Bài giảng môn toán lớp 10 Phần I: Vectơ47886

Bên ngồi tam giác v các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS.. Bài 10.Cho hình thang OABC.. Bài 15.Cho hình thang OABC, AM là trung tuy n c a tam giác ABC... Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm O.

1 Các đ nh ngh a

 Vect là m t đo n th ng cĩ h ng Kí hi u vect cĩ đi m đ u A, đi m cu i B là AB

 Giá c a vect là đ ng th ng ch a vect đĩ

 dƠi c a vect là kho ng cách gi a đi m đ u và đi m cu i c a vect , kí hi u AB

 Vect ậ khơng là vect cĩ đi m đ u và đi m cu i trùng nhau, kí hi u 0

 Hai vect đgl cùng ph ng n u giá c a chúng song song ho c trùng nhau

 Hai vect cùng ph ng cĩ th cùng h ng ho c ng c h ng

 Hai vect đgl b ng nhau n u chúng cùng h ng và cĩ cùng đ dài

Chú ý: + Ta cịn s d ng kí hi u a b, ,  đ bi u di n vect

+ Qui c: Vect 0 cùng ph ng, cùng h ng v i m i vect

M i vect 0 đ u b ng nhau

2 Các phép tốn trên vect

a) T ng c a hai vect

 Qui t c ba đi m: V i ba đi m A, B, C tu ý, ta cĩ: AB BC AC   

 Qui t c hình bình hành: V i ABCD là hình bình hành, ta cĩ: AB AD AC   

 Tính ch t: a b   b a ; a b  c a b c

; a 0 a

b) Hi u c a hai vect

 Vect đ i c a a là vect b

sao cho a b  0 Kí hi u vect đ i c a a là a

 Vect đ i c a 0 là 0

 a b    a  b

 Qui t c ba đi m: V i ba đi m O, A, B tu ý, ta cĩ: OB OA AB   

c) Tích c a m t vect v i m t s

 Cho vect a và s k  R ka là m t vect đ c xác đ nh nh sau:

+ ka

cùng h ng v i a n u k  0, ka ng c h ng v i a n u k < 0

+ ka  k a 

 Tính ch t: k a bka kb 

; (k l a )ka la ; k la  ( )kl a

ka 0  k = 0 ho c a0

 i u ki n đ hai vect cùng ph ng: a và b a  0cùng phương  k R b ka: 

 i u ki n ba đi m th ng hƠng: A, B, C th ng hàng  k  0: AB kAC 

 Bi u th m t vect theo hai vect khơng cùng ph ng: Cho hai vect khơng cùng ph ng a b,

và x tu ý Khi đĩ ! m, n  R: xma nb 

Chú ý:

 H th c trung đi m đo n th ng:

M là trung đi m c a đo n th ng AB  MA MB  0  OA OB  2OM (O tu ý)

 H th c tr ng tơm tam giác:

G là tr ng tâm ABC  GA GB GC 0     

 OA OB OC    3OG (O tu ý)

PH N I VECT

V N 1: Khái ni m vect

Bài 1. Cho t giác ABCD Cĩ th xác đ nh đ c bao nhiêu vect (khác 0) cĩ đi m đ u và đi m cu i

là các đi m A, B, C, D ?

Bài 2. Cho ABC cĩ A, B, C l n l t là trung đi m c a các c nh BC, CA, AB

a) Ch ng minh: BC C A A B    

  

b) Tìm các vect b ng B C C A    ,

Bài 3. Cho t giác ABCD G i M, N, P, Q l n l t là trung đi m c a các c nh AB, CD, AD, BC

Ch ng minh: MPQN ; MQPN

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD cĩ O là giao đi m c a hai đ ng chéo Ch ng minh:

a)   AC BA  AD ; AB AD  AC

b) N u  AB AD  CB CD  thì ABCD là hình ch nh t

Bài 5. Cho hai véc t a b,  Trong tr ng h p nào thì đ ng th c sau đúng: a b   a b 

Bài 6. Cho ABC đ u c nh a Tính AB AC  ; AB AC 

Bài 7. Cho hình vuơng ABCD c nh a Tính   AB AC AD

Bài 8. Cho ABC đ u c nh a, tr c tâm H Tính đ dài c a các vect HA HB HC  , ,

Bài 9. Cho hình vuơng ABCD c nh a, tâm O Tính đ dài c a các vect  AB AD ,  AB AC ,

AB AD

 

V N 2: Ch ng minh đ ng th c vect ậ Phơn tích vect

ch ng minh m t đ ng th c vect ho c phân tích m t vect theo hai vect khơng cùng ph ng,

ta th ng s d ng:

– Qui t c ba đi m đ phân tích các vect

– Các h th c th ng dùng nh : h th c trung đi m, h th c tr ng tâm tam giác

– Tính ch t c a các hình

Bài 1. Cho 6 đi m A, B, C, D, E, F Ch ng minh:

a)    AB DC AC DB b)      AD BE CF  AE BF CD 

Bài 2. Cho 4 đi m A, B, C, D G i I, J l n l t là trung đi m c a AB và CD Ch ng minh:

a) N u AB CD  thì AC BD  b)  AC BD  AD BC 2IJ

c) G i G là trung đi m c a IJ Ch ng minh: GA GB GC GD 0       

d) G i P, Q l n l t là trung đi m c a AC và BD; M, N l n l t là trung đi m c a AD và BC

Ch ng minh các đo n th ng IJ, PQ, MN cĩ chung trung đi m

Bài 3. Cho 4 đi m A, B, C, D G i I, J l n l t là trung đi m c a BC và CD Ch ng minh:

AB AI JA DA DB

2(      ) 3 

Bài 4. Cho ABC Bên ngồi tam giác v các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Ch ng minh:

RJ IQ PS  0

   

Bài 5. Cho tam giác ABC, cĩ AM là trung tuy n I là trung đi m c a AM

a) Ch ng minh: IA IB IC2     0

b) V i đi m O b t k , ch ng minh: OA OB OC2    4OI

Bài 6. Cho ABC cĩ M là trung đi m c a BC, G là tr ng tâm, H là tr c tâm, O là tâm đ ng trịn

ngo i ti p Ch ng minh:

a) AH2OM b) HA HB HC    2HO c) OA OB OC OH     

Bài 7. Cho hai tam giác ABC và ABC l n l t cĩ các tr ng tâm là G và G

a) Ch ng minh AA BB CC    3GG

b) T đĩ suy ra đi u ki n c n và đ đ hai tam giác cĩ cùng tr ng tâm

Bài 8. Cho tam giác ABC G i M là đi m trên c nh BC sao cho MB = 2MC Ch ng minh:

  

Bài 9. Cho tam giác ABC G i M là trung đi m c a AB, D là trung đi m c a BC, N là đi m thu c AC

sao cho CN2NA K là trung đi m c a MN Ch ng minh:

  

  

Bài 10.Cho hình thang OABC M, N l n l t là trung đi m c a OB và OC Ch ng minh r ng:

2

  

2

  

2

  

Bài 11.Cho ABC G i M, N l n l t là trung đi m c a AB, AC Ch ng minh r ng:

  

  

  

Bài 12.Cho ABC cĩ tr ng tâm G G i H là đi m đ i x ng c a B qua G

a) Ch ng minh: AH 2AC 1AB

  

và CH 1AB AC

3

  

b) G i M là trung đi m c a BC Ch ng minh: MH 1AC 5AB

  

Bài 13.Cho hình bình hành ABCD, đ t ABa AD, b G i I là trung đi m c a CD, G là tr ng tâm

c a tam giác BCI Phân tích các vect BI AG , theo a b, 

Bài 14.Cho l c giác đ u ABCDEF Phân tích các vect BC và BD  theo các vect AB và AF 

Bài 15.Cho hình thang OABC, AM là trung tuy n c a tam giác ABC Hãy phân tích vect AM

theo

các vect OA OB OC  , ,

Bài 16.Cho ABC Trên các đ ng th ng BC, AC, AB l n l t l y các đi m M, N, P sao cho

MB3MC NA, 3CN PA PB,  0

      

a) Tính PM PN , theo  AB AC, b) Ch ng minh: M, N, P th ng hàng

Bài 17.Cho ABC G i A1, B1, C1 l n l t là trung đi m c a BC, CA, AB

a) Ch ng minh: AA  1BB1CC10

b) t BB1u CC,1v  Tính BC CA AB  , , theo u và v 

Bài 18.Cho ABC G i I là đi m trên c nh BC sao cho 2CI = 3BI G i F là đi m trên c nh BC kéo dài

sao cho 5FB = 2FC

a) Tính  AI AF theo AB và AC,  

b) G i G là tr ng tâm ABC Tính AG theo AI và AF 

Bài 19.Cho ABC cĩ tr ng tâm G G i H là đi m đ i x ng c a G qua B

a) Ch ng minh: HA HB HC5   0

b) t AGa AH,b Tính AB AC , theo a và b 

V N 3: Xác đ nh m t đi m tho mƣn đ ng th c vect

xác đ nh m t đi m M ta c n ph i ch rõ v trí c a đi m đĩ đ i v i hình v Thơng th ng ta bi n

đ i đ ng th c vect đã cho v d ng OM a, trong đĩ O và a đã đ c xác đ nh Ta th ng s

d ng các tính ch t v :

– i m chia đo n th ng theo t s k

– Hình bình hành

– Trung đi m c a đo n th ng

– Tr ng tâm tam giác, …

Bài 1. Cho ABC Hãy xác đ nh đi m M tho mãn đi u ki n: MA MB MC 0     

Bài 2. Cho đo n th ng AB cĩ trung đi m I M là đi m tu ý khơng n m trên đ ng th ng AB Trên

MI kéo dài, l y 1 đi m N sao cho IN = MI

a) Ch ng minh: BN BA MB   

b) Tìm các đi m D, C sao cho: NA NI  ND ; NM BN  NC

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD

a) Ch ng minh r ng: AB AC AD    2AC

b) Xác đ nh đi m M tho mãn đi u ki n: AM AB AC AD3     

Bài 4. Cho t giác ABCD G i M, N l n l t là trung đi m c a AD, BC

a) Ch ng minh: MN 1(AB DC)

2

  

b) Xác đ nh đi m O sao cho: OA OB OC OD 0       

Bài 5. Cho 4 đi m A, B, C, D G i M và N l n l t là trung đi m c a AB, CD, O là trung đi m c a

MN Ch ng minh r ng v i đi m S b t kì, ta cĩ: SA SB SC SD      4SO

Bài 6. Cho ABC Hãy xác đ nh các đi m I, J, K, L tho các đ ng th c sau:

a) 2IB3IC 0 b) 2 JA JC JB CA    

c) KA KB KC    2BC d) 3LA LB  2LC 0

Bài 7. Cho ABC Hãy xác đ nh các đi m I, J, K, L tho các đ ng th c sau:

a) 2IA3IB3BC b) JA JB  2JC 0

c) KA KB KC     BC d) LA2LC AB2AC

Bài 8. Cho ABC Hãy xác đ nh các đi m I, F, K, L tho các đ ng th c sau:

a) IA IB IC  BC b) FA FB FC      AB AC

c) 3KA KB KC     0 d) 3LA2LB LC   0

Bài 9. Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm O Hãy xác đ nh các đi m I, F, K tho các đ ng th c sau:

a) IA IB IC    4ID b) 2FA2FB3FC FD 

c) 4KA3KB2KC KD   0

Bài 10. Cho tam giác ABC và đi m M tùy ý

a) Hãy xác đ nh các đi m D, E, F sao cho MD MC AB    ,   MEMA BC , MF  MB CA

Ch ng minh D, E, F khơng ph thu c vào v trí c a đi m M

b) So sánh 2 véc t MA MB MC và MD ME MF       

Bài 11. Cho t giác ABCD

a) Hãy xác đ nh v trí c a đi m G sao cho: GA GB GC GD 0       

(G đgl tr ng tâm c a t giác

ABCD)

b) Ch ng minh r ng v i đi m O tu ý, ta cĩ: OG 1OA OB OC OD

4

    

Bài 12. Cho G là tr ng tâm c a t giác ABCD A, B, C, D l n l t là tr ng tâm c a các tam giác

BCD, ACD, ABD, ABC Ch ng minh:

a) G là đi m chung c a các đo n th ng AA, BB, CC, DD

b) G c ng là tr ng tâm c a c a t giác ABCD

Bài 13. Cho t giác ABCD Trong m i tr ng h p sau đây hãy xác đ nh đi m I và s k sao cho các

vect v đ u b ng k MI. v i m i đi m M:

a) v MA MB 2MC b) vMA MB  2MC

c) v   MA MB MC MD   d) v2MA2MB MC  3MD

V N 4: Ch ng minh ba đi m th ng hƠng ậ Hai đi m trùng nhau

 ch ng minh ba đi m A, B, C th ng hàng ta ch ng minh ba đi m đĩ tho mãn đ ng th c

AB k AC

 

, v i k  0

 ch ng minh hai đi m M, N trùng nhau ta ch ng minh chúng tho mãn đ ng th c OM ON  ,

v i O là m t đi m nào đĩ ho c MN 0 

Bài 1. Cho b n đi m O, A, B, C sao cho : OA OB OC23 0 Ch ng t r ng A, B, C th ng hàng

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD Trên BC l y đi m H, trên BD l y đi m K sao cho:

   

Ch ng minh: A, K, H th ng hàng

HD: BH  AHAB BK; AK AB

Bài 3. Cho ABC v i I, J, K l n l t đ c xác đ nh b i: IB2IC, JC 1JA

2

 

 

, KA KB a) Tính IJ IK theo AB và AC ,   (HD: IJ AB 4AC

3

  

) b) Ch ng minh ba đi m I, J, K th ng hàng (HD: J là tr ng tâm AIB)

Bài 4. Cho tam giác ABC Trên các đ ng th ng BC, AC, AB l n l t l y các đi m M, N, P sao cho

MB3MC

 

, NA3CN, PA PB  0 a) Tính PM PN , theo  AB AC,

b) Ch ng minh ba đi m M, N, P th ng hàng

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD Trên các tia AD, AB l n l t l y các đi m F, E sao cho AD =

1

2AF, AB =

1

2AE Ch ng minh:

a) Ba đi m F, C, E th ng hàng

b) Các t giác BDCF, DBEC là hình bình hành

Bài 6. Cho ABC Hai đi m I, J đ c xác đ nh b i: IA IC3 0

, JA2JB3JC 0

Ch ng minh 3

đi m I, J, B th ng hàng

Bài 7. Cho ABC Hai đi m M, N đ c xác đ nh b i: 3MA4MB0, NB3NC 0 Ch ng minh 3

đi m M, G, N th ng hàng, v i G là tr ng tâm c a ABC

Bài 8. Cho ABC L y các đi m M N, P: MB2 MCNA2   NCPA PB 0

a) Tính PM PN theo AB và AC ,   b) Ch ng minh 3 đi m M, N, P th ng hàng

Bài 9. Cho ABC V phía ngồi tam giác v các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Ch ng minh

các tam giác RIP và JQS cĩ cùng tr ng tâm

Bài 10.Cho tam giác ABC, A là đi m đ i x ng c a A qua B, B là đi m đ i x ng c a B qua C, C là

đi m đ i x ng c a C qua A Ch ng minh các tam giác ABC và ABC cĩ chung tr ng tâm

Bài 11.Cho ABC G i A, B, C là các đi m đ nh b i: A B2 3A C  0, 2B C 3B A  0

,

2 3  0

Ch ng minh các tam giác ABC và ABC cĩ cùng tr ng tâm

Bài 12.Trên các c nh AB, BC, CA c a ABC l y các đi m A, B, C sao cho:

Ch ng minh các tam giác ABC và ABC cĩ chung tr ng tâm

Bài 13.Cho tam giác ABC và m t đi m M tu ý G i A, B, C l n l t là đi m đ i x ng c a M qua

các trung đi m K, I, J c a các c nh BC, CA, AB

a) Ch ng minh ba đ ng th ng AA, BB, CC đ ng qui t i m t đi m N

b) Ch ng minh r ng khi M di đ ng, đ ng th ng MN luơn đi qua tr ng tâm G c a ABC

Bài 14.Cho tam giác ABC cĩ tr ng tâm G Các đi m M, N tho mãn: 3MA4MB0, CN 1BC

2



 

Ch ng minh đ ng th ng MN đi qua tr ng tâm G c a ABC

Bài 15.Cho tam giác ABC G i I là trung đi m c a BC, D và E là hai đi m sao cho BD DE EC   

a) Ch ng minh AB AC AD AE     

b) Tính AS   AB AD AC  AE theo AI Suy ra ba đi m A, I, S th ng hàng

Bài 16.Cho tam giác ABC Các đi m M, N đ c xác đ nh b i các h th c BM BC  2AB,

CNxAC BC 

a) Xác đ nh x đ A, M, N th ng hàng

b) Xác đ nh x đ đ ng th ng MN đi trung đi m I c a BC Tính IM

IN

Bài 17.Cho ba đi m c đ nh A, B, C và ba s th c a, b, c sao cho a b c 0  

a) Ch ng minh r ng cĩ m t và ch m t đi m G tho mãn aGA bGB cGC 0   

b) G i M, P là hai đi m di đ ng sao cho MP aMA bMB cMC    Ch ng minh ba đi m G, M, P

th ng hàng

Bài 18.Cho tam giác ABC Các đi m M, N tho mãn MN2MA3MB MC 

a) Tìm đi m I tho mãn IA IB IC23   0

b) Ch ng minh đ ng th ng MN luơn đi qua m t đi m c đ nh

Bài 19.Cho tam giác ABC Các đi m M, N tho mãn MN2MA MB MC   

a) Tìm đi m I sao cho IA IB IC2     0

b) Ch ng minh r ng đ ng th ng MN luơn đi qua m t đi m c đ nh

c) G i P là trung đi m c a BN Ch ng minh đ ng th ng MP luơn đi qua m t đi m c đ nh

V N 5: T p h p đi m tho mƣn đ ng th c vect

tìm t p h p đi m M tho mãn m t đ ng th c vect ta bi n đ i đ ng th c vect đĩ đ đ a v các

t p h p đi m c b n đã bi t Ch ng h n:

– T p h p các đi m cách đ u hai đ u mút c a m t đo n th ng là đ ng trung tr c c a đo n th ng

đĩ

– T p h p các đi m cách m t đi m c đ nh m t kho ng khơng đ i đ ng trịn cĩ tâm là đi m c

đ nh và bán kính là kho ng khơng đ i

–

Bài 1. Cho 2 đi m c đ nh A, B Tìm t p h p các đi m M sao cho:

a) MA MB   MA MB  b) 2MA MB   MA2MB

HD: a) ng trịn đ ng kính AB b) Trung tr c c a AB

Bài 2. Cho ABC Tìm t p h p các đi m M sao cho:

2

    

b)  MA BC   MA MB

c) 2MA MB   4MB MC  d) 4MA MB MC     2MA MB MC   

HD: a) Trung tr c c a IG (I là trung đi m c a BC, G là tr ng tâm ABC)

b) D ng hình bình hành ABCD T p h p là đ ng trịn tâm D, bán kính BA

Bài 3. Cho ABC

a) Xác đ nh đi m I sao cho: IA32  IB IC 0

b) Ch ng minh r ng đ ng th ng n i 2 đi m M, N xác đ nh b i h th c:

MN 2MA2MB MC

   

luơn đi qua m t đi m c đ nh

c) Tìm t p h p các đi m H sao cho: 3HA2HB HC   HA HB 

d) Tìm t p h p các đi m K sao cho: 2KA KB KC    3KB KC 

Bài 4. Cho ABC

a) Xác đ nh đi m I sao cho: IA IB32IC 0

b) Xác đ nh đi m D sao cho: DB32DC 0

c) Ch ng minh 3 đi m A, I, D th ng hàng

d) Tìm t p h p các đi m M sao cho: MA3MB2MC  2MA MB MC   

1 Tr c to đ

 Tr c to đ (tr c) là m t đ ng th ng trên đĩ đã xác đ nh m t đi m g c O và m t vect đ n v

e Kí hi u O e;

 To đ c a vect trên tr c: u( )a  u a e.

 To đ c a đi m trên tr c: M k( )OM k e.

 dài đ i s c a vect trên tr c: AB a AB a e 

Chú ý: + N u AB cùng hướng với e thì ABAB

N u AB ngược hướng với e thì AB AB

+ N u A(a), B(b) thì AB b a 

+ H th c Sa–l : V i A, B, C tu ý trên tr c, ta cĩ: AB BC AC 

2 H tr c to đ

 H g m hai tr c to đ Ox, Oy vuơng gĩc v i nhau Vect đ n v trên Ox, Oy l n l t là i j , O

là g c to đ , Ox là tr c hồnh, Oy là tr c tung

 To đ c a vect đ i v i h tr c to đ : u( ; )x y  u x i.y j.

 To đ c a đi m đ i v i h tr c to đ : M x y( ; )OMx i.y j.

 Tính ch t: Cho a( ; ),x y b( ; ),x y  kR, A x( ; ), ( ; ), ( ; )A y A B x y B B C x C y C :

 









+ a b (x x y y ;  ) + ka( ; )kx ky

+ b

cùng ph ng v i a0  k  R: xkx và yky

 (n u x  0, y  0)

+ AB(x Bx A;y B y A)

( M chia đo n AB theo t s k  MA kMB )

V N 1: To đ trên tr c

Bài 1. Trên tr c x'Ox cho 2 đi m A, B cĩ t a đ l n l t là 2 và 5

a) Tìm t a đ c a AB

b) Tìm t a đ trung đi m I c a đo n th ng AB

c) Tìm t a đ c a đi m M sao cho 2MA5MB0

d) Tìm t a đ đi m N sao cho NA2 3NB  1

Bài 2. Trên tr c x'Ox cho 2 đi m A, B cĩ t a đ l n l t là 3 và 1

a) Tìm t a đ đi m M sao cho 3MA2MB1

b) Tìm t a đ đi m N sao cho NA3NBAB

Bài 3. Trên tr c x'Ox cho 4 đi m A(2), B(4), C(1), D(6)

a) Ch ng minh r ng:

b) G i I là trung đi m c a AB Ch ng minh: IC ID IA  2

c) G i J là trung đi m c a CD Ch ng minh: AC AD AB AJ 

Bài 4. Trên tr c x'Ox cho 3 đi m A, B, C cĩ t a đ l n l t là a, b, c

a) Tìm t a đ trung đi m I c a AB

b) Tìm t a đ đi m M sao cho MA MB MC 0     

c) Tìm t a đ đi m N sao cho NA NB NC23 

Bài 5. Trên tr c x'Ox cho 4 đi m A, B, C, D tu ý

a) Ch ng minh: AB CD AC DB DA BC    0

b) G i I, J, K, L l n l t là trung đi m c a các đo n AC, BD, AB, CD Ch ng minh r ng các đo n

IJ và KL cĩ chung trung đi m

V N 2: To đ trên h tr c Bài 1. Vi t t a đ c a các vect sau:

a) a 2i 3 ;j b 1i 5 ;j c 3 ;i d 2j

3

          

b) a i 3 ;j b 1i j c; i 3 j d; 4 ;j e 3i

              

Bài 2. Vi t d i d ng u xi yj   khi bi t to đ c a vect u là:

a) u(2; 3); u ( 1;4);u(2;0);u(0; 1)

b) u(1;3);u(4; 1); u(1;0);u(0;0)

Bài 3. Cho a(1; 2), b(0;3) Tìm to đ c a các vect sau:

a) x a b y ;  a b z ; 2a3b b) u 3a 2 ;b v 2 b w; 4a 1b

2

Bài 4. Cho a (2;0), b 1;1 ,c (4; 6)

2



a) Tìm to đ c a vect d2a3b5c

b) Tìm 2 s m, n sao cho: ma b nc  0

c) Bi u di n vect c theo ,a b 

Bài 5. Cho hai đi m A(3; 5), (1;0) B

a) Tìm to đ đi m C sao cho: OC 3AB

b) Tìm đi m D đ i x ng c a A qua C

c) Tìm đi m M chia đo n AB theo t s k = –3

Bài 6. Cho ba đi m A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0)

a) Ch ng minh ba đi m A, B, C th ng hàng

b) Tìm các t s mà đi m A chia đo n BC, đi m B chia đo n AC, đi m C chia đo n AB

Bài 7. Cho ba đi m A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2)

a) Tìm to đ các vect AB AC BC  , ,

b) Tìm t a đ trung đi m I c a đo n AB

c) Tìm t a đ đi m M sao cho: CM2AB3AC

d) Tìm t a đ đi m N sao cho: AN2BN4CN 0

Bài 8. Cho ba đi m A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2)

a) Tìm to đ đi m D đ i x ng c a A qua C

b) Tìm to đ đi m E là đ nh th t c a hình bình hành cĩ 3 đ nh là A, B, C

c) Tìm to đ tr ng tâm G c a tam giác ABC

BÀI T P ỌN CH NG I

BƠi 1: a Cho tam giác ABC Xác đ nh đi m M th a MA MB MC    0

b Cho tam giác ABC v i tr c tâm H, B là đi m đ i x ng v i B qua tâm O c a đ ng trịn

ngo i ti p tam giác Hãy xét quan h gi a các vect AH và B C AB và HC   ;  

Bài 1. Cho b n đi m A, B, C, D G i I, J l n l t là trung đi m c a AB và CD

a) Ch ng minh: AC BD AD BC      2IJ

b) G i G là trung đi m c a IJ Ch ng minh: GA GB GC GD 0       

c) G i P, Q là trung đi m c a các đo n th ng AC và BD; M, N là trung đi m c a các đo n th ng

AD và BC Ch ng minh r ng ba đo n th ng IJ, PQ và MN cĩ chung trung đi m

Bài 2. Cho tam giác ABC và m t đi m M tu ý

a) Hãy xác đ nh các đi m D, E, F sao cho MD MC AB    ,   MEMA BC , MF  MB CA

Ch ng minh các đi m D, E, F khơng ph thu c vào v trí c a đi m M

b) So sánh hai t ng vect : MA MB MC    và MD ME MF   

Bài 3. Cho ABC v i trung tuy n AM G i I là trung đi m AM

a) Ch ng minh: IA IB IC2     0

b) V i đi m O b t kì, ch ng minh: OA OB OC2    4OI

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD tâm O G i I là trung đi m BC và G là tr ng tâm ABC Ch ng

minh:

a) 2AI2 AO AB b) 3DG DA DB DC     

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD tâm O G i I và J là trung đi m c a BC, CD

a) Ch ng minh: AI 1AD 2AB

2

  

b) Ch ng minh: OA OI OJ 0     

c) Tìm đi m M tho mãn: MA MB MC 0     

Bài 6. Cho tam giác ABC cĩ tr ng tâm G G i D và E là các đi m xác đ nh b i AD2AB,

5



 

a) Tính   AG DE DG theo AB và AC, ,  

b) Ch ng minh ba đi m D, E, G th ng hàng

Bài 7. Cho ABC G i D là đi m xác đ nh b i AD 2AC

5



 

và M là trung đi m đo n BD