Hãy tính cạnh AC và các góc B và C... Đường trung trực của AD cắt cạnh AB, AC theo thứ tự ở E và F.. Tính độ dài của các cạnh của tam giác DEF.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm..
Trang 1Thi giải toán bằng máy tính casio
Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2008 - 2009
( Thời gian 120 phút không kể thời gian chép đề)
( Lưu ý nhưng câu không nói gì thêm thi sinh chỉ cần ghi kết quả và ghi 5 số lẻ thập phân sau dấu phẩy)
Câu 1:a) Cho Tgx = 2,324 (0o < x < 90o) Tính A =
x Sin x Sin Cosx
Cosx x
Sin x
Cos
2 3
3 3
2
2 8
b)B =
g ph Cos
g ph Sos
g ph Sin
13 39 51
11 32 24 29
17 15
0
0
9
7 74 , 27 : ) 8
3 1 4
1 2 2 : 27
11 4 32
17 5 (
18
1 2 : 12
1 3 2 , 0 ) : 38 , 19 125 , 17 (
Câu 3: Cho số: Tìm: a Z;a1;a2;a3 N , b;b1;b2;b3 N
3
36 94
3 3
2 2
1 1
b a
b a
b a
b a
Câu4:a)Tìm giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + m chia hết cho 2x + 3 b) Cho hai đa thức: P(x) = 3x2 - 4x +5 + m và Q(x) = x3 + 3x2 - 5x +7 + n Với giá trị nào của m ; n thì hai đa thức có nghiệm chung là x = 0,5?
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 10; AB = 6 Hãy tính cạnh AC và các góc B và C
Câu 6: Cho Un = (3 + 2 5)n + (3 - 2 5)n ; n = 0; 1; 2;
a) Tính U0 ; U1 ; U2? b) Lập công thức truy hồi tính Un+2 theo Un+1 và Un c) Lập quy trình ấn phím tính Un ; và tính U5; U6; ; U10? (Câu b cần trình bầy rõ cách làm)
Câu 7: Cho đa thức: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Cho biết: P(1) = 2; P(2) = 11; P(3) = 26; P(4) = 47; P(5) = 74;
a) Tính P(6) ; P(7) ; P(8) ; P(9) ; P(10) ;
b) Viết lại đa thức P(x) với các hệ số là các số nguyên
Câu 8: Tìm hai chữ số tận cùng của số 242006
Câu 9: a) Cho a = 1234567891045656789; b = 89765 Tính chính xác a.b
b) Cho a = 20012002200320042005 , b = 2006 Hãy tìm số dư khi chia a cho b
Câu 10: Cho tam giác ABC có AB = 7 dm ; A = 48023’18” B = 54041’39”
Tính góc B, độ dài cạnh AC và diện tích tam giác ABC
(Chú ý: Thí sinh chỉ được sử dụngmáy tính fx 500A, fx 500MS, fx 570MS, hoặc
các loại máy tính có các chức năng tương đương hoặc thấp hơn)
Trang 2Đáp án và biểu chấm
Câu1
( 2 điểm) Tính được x = 66
043’5,33”
Tính được A = - 0,76917 Tính được B = 1,89136
0,25 điểm 1,0điểm 0,75 điểm
Câu 2
(2 điểm)
Câu 3
(1,5 điểm)
a = -3; a1 = 2; a2 = 1; a3 = 1;
b = 1; b1 = 1; b2 = 1; b3 = 1 1,5 điểm) Câu 4
(1,5điểm)
a) m = - 6 b) m = - 3,75; n = - 5,375
a) 0,5 điểm b) 1.0 điểm Câu 5
1,5 điểm
AC = 8 Góc B = 5307’48,37”
Góc C = 36052’11,63”
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Câu 6
4 điểm
a) U0 = 2; U1 = 6; U2 = 58 b) Đặt an = (3 + 2 5)n; bn = (3 - 2 5)n, Un = an + bn
Un + 1 = (3 + 2 5).an + (3 - 2 5) bn
Un + 2 = (3 + 2 5)2.an + (3 - 2 5)2 bn = (29 + 12 5).an + (29 - 12 5) bn= 6 (3 + 2 5).an + 6(3 - 2 5) bn + 11(an + bn)
= 6Un + 1 + 11Un c) Quy trình ấn phím trên máy 570MS Khai báo : 2 SHIFT STO A
6 SHIFT STO B ALPHA A ALPH = 6 ALPHA B + ALPHA A ALPHA : ALPHA B ALPHA = 6 ALPHA A + ALPHA B ALPHA
= = = ( lặp lại dãy phím =)
U5 = 22590; U6 = 168848; U7 = 1261578;
U8 = 9426796; U9 = 70438134; U10 = 526323560
a) 0,5 điểm b) 1,5 điểm
c) Lập được quy trình ấn phím đúng cho 1,0 điểm Tính đúng các
U5; U6; ;
U10 Cho 1,0 điểm
Câu 7
2,5 điểm
a) Tính P(6) = 227 ; P(7) = 886; P(8) = 2711 ; P(9) = 692;
P(10) = 15419 ; b) Viết đúng đa thức
P(x) = x5 - 15x4 + 85x3 - 222x2 + 274x - 121
a) 1,5 điểm b) 1,0 điểm
Câu 8
1,0 điểm
242006 76 ( mod 100) Vậy hai chữ số tận cùng của
Câu 9
2 điểm
Lấy 56789 x 89765 = 5097664585 ghi ra giấy 5 chữ số cuối cùng là 64 585
Lấy 50976 + 10456 x 89765 = 938 633 816 Ghi ra giấy 10
2 điểm
Trang 3ch÷ sè cuèi cïng cña tÝch lµ 3 381 664 585
LÊy 938 6 + 56789 x 89765 = 5097673971 ghi ra giÊy 15 ch÷
sè cña cuèi cïng cña tÝch lµ 739 713 381 664 585
LÊy 50 796 + 1234 x 89765 = 110 820 986
Ghi ra giÊy kÕt qu¶ cuèi cïng lµ:
110 820 986 739 713 381 664 585
C©u 10
2 ®iÓm
LÊy 2001200220 : 2006 ®îc sè d lµ 578
LÊy 5780320042 : 2006 ®îc sè d lµ 952
LÊy 952005 : 2006 ®îc sè d lµ1661
VËy sè d khi chia a cho b lµ 1661
2 ®iÓm
Trang 4đề thi hsg cấp trường năm học 2005-2006
Môn toán 9
(Thời gian: 120 phút không kể thời gian chép đề)
Câu 1: Rút gọn các biẻu thức sau: A = ( x 3; x 4)
1 3
3 2 2
x
x x
B =
2 6
48 13 5 3 2
Câu 2: Giải các phương trình sau: a) x2 4x 4 x2 6x 9 1 (1)
b) x 6 4 x 2 x 11 6 x 2 1 (2)
2 4 14 10 5 7 6
3x x x x xx
Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 2 Với x > 0
) 2005 (x
x
Câu 4: Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm Trên cạnh BC lấy D sao cho DB =
20 cm Đường trung trực của AD cắt cạnh AB, AC theo thứ tự ở E và F Tính độ dài của các cạnh của tam giác DEF
Câu 5: Chứng minh rằng:
n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi n N
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 5Đáp án và biểu chấm
Câu 1
2 điểm
a)Với (x 3; x 4) nên ta có
1 3 2 3
3 2 2
x x
x x
Do A không âm với (x 3; x 4) suy ra A = = 11
b) B = 1
Cho 0,5 điểm
Cho 0,5 điểm b) 1 điểm
Câu 2
3 điểm
a) (1) x 2 x 3 1
*Với x < 2 thì (1) -2x + 5 = 1 x = 2 Không
TMĐK
*Với 2 x 3 thì (1) x - 2 - x + 3 = 1 1 = 1
luôn đúng Suy ra (1) có nghiệm với mọi x sao cho
2 x 3
*Với x > 3 thì (3) x - 2 + x -3 = 1 x = 3
không TNĐK
*Vậy phương trình (1) có vô số nghiêm 2 x 3
b)*ĐK x 2 PT (2) x 2 2 x 2 3 1
*Với 2 x 7 thì (2) x 2 2 x 2 3 = 1
1 = 1 Suy ra phương trình có vô số nghiệm 2
x 7
* Với x > 7 thì (2) x 2 2 x 2 3 = 1 2
2 x 2 = 6 x 2 = 3 x = 7 Không TMĐK
*Vậy pt (2) có vô số nghiệm 2 x 7
c) Nhận xét với mọi x
VT = 3 (x 1 )2 4 5 (x 1 )2 9 4 9 5
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,5 Điểm
Trang 6c D
B
E
VP = 5 - (x + 1)2 5 Vậỵ hai vế của (3) đều bằng 5
khi đó x = -1 Do đó x = -1 là nghiệm của phương
trinh (3)
0,5 Điểm
Câu 3
2 điểm
Do tử và mẫu của A đều dương nên A > 0, do đó
AMax Min Ta có =
A
1
A
1
8010 2005
4 2005 2 2005 2
2005 2 2005 2005
2005 2 )
2005
x
x x
x x x
x
Vậy AMax= Khi x = x = 2005
8010 1
0,5 điểm
1,0 điểm
0,5 điểm
Câu 4
2 điểm
Tính được
Đặt DE = AE = x
DF = AF = y
Kẻ DI AB; DK AC
Tính được BI = 10,
DI = 10 3
áp dụng định lý Py ta go
vào tam giác vuông DIE
tính được x = 28
y = 35
EF = 7 21
Kẻ được DI, DK cho 0,25đ
BI = 10 cho 0,25đ
DI = 10 3 cho 0,25đ
x = 28 cho 0,25đ
y = 35 cho 0,25đ
EF = 7 21cho 0,5đ
Câu 5
1 điểm
Biến đổi được A = n (n + 1)(n + 2)(n + 3)
n; (n + 1); (n + 2) ; (n + 3) là 4 số tự nhiên liên tiếp
nền có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho
4 nên A chia hết cho 8
n; (n + 1); (n + 2) ; (n + 3) là 4 số tự nhiên liên tiếp
nên chia hết cho 3 Mà (3; 8) = 1 nên A ( 3.8)
0,5 điểm
0,25 điểm
0.25 điểm F
Trang 7Hay A 24
đề thi môn toán câu 1:
1.cho biểu thức: A= x x2 4x 4
a,Tìm điều kiện xác định của biểu thức A b,Rút gọn biểu thức A
2.cho hàm số bậc nhất y=(5m-6)x+3m-5 và y=m x+2m-3.2
ìm điều kiện của m để đồ thị hàm số trên song song với nhau câu 2:
1 Giải phương trình: 3x +21x+18+22 x2 x7 7=2
2 Giải và biện luận phương trình:
m x
1 2
1
Câu 3:
1 cho a,b,c là 3 số thực thoả mãn abc=1 và a >36.Chứng minh:3
+b +c >ab+bc+ca 3
2
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
) 1 ( 2 ) 5 (x y (x 2 )2 5 (y 1 )2 Câu 4:
Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh avẽ một đường thẳng cắt cạnh BCở M và cắt cạnh DC ở I
Chứng minh rằng:
2
1
1
1
a
2 cho đường tròn (O) đường kính AB dây CD cắt AB tại I Gọi H,K là hình chiếu của A,B trên CD.chứng minh CH=DK
Câu 5:
Trang 8Cho a,b,c lµ c¸c sè tù nhiªn sao cho a+b+c=(a-b)(b-c)(c-a).
Chøng minh r»ng a+b+c 27