Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
Trang 1Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 8
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - 6
b/ Giải phương trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0
Câu 2 (2 điểm)
a/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c là các số hữu tỉ Biết rằng f(0), f(1), f(2)
có giá trị nguyên Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
1 2 2
6 8 2 3
x x
x x
Câu 3 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng với 4 số bất kỳ a, b, x, y ta có
(a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by) 2
b/ Chứng minh rằng: x3m+1 + x3n+2 + 2 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m,n
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng:
1 '
' '
' '
CC
HC BB
HB AA
HA
Câu 5 (1 điểm)
Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 9
c b a
Trang 2Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Câu 1
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử:
x3 - 7x - 6 = x3 - 4x - 3x - 6
= x(x2 - 22) - 3(x + 2) (1/2 điểm) = x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2)
= (x + 2)(x2 - 2x - 3)
= (x + 2)(x2 - 1 - 2x - 2)
= (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)]
b/ x4 -30x2 + 31x - 30 = 0 <=> (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*)
Vì x2 - x + 1 = (x - 1/2)2 + 1/4 > 0 (1/2 điểm)
=> (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 <=> (1/2 điểm)
6
5 0
6
0 5
x
x x
x
Câu 2
a/ Có f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c là các số nguyên (1/2 điểm)
=> a + b + c - c = a + b nguyên => 2a + 2b nguyên => 4a + 2b nguyên
=> (4a + 2b) - (2a + 2b) = 2a nguyên => 2b nguyên
Vậy 2a, 2b nguyên
2 ) 1 (
1 1
2 3 2
) 1 (
1 ) 1 ( 2 ) 1 2 2 ( 3
x x
x
x x
x
Đặt y = => A = y2 – 2y + 3 = (y – 1)2 + 2 2 (1/2
1
1
điểm)
=> min A = 2 => y = 1 1 => x = 2
1
1
x
Câu 3 a/ Ta có (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by) 2
<=> a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a 2x2 + 2axby + b2y2 (1/4
điểm)
<=> a2y2 - 2axby + b2x2 0 <=> (ay - bx) 2 0 (1/4 điểm) Vì bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức đúng nên bất đẳng thức phải chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay - bx = 0 hay (1/4 điểm)
y
b x
a
b/ Ta có x3m+1 + x3n+2 + 1 = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + 1 (1/4 điểm)
= x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + (x2 + x + 1) (1/4 điểm)
Ta thấy x3m - 1 và x3n - 1 chia hết cho x3 - 1 do đó chia hết cho x2 + x + 1
x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1
Câu 5
Trang 3Do a + b + c = 1 nên (1/2 điểm)
c
b c
a c
b
c b
a b
a
c a
b a
1 1
1 1
1 1
Vậy 1 1 1 3 3 22 29
b
c c
b a
c c
a a
b b
a c
b
a
Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 1/3
Câu 4
+ Có SABC = BC AA’ (1/2 điểm)
2 1
+ Có SHBC = BC HA’ (1/2 điểm)
2 1
+ Có SHAC = AC HB’ (1/2 điểm)
2 1
+ Có SHAB = AB HC’ (1/2 điểm)
2 1
+ SABCHBC AA'HA' ; ; (1/2 điểm)
S
SHACABC BB'HB'
S
SABCHAB HC'CC'
S
ABC
SABC
S ABC
S HAC
S HBC
S
'
' '
' '
CC
HC BB
HB AA
HA
A
C'
B'
A' H