Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 Năm học 2016 201747645

PHềNG GD&ĐT VŨ QUANGTrường THCS PHAN ĐèNH PHÙNG Đề thi chọn học sinh giỏi HUYỆN môn toán - lớp 8.. Chứng minh: a Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN... Cho tam giác vuông cân ABC AB

PHềNG GD&ĐT VŨ QUANG

Trường THCS PHAN ĐèNH PHÙNG Đề thi chọn học sinh giỏi HUYỆN

môn toán - lớp 8 Năm học 2016-2017

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 ( 2,0 điểm) Chứng minh rằng:

a) Với mọi a Z, nếu a và b không chia hết cho 3 thì a6 b6chia hết cho 9

b) Với mọi n N thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau

Bài 2 ( 2,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2 1 2 1 2 1 1

18

b) Tỡm cỏc số x, y, z biết :

x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx

và 2009 2009 2009 2010

3





x

Bài 3 ( 1,5 điểm) Chứng minh rằng:

Nếu a, b, c là cỏc số dương thoả món: 1 1 1

a b c

a    b c

thì ta cú bất đẳng thức a  b c 3abc

Bài 4 ( 1,5 điểm) Cho 6a - 5b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2

Bài 5 ( 3,0 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M là trung

điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E Chứng minh:

a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.

AB

NB AN

NC





PHềNG GD&ĐT VŨ QUANG

môn toán - lớp 8 Năm học 2011-2012

Bài 1 a) (1,0 điểm)

Vỡ a không chia hết cho 3 nên a có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (kZ)

Nếu a = 3k+1 thì a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia 3 dư 1

Nếu a = 3k+2 thì a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + 4 chia 3 dư 1

Vậy nên nếu a không chia hết cho 3 thì a2 chia 3 dư 1.(1)

Tương tự ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì b2 chia 3 dư 1.(2)

Từ (1) và (2) ta có a2-b23 (3) (0,5 đ)

Ta có a6-b6 = (a2-b2)[(a2)2+a2b2+(b2)2] = (a2-b2)[( a2)2 - 2a2b2+(b2)2+3a2b2]

= (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2]

Theo c/m trên a2-b23 => (a2-b2)2 3 mà 3a 2b2 3 với mọi a Z

nên (a2-b2)2+ 3a2b2 3 (4) 

Từ (3) và (4) suy ra (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] 3.3 hay a 6-b6 9 (0,5 đ)

b) (1,0 điểm)

Ta cần chứng minh: n5 – n 10

* Chứng minh : n5 - n 2

n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (0,25 đ)

(vỡ với nNta cú n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp)

* Chứng minh: n5 – n 5

n5 - n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)

= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) 5

( Vỡ với nNta cú n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) là tớch của năm số nguyờn liờn tiếp nờn chia hết cho 5 và 5n( n – 1)( n + 1 ) 5 với mọi n N) (0,5 đ)

Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5  tức là n5 – n 10

Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau (0,25 đ)

Bài 2. a) 1,0 điểm

x2+ 9x + 20 = (x+4)(x+5)

x2+ 11x + 30 = (x+5)(x+6)

x2+ 13x + 42 = (x+6)(x+7)

ĐKXĐ : x  4;x  5;x  6;x  7

18

(0,5 đ)

(x 4) (x 7) 18

=> 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7)

=> (x+13)(x-2) = 0 (0,25 đ)

=> x = -13 hoặc x = 2 ( Thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy PT đã cho có hai nghiệm là x1=-13; x2=2 (0,25 đ)

b) 1,0 điểm

Ta có x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx

2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0

(x-y) 2 + (y-z) 2 + (z-x) 2 = 0 (0,25 đ)

x y 0

y z 0

z x 0

 





  



x y z

   

Theo bài ra ta có x2009  y2009 z2009  32010 (2)

Từ (1) và (2) ta cú 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009  z = 3 (0,25 đ)

Vậy x = y = z = 3 (0,25 đ)

Bài 3 Chứng minh rằng:

Nếu a, b, c là cỏc số dương thoả món: 1 1 1

a b c

a    b c

thì ta cú bất đẳng thức a b c   3abc

Ta có 1 1 1 a b c

a     b c bc ca ab a b c

abc

abbcca (a b c abc) (*)(vì a,b,c > 0 nên abc>0)

Mà 2 2 2 2 2 2 nên cộng theo vế 3 bất đẳng thức này ta

a b  ab c b  cb a c  ac

2(a b c )  2(abbcca) 2 2 2

)

(a b c) a b c  2(abbcca)

(a b c)  3(abbcca)

Từ (*) và(**) ta có 2

(a b c)  3abc a(  b c)    a b c 3abc (Vì a,b,c > 0 nên a + b + c> 0)

Bài 4 ( 1,0 điểm) Cho 6a - 5b = 1.(1) Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a 2 + 25b 2

Đặt x = 2a; y = - 5b, ta có 6a = 3x vì 6a - 5b = 1 nên (3x+ y)2 =(6a – 5b)2 = 1 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai số 3x và y ta có:

(3x + y)2 (x 2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2  Hay 4a2 + 25b2

10

1

 10 1

Dấu bằng xẩy ra <=> <=> 3y = x <=> - 15 b = 2a <=> 6a = - 45b (2)

y

1 x

3 

Từ (1) và (2) =>

20

3 a

; 50 1

Bài 5 Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M là trung điểm của AC, trên

BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E Chứng minh:

a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.

AB

NB

AN

NC  

a) ANC vuông tại N (vì MN =AM = AC ) 1

2 CNM + MNA = 1v

BAN + NAC = 1v

Mà MNA = NAC => CNM = BAN

Mặt khác CNM = BNE (đđ) =>BNE = BAN

=> BNE BAN    b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F sao cho FM = MN

Tứ giác ANCF là hình chữ nhật (vì có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

=> CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) => BAN BFA =>  

AB

NB AN

NC AB

NB AB AN

NC AB

NB FN AN

NC BA

BF

AN

Cách khác: b) Ta có: ACN EAN =>    CN AC AN (1)

AN  EA  EN

Từ CN AC CN AB AE EB 1 EB 1 EB  4



Từ (3) và (4) => CN 1 NB (Đpcm)

AN   AB

C

F

M

N