:

2

cos 2

, tan

x

Ph ng trình đã cho thành: 4 3

3a 4b  7

D th y a, b 0 và a b 2

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có:

1 1 1 4 , b 1 1 3

a     a    b

3 a  3 12 , 4a b 2 12b3a 4b  7

D u b ng x y ra 4 4

4

x     x  k  k



là nghi m c a ph ng trình đã cho

23 Gi i HPT:

1 1

9

  





(x y,   )

HD:

i u ki n ,x y t 0 3

3

,

H ph ng trình đã cho thành:

          

3

3 3



t S  u v P, uv i u ki n 2

4

S  P

3 3

2

3 9 1

V i 3

2

S

P





 

 ta suy ra: u v, là nghi m c a ph ng trình: 2 1

2

X





     

Khi đó: 1

2

u

v





 

1

u v





 

 Suy ra:

1 8 1

x y

 





 



ho c

1 1 8

x y







 

Trang 12

24 Gi i BPT:  2  4 2

6 x 3x 1 x x   ; 1 0 x 

HD:

B t ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:

6 x 3x 1 6 x x   1 0 6 2 x   x 1 x  x 1  6 x x  1 0

2

1

 

   

2

1 0

x   x    ) x

2

, 0 1

 

2

t      t t

Do đó:  2 

2 2

V y t p h p nghi m c a b t ph ng trình đã cho là: 11 21 11; 21

2





HD:

t u x  y 1 0 ; v 3x y 0

H ph ng trình đã cho thành:

2 2

2

2 2

2

u v





Khi đó:

 

6 1

2

6 3

2



  





Thay vào ph ng trình th hai c a h ph ng

trình đã cho ta tìm đ c:

    



    



Trang 13

26.Gi i HPT:  

4 4

2 2

2









, x y,  

HD:

i u ki n ,x y 0

V i đi u ki n trên, h ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:

 

5

2

3

x y

x

y





5 5

5

3 1

2

x

y





  

 

   ( th a đi u ki n)

V y h ph ng trình đã cho có nghi m: 53 1;53 1

27 Gi i BPT: 3 3 2 2

4x  6 x  7x  12x  6 x  2 ; x 

HD:

i u ki n: 3

2

x 

V i đi u ki n trên, b t ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:

3

x  x   x  x  x   x x 

3

Th thì 3

2

x  ta có: A 0 , B 0

Khi đó    2  2    2 3  2   3

2

A

2

x  )

V y t p h p nghi m c a b t ph ng trình đã cho là: S  2; 2 

28 Gi i BPT: 5 3  2 3 2 2 

x x  x x   x x   ; x x  HD:

i u ki n: x0

+ N u x0 thì BPT luôn đúng

+ N u x0 thì chia c 2 v c a BPT cho: 2 2 

x x  

Trang 14

Ta đ c:

3

2 2

5 3

1

x x



2

1

x







1

1 1

1

x

x x

x



t t x 1

x

  ; t2

BPT trên thành:

2

1

t

        

V y nghi m c a BPT là: x0

29 Gi i HPT:

2











HD:

+ TH 1: xyz 0

N u x0 thì h có nghi m 0; 0;z , 0; ;0y 

T ng t cho tr ng h p y ho c 0 z0

+ TH2: Chia c hai v c a các PT trong h cho 2 2 2

0

x y z  ta đ c:

2

2 2

2

3

4

5



     



     



t a 1,b 1,c 1

 

3 4 5







12 0

3

  



Trang 15

30 Gi i HPT:

2 2 2

x x y y

y y z z

z z x x







; x y z, ,   HD:

2 2 2







(I)

Vì m t trong các giá tr x y z, , b ng 1 đ u không th a h ph ng trình này nên: , ,x y z   1

Khi đó  

2

2 1 2 1 2 1

x y

y z x z







 









2 2 ,

x t t    

 Suy ra: ytan 2t ; ztan 4 , t xtan 8t

7

k

t  t t  k

  Nh v y: tan ; tan 2 ; tan 4

2 2

t    

  nên k    3; 2; 1; 0;1; 2;3

31 Gi i HPT:

3

6

z









 





; x y z, ,  

HD:

  2

3

6

z





  







PT th nh t có nghi m 0 0

3

x

z x

z







 (1)

PT th ba có nghi m 2

y  z z   z (2)

T (1), (2) và k t h p v i z3 ta suy ra: z0 ho c z3

áp s : Có 2 nghi m: 1;0; 0 , 2; 3;3   

Trang 16

32 Gi i HPT:

3 3 1 ; , ,









HD:

Xét PT: 3  2 

x  x y x  Vì 1

3

x  không th a PT nên 32 3

y x







t xtant v i ;

2 3 \ 6

t    

D dàng suy ra đ c: ytan 3 , t ztan 9 , t xtan 27t

33 Gi i HPT:

2012





; x y z, ,   HD:

i u ki n:  2 2 2 2 2 2

, , 0

x y z





3y 2z  y 2x 2z  x 2z 2y

2

3x 2y 3y 2z 3z 2x x 2y 2z y 2z 2x z 2x 2y



D u "=" x y ra khi và ch khi x y z

2012

9

x  y z

34 Tìm m i c p s th c  x y; th a h :

 2 2

3 3

2

2 1 4









HD:

i u ki n: 2 2

xyx y   xy

2

4

2

xyx y  x y  xy x y

2

y  y  x  xyx y 

Suy ra: 4 3 3 1 4 3 2 3 6 2 2

2

xy y   xy  y y  x (1)

Trang 17

2

xy y   x   xy (2)

4xy  1 y 4x  1 2xy 1 1 2xy  y 2x  2

3



 



35 Gi i HPT:

2

1 0

    



   





   



    



; x x x x1, 2, 3, 4 

HD:

HPT đã cho có d ng:

 















v i   2

1

f t   t t đ ng bi n trong 1;

2

 

 , nghch bi n

trong ; 1

2

  

f t  f   

  Suy ra:

5

1, 4 4

k

x    k

x    f x      f  

  , mà 4

5 4

x   nên 4 1;

2

x   

L p lu n t ng t : 3 2

;

x   x  

N u x1 thì x2 f x 1  f x 2 x2 x3 f x 2  f x 3 x3x4  f x 3  f x 4 x4 x1

T đó: x1x2 x3 x4 nên x1 x1 x2 x3  x4

Thay vào m t trong b n PT c a h ta đ c x1 x2 x3 x4  1

* Tr ng h p: 1

1 2

x   , n u có k1 đ 1

2

k

x   thì theo trên 1

2

k

x   k là mâu thu n

2

k

x   k

N u x1 thì x3 f x 1  f x 3 x2 x4  f x 2  f x 4 x3  x1 x1x3 T ng t x2  x4

H tr thành:  

 

   

,







g x  x f x x  x th c a hàm s này có tr c đ i x ng là đ ng x 1

Trang 18

T x1 f x 1 x2 f x 2 suy ra: g x 1 g x 2  x và 1 x2 đ i x ng qua x 1 t c là: x1    1 m

và x1   Thay vào h1 m  

 

,









ta tìm đ c m0 Suy ra: x1 x2 x3 x4   1

36 Gi i PT: 2012 2011 2

2011 4023 2012

   ; , ,x y z



 HD:

* Ta có B T th c sau:

 2

ab  a b

 ; a b,  0

* VP 2 2 z

z



    D u "=" x y ra khi z1

2

4023

D u "=" x y ra khi x2011,y2012

37 Tìm m đ b t ph ng trình sau vô nghi m:

2

HD:

B t ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:

2

sin

Bài toán t ng đ ng v i vi c tìm m đ b t ph ng trình sau đúng v i m i t:

2

2 3

t t

 



Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	409,98 KB